高中数学竞赛专题-函数课件3

1、函数（三）函数（三） 例1 已知函数 (a 0 且a 1) 在其定义域 1, 1 上是减函数，则实数 a 的取值范围是_.六、幂函数、指数函数与对数函数 例1 已知函数 【讲解】由a0且a1知t3ax是减函数，从而lg(3ax) 也是减函数，故只有a1时，f (x)才是减函数；另外， x 1 ，1 时， 要保证 3ax0，为此只须考虑最小值： x1时, tmin=3a，要3a0，则a3，综上知1a3 【讲解】由a0且a1知t3ax是减函数，从而lg(3 例2 如果不等式 x2 0 在区间 上恒成立，那么实数a的取值范围是_ 例2 如果不等式 x2 高中数学竞赛专题_函数课件3【讲解】 设yx2

2、 y 当a1时，函数在 上取负值， 因此 不可能有x2 成立在 上函数的最大值是 ，在 上，当0a1时，的最小 值是 ， 【讲解】 设yx2 在 上，x2 恒成立 当0a1时，由 ，得在 上，x2 恒成立例3.化简(1) (2)(3)略解：(1)x的指数是0,所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1例3.化简 (2)(3)略解：(1)x的指数是0,所以原式(3)原式=(3)原式= 例4.若，求解：因为所以f(x)+f(1-x)=1 例4.若，求解：因为所以f(x)+f(1-x)解：令121995=a0则所以解：令121995=a0则所以例6.已知函数f(x)=logax (a0,a1,xR

3、+)若x1,x2R+,试比较 与的大小例7.已知y1=，y2=当x为何值时(1)y1=y2 (2)y1y2 (3)y10,a1,xR例8.对于自然数a,b,c (abc)和实数x,y,z,w若(1)ax=by=cz=70w (2)求证：ab=c例8.对于自然数a,b,c (abc)和实数x,y,z,例9.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3A4证明：由于p、q为素数，其差q-p=29为奇数，p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(6431)=lg19841000198410000故3A0,a1)且 (为锐角)，求证：1a1 f(15)=sin+cos故

4、a15 综合得：1a0,a1)且 (为证：因为0a0,ay0由平均值不等式故例11.已知0a1,x2+y=0，求证：证：因为0a0,ay0由平均值不等式故例解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3 lo

5、g2a+2b=2yM=3例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象例13 已知函数 f (x)|2x 1 1 |, abc 且 f (a)f (c)f (b) ，则必有 (A) ab，b1，c1 (B) a1，b1，c1 (C) 2a 2c (D) 2a2c4 例13 已知函数 f (x)|2x 1 1 |, a 【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x1 ，再下移1个单位得y = 2x1 1，再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x11|，图像如下图

6、【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 高中数学竞赛专题_函数课件3 由于在 上，f (x) 是减函数，所 以 a， b，c 不能同时在 上；同理，a，b，c 也不能同时在 上 由于在 上故必有a1且c1从而2a11，2c11 f (a)12a1，f (c)2c11 f (a) f (c) 12a12c11 2a2c4故选（D） 故必有a1且c1 例14 设 mR，关于x 的方程 (a0且a1) 有几个实根？证明你的结论 例14 设 mR，关于x 的方程 【解】设yax，则y0，且 (y + m)(y2+my+1) = 0 y =m 或y2+my+1=0 令 ， 则m2 【解】设yax

7、，则y0，且(1) 当m2 时， 有正实根，有两个不等正实根 原方程有三个实根；(2) 当m2 时， 有正实根，有一个正实根 原方程有两个实根；(3) 当2m0 时， 有正实根，无实根 原方程有一个实根； (1) 当m2 时，(4) 当m0 时， 只有负根，而无实根或实根为负 原方程无实根 综上所述，知 m的值 m2 2 2m0 m0 方程实根个数 3210(4) 当m0 时，m的值 m2 2 2m0 例15.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgxxlg2-2xlg2-21+lgx+4=0例16.设a0且a1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间-1,1内解：设t=a

8、x,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1) 由=4a2-40得a21,即a1令f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a20且a1,求证：方程ax+a-例16.解方程：lg2x-lgx-2=0 (其中x表示不大于实数x的最大整数)解：由x的定义知，xx，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-20即-1lgx2当-1lgx0时，lgx= -1，于是原方程为lg2x=1 例16.解方程：lg2x-lgx-2=0 (其中x表当0lgx1时，lgx=0，原方程为lg2x=2，均不符合lgx=0当1lgx2时，lgx=1，原方程为lg2x=3，所以当lgx=2时，x=10

9、0所以原方程的解为当0lgx0且a1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为例18.当a为何值时，不等式有且只有一解解：易知：a0且a1，例18.当a为何值时，不等式有且只因为f(4)=log3(2+1)log5(4+1)=1所以(1)等价于u4,即x2+ax+54此不等式有无穷多解(1)当0a0时， 均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数(1)当0a0时，由f(4)=1知，(2)等价于0u4，即0 x2+ax+54从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即=a2-4=0，a=2时，不等式0 x2+ax+54有唯一解x= -1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解(2)当a1时，不等

10、式化为(2)由f(4)=1知，(2)等价于0u4，(2)当a1时，例19.已知a0且a1，试求使方程有解的k的取值范围解：原方程即即例19.已知a0且a1，试求使方程有解的k的取值范围解：又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-,-1)U(0,1)分别解关于的不等式、方程得： (k0时）所以解得k -1或0k0得，x0得，x0,所以函数 例22 已知函数f (x) 和g(x)都是奇函数，且 F(x) =a f (x)+b g(x)+2 ，若在 (0, +)上F(x)有最大值8, 则在(, 0)上F(x) 有 (A) 最小值8 (B) 最小值4 (C) 最小值6 (D)

11、 最大值8 例22 已知函数f (x) 和g(x)都是奇函数，【解】设x0，则x0，依题意F(x)af (x)+bg(x)+28 f (x) 和g(x)是奇函数af (x)bg (x)+28 a f (x)+bg (x)6 F (x)af (x)+bg (x)+24故F (x)在（，0）上有最小值4应选（B） 【解】设x0，则x0， 例23 求函数 的值域 【讲解】 和 这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式 据这个特点可以演变出下面多种解法 例23 求函数 【解法1】易知定义域为 0 x1， 0 x1 x2+x 的值域是 0， 的值域是 0， 的值域是1， 【解法1】易知定义域为 0

12、x1， 1+xx+1 2 且 时， 等号成立【解法2】【解法2】又由0 x1知x2x , ， 且x1或0 时等号成立综合以上结果知， 的值域是 1， 又由0 x1知x2x , 【解法3】 设 ， t0，1则整理，得2t 22yt + y 2 1=0由于该方程有非负实根，所以 【解法3】 设 ， t0，1解之，得 当y1时x1或0， 时， 故两个等号皆成立，故值域为 解之，得 【解法4】 且 设 ，则 值域为1， 【解法4】 例24 已知函数 , 定义域为 , 且ab，求函数的最小值 例24 已知函数 【讲解】若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知，xb时，y 有最小值2b, 而当 时， ,于

13、是猜想，在 上函数递减，当然在 上 也是减函数于是有下面的解法1和2 【讲解】若把定义域扩大为 , 0 xab a xb20 且 xa0 且 xa 时，等号成立故y 的最小值为 【解法1】【解法1】【解法2】 令0 x1x2ab，则x1x20 且x1 x2b2，f (x1)f (x2)(x1x2) f (x1) f (x2)即 f (x) 在 上是减函数， xa 时，y 最小且 【解法2】 令0 x1x2ab，【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为x的一元二次方程，用根的判别式建立y的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造y的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法 【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为【讲解3】 函数式化为x2yx + b20依题意，该方程在 上有实根，于是= y24b20，即y2b而函数 (x)x2yx+b2图像的对称轴为 【讲解3】 函数式化为 因此，函数 (x) 在 上递减，