典型例题剖析：函数与方程

1、PAGE9函数与方程一、知识导学1函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，=g的根或根的个数就是求函数的零点2函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数（）=g的根，就是求函数yf与y=g的图像的交点或交点个数，或求方程的图像与轴交点的横坐标3判断一个函数是否有零点的方法：如果函数在区间a,b上图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根对于我们学习的简单函数，可以借助图像判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图像的交点去判断函数的零点情况4二次函数、一元二次方程、二次函数图像

2、之间的关系：二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图像与轴交点的横坐标5二分法：对于区间a,b上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二、疑难知识导析1关于函数的零点，就是方程的实数根，也就是与函数图像的交点的横坐标要深刻理解，解题中灵活运用2如果二次函数，在闭区间m,n上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解3二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定如二次方程的根都在区间时应满足：4用二分法求二次方程的近似解一般步骤是（1）取一个区间（）使（2）取区

3、间的中点，（3）计算，若，则就是的解，计算终止；若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内（5）当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解三、经典例题导讲例1已知函数若时，0恒成立，求的取值范围错解：（一）恒成立，0恒成立解得的取值范围为错解：（二）若时，0恒成立即解得的取值范围为错因：对二次函数当上0恒成立时，0片面理解为，0，恒成立时，0；或者理解为这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论正解：设的

4、最小值为（1）当即4时，730，得故此时不存在；2当即44时，30，得62又44，故42；（3）即4时，70，得7，又4故74综上，得72例2已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围错解：设有且只有一根在区间（0,1）内得2错因：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立但方程0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况由图可知0在区间（a,b）上有且只有一根，但是正解：设，（1）当0时方程的根为1，不满足条件（2）当0有且只有一根在区间（0,1）内又10有两种可能情形得2或者得不存在综上所得，2例3已知一次函数与二次函数图像如图，其中的交点与轴、轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为是方程的一个实根，判断的正负并加以证明分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号1证明：由，得12bc=0,解得，又，1解得，又由于方程有实根，即有实根，故即解得或，由，得0（2）=，cm1（如图）c4m43bc且f1=0，证明