复变函数论课件：第四章 解析函数的幂级数表示

1、第一节 复级数的基本性质2、复数项级数3、复函数项级数4、解析函数项级数1、复数列的极限第四章 解析函数的幂级数表示10/16/202211. 复数列的极限定义记作复数列收敛的条件10/16/20222那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证从而有所以同理反之, 如果从而10/16/20223下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.例1解10/16/20224定理：复数列收敛的Cauchy准则10/16/202252. 复数项级数的收敛与发散定义表达式称为复数项级数.称为级数的部分和.若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数s为极限,即 则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4

2、.1)的和,写成否则若复数列sn(n=1,2,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.10/16/202262. 复数项级数的收敛与发散定义表达式称为复数项级数.称为级数的部分和.若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数s为极限,10/16/20227定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:分别收敛于a及b.复数项级数收敛的条件实数项级数注：复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数的审敛问题分别收敛于a及b10/16/20228定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn为实数,则复级

3、数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:分别收敛于a及b.实数项级数例1级数是否收敛？例2级数是否收敛？10/16/20229推论2 收敛级数的各项必是有界的.推论1 收敛级数的通项必趋于零:(事实上，取p=1,则必有|an+1|0,存在正整数N(),当nN且p为任何正整数时 |n+1+ n+2+ n+p|0,存在正整数N=N(),当nN时,对一切的zE均有 |f(z)-fn(z)|0,存在正整数N=N(),当nN时,对一切的zE均有 |f(z)-sn(z)|0, 存在正整数N=N(),使当nN时,对于一切zE,均有 |fn+1(z)+fn+p(z)| (p=1,2,).W

4、eierstrass优级数准则: 如果整数列Mn(n=1,2,),使对一切zE,有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正项级数 收敛,则复函数项级数 在点集E上绝对收敛且一致收敛: 这样的正项级数 称为函数项级数的优级数.10/16/202217定理4.6 设级数 的各项在点集E上连续,并且一致收敛于f(z),则和函数 也在E上连续.定理4.7 设级数 的各项在曲线C上连续,并且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:10/16/202218定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,)定义于区域D内,若级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此级数在D内内闭一致收敛.定理4

5、.8 设级数(4.2)在圆K:|z-a|R内闭一致收敛的充要条件为:对于任意正数,只要R,级数(4.2)在闭圆K:|z-a| 上一致收敛.10/16/202219定理4.9 设 (1)fn(z) (n=1,2,)在区域D内解析,级数则 (1) f(z)在区域D内解析6. 解析函数项级数或 序列在区域D内内闭一致收敛于函数f(z),证 （1）设，若为内任一围线，则由柯西积分定理得由定理4.7得于是，由摩勒拉定理知，f(z)在内解析，即在解析。由于的任意性，故f(z)在区域内解析。10/16/20222010/16/202221第二节 幂级数1、幂级数的敛散性2、幂级数的收敛半径的求法3、幂级数的

6、和函数的解析性4、例题5、小结10/16/2022221. 幂级数的定义：形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2 ,a都是复常数.一、幂级数的敛散性具有当a=0,则以上幂级数可以写成如下形式10/16/2022231. 幂级数的定义： 幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.一、幂级数的敛散性 定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(a)收敛,则它必在圆K:|z-a|z1-z|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.10/16/202224 定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(a)收敛,则它必在圆

7、K:|z-a|z1-z|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.证:设 z 是所述圆内任意点.因为(n=0,1,2,),注意到|z-a|z1-a|, 故级数 a收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使收敛在圆K内绝对收敛.10/16/202225其次,对K内任一闭圆在圆K上有收敛的优级数因而它在K上一致收敛.再由定理4.8,此级数必在圆K内内闭一致收敛.上的一切点来说,有: a10/16/202226 推论4.11 若幂级数(4.3)在某点z2(a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散. az1z210/16/202227定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z

8、1(a)收敛,则它必在圆K:|z-a|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.推论4.11 若幂级数(4.3)在某点z2(a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.阿贝尔(Able)定理10/16/202228 其敛散性有以下三种情况:(1) 对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.2.幂级数的敛散性讨论对于一个幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的，例如, 级数对任意固定的z, 从某个n开始, 总有于是有故该级数对任意的z均收敛.10/16/202229(2) 除 z=a 外都发散.此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.例

9、如,级数通项不趋于零, 故级数发散. (3)存在一点z1a,使级数收敛(此时,根据定理4.10的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使级数发散 肯定|z2-a|z1-a根据推论4.11知,它必在圆周|z-a|=|z2-a|外部发散10/16/202230.收敛圆收敛半径收敛圆周 在这种情况下, 存在一个有限正数R, 使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛, 在圆周|z-a|=R外部发散. R称为此幂级数的收敛半径; 圆|z-a|R和圆周|z-a|=R分别称为它的 收敛圆和收敛圆周.10/16/202231答案: 幂级数的收敛范围是何区域

10、?问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.注意问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?10/16/202232例如, 级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.10/16/202233定理4.12 如果幂级数(4.3)的系数cn合于或或3. 幂级数收敛半径的求法则幂级数 的收敛半径为:R=1/l (l0,l+)0 (l=+);+ (l=0).(4.4)10/16/202234定理4.13 (1) 幂级数(4.5)的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析.4. 幂级数的和函数的解析性 (2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项

11、求导至任意阶,即：(p=1,2,) (4.6)(3) (p=0,1,2,). (4.7)(4) 级数（4.5）可沿K内曲线C逐项积分，且其收敛半径与原级数相同。10/16/202235在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内闭一致收敛于f(z),而且各项 又都在z平面上解析.故由维尔斯特拉斯定理(定理4.9),本定理的(1)、(2)部分得证,逐项求p阶导数(p=1,2,)后,即得(4.6). 在(4.6)中令z=a,得注意到 即得(4.7). 证 由阿贝尔定理(定理4.10),幂级数10/16/2022365. 典型例题例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为10/16/202237例

12、1 求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为级数收敛,级数发散.10/16/202238级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,10/16/202239例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为10/16/202240所以收敛半径即原级数在圆内收敛, 在圆外发散, 收敛的级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数10/16/202241说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.原级数成为交错级数, 收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)(2)

13、(并讨论时的情形)10/16/202242故收敛半径例3求幂级数 的收敛半径:解10/16/202243解所以例4求 的收敛半径.10/16/202244例5 求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以10/16/202245例6 求级数的收敛半径与和函数.解10/16/202246例7 计算解10/16/202247第三节 解析函数的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况3、一些初等函数的泰勒展式10/16/202248(4.9)定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数 (

14、4.8)其中系数且展式是唯一的.1. 泰勒(Taylor)定理10/16/202249(4.9)定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数 (4.8)其中系数1. 泰勒(Taylor)定理（4.8）称为f(z)在点a的泰勒展式，（4.9）称为其泰勒系数，（4.8）中的级数称为泰勒级数。10/16/202250(4.9)D 定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数 (4.8)其中系数展式是唯一的.Ka10/16/202251K 证:证明的关

15、键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:(|u|1).(4.10)总有一个圆周:使点z含在中虚线表).由柯西积分公式得azD的内部(图10/16/202252表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此该写：(4.11) 我们设法将被积式:由时,由于10/16/202253应用公式(4.10),我们有右端的级数在 上(关于 )是一致收敛的.以 上的有界函数 相乘,仍然得到 上的一致收敛级数.于是(4.11)表示为 上一致收敛级数10/16/202254由定理3.13最后得出其中的系数cn由公式(4.9)给出.上面证明对于任意z均成立,故定理的前半部分得证.10/16/202255下面证明展式是唯一的.

16、设另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,),故展式是唯一的.10/16/202256 定理4.15 f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数. 由柯西不等式知若f(z)在|z-a|0,且则f(z)在收敛圆周C：|z-a|=R上至少有一奇点，即不可能有这样的函数F(z)存在，它在|z-a|0,且则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|R内与f(z)恒等,而在C上处处解析. 证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.z

17、1a10/16/202259K/:|z-a|R+内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a10/16/2022603. 一些初等函数的泰勒展式10/16/2022611、 解析函数零点的孤立性2、 唯一性定理3、 最大与最小模原理第四节 解析函数零点的孤立性与唯一性定理10/16/202262定义4.7 设f(z)在解析区域D内一点a的值为零 f(a)=0 则称a为解析函数f(z)的一个零点.1. 解析函数的零点及其孤立性10/16/202263 定

18、义4.7 f(a)=0，则称a为解析函数f(z)的一个零点. 如果在|z-a|R内，解析函数f(z)不恒为零，我们将它在点a展成幂级数，此时，幂级数的系数不必全为零，故必有一正数m(m1)，使得合乎上述条件的m称为零点a的阶(级)，a称为f(z)的m阶(级)零点。特别是当m=1时，a也称为f(z)的简单零点.1. 解析函数的零点及其孤立性10/16/202264定理4.17 不恒为零的解析函数f(z)以a为m级零点的充要条件为:其中(4.14)在点a的邻域|z-a|R内解析,且证 必要性 由假设，只要令即可。充分性是明显的。10/16/202265 定理4.18 如在|z-a|R内解析的函数f

19、(z)不恒为零,a为其零点,则必有a的一个邻域,使得f(z)在其中无无异于a的零点.(简单来说就是,不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.) 其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且 零点的孤立性证 设a为f(z)的m级零点,于是,由定理(4.17)从而 在点a连续.于是由例1.28知存在一邻域|z-a|r使得 于其中恒不为零.故f(z)在其中无异于a的其它零点.10/16/202266定理4.18 如在|z-a|R内解析的函数f(z)不恒为零，a为其零点，则必有a的一个邻域，使得f(z)在其中无异于a的零点(简单来说就是，不恒为零的解析函数的零点必是孤立的)。 零点的孤立性(2)在K内有f(z

20、)的一列零点zn(zn0)收敛于a,推论4.19 设(1)f(z)在邻域K:|z-a|R内解析;即存在zn K, (zn0) f(zn)=0, zna 10/16/202267(2)在K内有f(z)的一列零点zn(zn0)收敛于a,证 因为f(z)在点a连续,且f(zn)=0,让n趋于无穷取极限,即得f(a)=0.故a是一个非孤立的零点.由定理4.18必f(z)在K内恒为零.推论4.19 设(1)f(z)在邻域K:|z-a|R内解析;即存在zn K, (zn0) f(zn)=0, zna 10/16/202268(2)在K内有f(z)的一列零点zn(zn0)收敛于a,推论4.19 设(1)f(

21、z)在邻域K:|z-a|0).在L上依次取一串点a=a0,a1,an-1,an=b,at-1at使相邻两点间的距离小于定数R(0Rd).显然,由推论4.19,在圆K0:|z-a0|R内K0在圆K1:|z-a1|R,再用推论4.19,即知在 K1内这样继续下去,直到最后一个含有点b为止,在该圆Kn-1内特别说来,f(b)=0.因为b是D内任意的点,故证明了D内an-1Kn-1ban-1a1a210/16/202272例1 在复平面解析、在实轴上等于sinx的函数只能是sinz.解 设f(z)在复平面解析、在实轴上等于sinx，那么f(z)-sinz在复平面解析、在实轴上等于0，由解析函数的唯一性

22、定理，在复平面上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz.10/16/202273推论4.21 设在区域D内解析的函数f1(z)及f2(z)在D内的某一子区域(或一小段弧)相等,则它们在D内恒等.推论4.22 一切在实轴上成立的恒等式,在z平面上也成立,只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的.例4.18应用唯一性定理，在|z|1内展开Ln(1+z)的主值枝成z的幂级数10/16/202274例2 是否存在着原点解析的函数f(z)，分别满足下列条件:解 （1）由于 及 都以0为聚点，由解析函数的唯一性定理，f(z)=z是在原点解析并满足的唯一的解析函数；但此函数不满足条件 。因此在原点解析

23、并满足这些条件的函数不存在。（2）由于 ，由解析函数的唯一性定理，是在原点解析并满足此条件的唯一解析函数。10/16/2022753. 最大模原理定理4.23(最大模原理) 设f(z)在区域D内解析，则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值，除非在D内f(z)恒等于常数. 证 如果用M表|f(z)|在D内的最小上界,则必0M+.假定在D内有一点z0,函数f(z)的模在z0达到它的最大值,即|f(z0)|=M.10/16/202276定理4.23(最大模 原理) 设f(z)在区域D内解析,则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数. 证 如果用M表|f(z)|在D内的最小上界,则必0M+.假定在D内有一点z0,函数f(z)的模在z0达到它