中考数学图形变换之折叠题目分类例析与对点训练（解析版）

1、中考数学图形变换之折叠题目分类例析与对点训练折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系

2、4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解一、判别折叠后图形的形状。例1右图可以折叠成的几何体是（A ） A三棱柱 B四棱柱 C圆柱 D圆锥对点练习：1.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（ B ）A矩形 B三角形 C梯形 D菱形2.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ D ）AABCD二、求折叠后线段的长度。

3、例2.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_cm.解：E点在A上，F在CD上，因为A、C点重合，EF是折痕，设他们交与O点，AO=CO，EFAC，AB=8，BC=4，AC=，AE=CE，EAO=ECO，OECBCA，OE：AB=OC：BC，OE=， EF=2OE=故答案为：对点练习;3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE30，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处则BC的长为（ D ）A、 B、2 C、3 D、4.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长

4、BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（B）ABCD三、求折叠后图形的面积。例3把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB3 cm，BC5 cm，则重叠部分DEF的面积是5.1 cm2 解：设AE=AE=x，则DE=5-x；在RtAED中，AE=x，AD=AB=3cm，ED=AD-AE=5-x；由勾股定理得：x2+9=（5-x）2，解得x=1.6；SDEF=S梯形ADFE-SADE= 12（AE+DF）AD- 12AEAD= 12（5-x+x）3-12x3= 1253121.63=5.1（cm2）；对点练习：5.矩形纸片ABCD的边长AB=

5、4，AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（A ）ABCDEABCDEGF（17题）F四、求折叠后图形的周长。例4、在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为（D ）A9.5 B10.5 C11 D15.5 解：EDF是EAF折叠以后形成的图形，EDFEAF，AEF=DEF，AD是BC边上的高，EFCB，又AEF=B，BDE=DEF，B=BDE，BE=DE，EF为ABC的中位线，DEF的周长为EAF的周长，即AE+EF+AF= （AB+BC

6、+AC）= （12+10+9）=15.5故选D对点练习:6.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为8 求折叠后角的度数。例5、如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 _80 _度 解：D是AB边上的中点，AD=BD将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，AD=FDBD=FD，由B=50知BDF=80。对点练习：7.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若EFB65，则AED等于 （ C ） （A）70（B）65（C）50（D） 25 EEDBCFCDA8.如图，将矩形纸片

7、ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则EBF=45解答：解：四边形ABCD是矩形，根据折叠可得ABE=EBD=ABD，DBF=FBC=DBC，ABE+EBD+DBF+FBC=ABC=90，EBD+DBF=45，即EBF=45，故答案为：45六、求折叠后线段的比值。例6如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =（D ）A1:3 B3:8 C8:27 D7:25 解：从D，E处向AC作高DF，EH设AB=4k，AD=3k，则AC=5k由的面积=4k3k=5kEH，得EH=；根据勾股定理得CH=

8、所以DE=5k2=所以DE:AC=7：25故选D对点练习：9.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则FCB与BDG的面积之比为（D）A9：4B3：2C4：3D16：910.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N（1）求证：CM=CN；（2）若CMN的面积与CDN的面积比为3：1，求的值解答：（1）证明：由折叠的性质可得：ANM=CNM，四边形ABCD是矩形，ADBC，ANM=CMN，CMN=CNM，CM=CN；（2）解：过点N作NHBC于点H，则四边形NHCD是矩形，HC=D

9、N，NH=DC，CMN的面积与CDN的面积比为3：1，=3，MC=3ND=3HC，MH=2HC，设DN=x，则HC=x，MH=2x，CM=3x=CN，在RtCDN中，DC=2x，HN=2x，在RtMNH中，MN=2x，=2七、求折叠后的三角函数值问题。例7. 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tanAFE的值为（C ） A B C D解：四边形ABCD是矩形，A=B=D=90，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：EFC=B=90，CF=BC=5，AFE+DFC=90，DFC+FCD=90，DCF=AFE，在

10、RtDCF中，CF=5，CD=4，DF=3，tanAFE=tanDCF=故选C对点练习11.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，H是AB的中点，将CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tanHAP 12.如图，在矩形纸片ABCD中，将AMP和BPQ分别沿PM和PQ折叠(APAM)，点A和点B都与点E重合；再将CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处(1)判断AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM1，sinDMFeq f(3,5)，求AB的长【解答】(1)有三对相似三角形，即AMPBPQCQD.理由如下：四边形ABCD是矩形，ABC

11、90.根据折叠可知：APMEPM，EPQBPQ，APMBPQEPMEPQ90.APMAMP90，BPQAMP，AMPBPQ，同理：BPQCQD.AMPBPQCQD.(2)设APx，由折叠关系，BPAPEPx，ABDC2x.由AMPBPQ得，eq f(AM,BP)eq f(AP,BQ)，即eq f(1,x)eq f(x,BQ)，得BQx2.由AMPCQD得，eq f(AP,CD)eq f(AM,CQ)，即eq f(x,2x)eq f(1,CQ)，得CQ2.ADBCBQCQx22.MDAD1x21.在RtFDM中，sinDMFeq f(3,5)，eq f(2x,x21)eq f(3,5).解得x1

12、3，x2eq f(1,3)(不合题意，舍去)即AB6.八、求折叠后的最值（翻折圆）例8. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_【分析】考虑AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，可得MA=MA=1，所以A轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧连接CM，与圆的交点即为所求的A，此时AC的值最小构造直角MHC，勾股定理求CM，再减去AM即可，答案为对点练习：13如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，

13、点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_【分析】考虑到将FCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧过F点作FHAB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH答案为1.2.14如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，AEQ沿EQ翻折形成FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_8_【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D，连接PD，PF+PD化为PF+PD连接ED，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED,

14、再减去EF即可 九、函数的折叠相关问题例九、如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将AOB沿直线AB翻折，得ACB.若C(eq f(3,2)，eq f(r(3),2)，则该一次函数的解析式为_【解答】连接OC，过点C作CDx轴于点D，将AOB沿直线AB翻折，得ACB，C(eq f(3,2)，eq f(r(3),2)，AOAC，ODeq f(3,2)，DCeq f(r(3),2)，BOBC，则tanCODeq f(CD,OD)eq f(r(3),3)，故COD30，BOC60，BOC是等边三角形，且CAD60.则sin60eq f(CD,AC)，则ACeq f(DC,sin60)1

15、，故A(1，0)，sin30eq f(CD,CO)eq f(f(r(3),2),CO)eq f(1,2).则COeq r(3)，故BOeq r(3)，B点坐标为(0，eq r(3)，设直线AB的解析式为ykxeq r(3)，把A(1，0)代入解析式可得keq r(3).直线AB的解析式为yeq r(3)xeq r(3).对点练习：15.将抛物线yx22x3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线yxb与此新图象的交点个数的情况有（ B）A6种 B5种 C4种 D3种十、与折叠相关的综合题例十、如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展

16、平，得折痕EF（如图）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B处，（如图）；展平，得折痕GC（如图）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C处，（如图）；沿GC折叠（如图）；展平，得折痕GC，GH（如图）（1）求图中BCB的大小；（2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由（1）由对称的性质可知：BC=BC，然后在RtBFC中，求得cosBCF= eq f(1,2) ，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得BCB= 60；（2）首先根据题意得：GC平分BCB，即可求得GCC= 60，然后由对称的性质知：GH是线段CC的对称轴，可得GC= GC，即可得GCC是正三角形对点练习：16如图，将一个边长为1的正方

17、形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合MN为折痕，折叠后BC与DN交于P(1)连接BB，那么BB与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNCB面积最小？并验证你的猜想解析:(1)BB = MN过点N作NHBC交AB于点H），证ABB HNM(2)MB = MB = y，AM = 1 y，AB = x在RtABB中BB = eq r(AB2 + AB2) = eq r(1 + x2) 因为点B与点B关于MN对称，所以BQ = BQ，则BQ = eq f(1,2)r(1 + x2) 由BMQBB

18、A得BMBA = BQBB y = eq f(1,2)r(1 + x2) eq r(1 + x2) = eq f(1,2)(1 + x2) (3) 梯形MNCB的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB = x，BH = BM HM = y x，则CN = y - x梯形MNCB的面积为： eq f(1,2) (y x + y) 1 = eq f(1,2) (2y - x)= eq f(1,2) (2 eq f(1,2)(1 + x2) x)= eq f(1,2) (x - eq f(1,2) )2 + eq f(3,8) 当x = eq f(1,2) 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNCB的面积有最小值，且最小值是 eq f(3,8) 17如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证