高三理科数学培养讲义：第2部分 专题6 第14讲 函数与方程及函数的应用

1、PAGE18第14讲函数与方程及函数的应用高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：函数的零点2022全国卷T9；2022全国卷T15；2022全国卷T11；2022全国卷T11分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1求函数零点所在区间、零点个数及恒成立、能成立存在性问题是高考的命题热点，常与导数结合命题，难度较大2函数的实际应用常与概率知识结合命题，考查学生的建模能力和数据处理能力题型2：恒成立、存在性问题2022全国卷T12题型3：函数的实际应用2022全国卷T18；2022全国卷T19；2022全国卷T19题型1函数的零点核心知识储备1零点存在性定理如果函数yf在区间a，b上的图象

2、是连续不断的一条曲线，且有fafb0，那么，函数yf在区间a，b内有零点，即存在ca，b使得fc0，这个c也就是方程f0的根2函数的零点与方程根的关系函数ffg的零点就是方程fg的根，即函数yf的图象与函数yg的图象交点的横坐标高考考法示例【例1】1已知函数feqblcrcavs4alco1f1,2eqsuafeqblcrcavs4alco1rf1,2aeqf1,2ln2aaeqf1,2a0，解得0aeqf1,2e，故a的取值范围为eqblcrcavs4alco10，f1,2e，故选C【教师备选】1已知偶函数f满足f1eqf1,f，且当1,0时，f2，若在区间1,3内，函数gfloga2有3个

3、零点，则实数a的取值范围是_2已知实数feqblcrcavs4alco1e，0，,lg，0，若关于的方程f2ft0有三个不同的实根，则t的取值范围为_13,52，21偶函数f满足f1eqf1,f，且当1,0时，f2，f2f11eqf1,f1f，函数f的周期为2，在区间1,3内函数gfloga2有3个零点等价于函数f的图象与yloga2的图象在区间1,3内有3个交点当0a1且eqblcrcavs4alco1loga31，解得3a52法一：原问题等价于f2ft有三个不同的实根，即yt与yf2f的图象有三个不同的交点当0时，yf2fe2e为增函数，在0处取得最小值2，与yt只有一个交点当0时，yf2

4、flg2lg，根据复合函数的单调性，其在，0上先减后增所以，要有三个不同交点，则需t2，解得t2法二：设mf，作出函数f的图象，如图所示，则当m1时，mf有两个根，当m1时，mf有一个根，若关于的方程f2ft0有三个不同的实根，则等价为m2mt0有两个不同的实数根，且m1或m1，当m1时，t2，此时由m2m20，解得m1或m2，满足f1有两个根，f2有一个根，满足条件；当m1时，设hmm2mt，则h10即可，即11t0，解得tA；2D，均有fA恒成立，则fmag恒成立，则ffg0，fmin0；4D，均有fg恒成立，则ffg0，fmag2恒成立，则fmingma；61D,2E，均有f1g2恒成立

5、，则fmaA成立，则fmaA；20D，使得f0A成立，则fming0成立，设ffg，fma0；40D，使得f0g0成立，设ffg，fming2成立，则fmagmin；61D,2E，使得f1g2成立，则fmin0时，由0，得eqblcrcavs4alco1f1,e2111eqf1,e11eqfe2,e1，且eqf1,3eqf1,3，故0aeqfe2,3e1综上可知，实数a的取值范围为eqblcrcavs4alco1，fe2,3e1，故选C2根据题意有64sin232cos20，即sin2eqf1,4，又0，故的取值范围是eqblcrcavs4alco10，f,6eqblcrcavs4alco1f

6、5,6，对点即时训练12022乌鲁木齐模拟设函数fe333ae，若不等式f0有解，则实数a的最小值为Aeqf2,e1B2eqf2,eC12e2D1eqf1,eDfe333ae0，a333eqf,e令g333eqf,e，则g323eqf1,e1eqblcrcavs4alco133f1,e，所以，当，1时，g0，当1，时，g0，故g在，1上是减函数，在1，上是增函数，故gming1133eqf1,e1eqf1,e，故选D22022高台模拟已知函数feqf1,e，若对任意R，fa恒成立，则实数a的取值范围是A，1eB1e,1C1，e1D1e，B函数feqf1,e对任意R，fa恒成立，eqf1,ea恒

7、成立，即eqf1,ea1恒成立设geqf1,e，ha1，R，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示则满足不等式恒成立时，h的图象在g图象下方，又ge，故过原点0,0的函数g的切线方程为yeqf,e设切点0，y0，则y0eeqsu，若对11,2，20,2，使得f1g2，则实数m的取值范围是_eqblcrcavs4alco1f1,4，由题意只要f在1,2上的最小值大于g在0,2上的最小值即可，显然当1,2时，f的最小值为0，当0,2时，g的最小值为eqf1,4m，所以0eqf1,4m，所以meqf1,4题型3函数的实际应用核心知识储备函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序1常见类型：与函

8、数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题2应用函数模型解决实际问题的一般程序eqf读题,文字语言eqf建模,数学语言eqf求解,数学应用eqf反馈,检验作答3解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答高考考法示例【例3】12022宝鸡市高三质量检测三“酒驾猛于虎”所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过mL假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量也会迅速上升到mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则他至少要经过小时候才可以驾驶机动车

9、A1B2C3D42某工艺品厂要设计一个如图2621所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2622所示，其周长为4m这种材料沿其对角线折叠后就出现图2621的情况如图，ABCDABAD为长方形材料，沿AC折叠后AB交DC于点，用表示图中DP的长度，并写出的取值范围；求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽求面积S12S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？12图2621B设n个小时后才可以驾驶机动车，根据题意可得150%n，即eqf1,4，解得n2即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车故选B2解由题意，AB，BC2因为2，所以12设D，宽为2eqr2m时，S2最大S12S2eqf1,22eqbl

10、crcavs4alco11f1,23eqf1,2eqblcrcavs4alco12f4,，12于是S12S2eqf1,2eqblcrcavs4alco12f4,2eqf32,20，所以eqr3,2关于的函数S12S2在1，eqr3,2上递增，在eqr3,2，2上递减所以当eqr3,2时，S12S2取得最大值故当材料长为eqr3,2m，宽为2eqr3,2m时，S12S2最大方法归纳1在建立函数模型时一定要根据实际情况，确定准函数的定义域2对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法对点即时训练如图263，某小区有一边长为2的正方形地块OABC，其中阴影部分是一个游泳池，计划在地块O

11、ABC内修一条与池边AE相切的直路l宽度不计，切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若池边AE为函数y220eqr2的图象，且点M到边OA的距离为teqblcrcavs4alco1f2,3tf4,3，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积的最大值为_图2632Mt，t22，过切点M的切线l：yt222tt，即y2tt22，令y2得eqft,2，故切线l与AB交于点eqblcrcavs4alco1ft,2，2；令y0，得eqft,2eqf1,t，故切线l与OC交于点eqblcrcavs4alco1ft,2f1,t，0，又eqft

12、,2eqf1,t在eqblcrcavs4alco1f2,3，f4,3上单调递减，所以eqft,2eqf1,teqblcrcavs4alco1f17,12，f11,6，所以地块OABC在切线l右上部分区域为直角梯形，面积Seqf1,2eqblcrcavs4alco12ft,2f1,t2ft,224teqf1,t4eqblcrcavs4alco1tf1,t2，当且仅当t1时等号成立，故地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积的最大值为2高考真题12022全国卷已知函数f22ae1e1有唯一零点，则aAeqf1,2Beqf1,3Ceqf1,2D1C法一：换元法f22ae1e112ae1e11，令t1，

13、则gtft1t2aetet1gtt2aetet1gt，函数gt为偶函数f有唯一零点，gt也有唯一零点又gt为偶函数，由偶函数的性质知g00，2a10，解得aeqf1,2故选C法二：等价转化法f0ae1e122e1e12eqre1e12，当且仅当1时取“”221211，当且仅当1时取“”若a0，则ae1e12a，要使f有唯一零点，则必有2a1，即aeqf1,2若a0，则f的零点不唯一故选C最新模拟22022浦东新区一模某食品的保鲜时间y单位：小时与储存温度单位：满足函数关系yebe为自然对数的底数，、b为常数，若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时

14、间是小时A22B23C24D33C由题意可得eqblcrcavs4alco1192eb,48e22b，解得eqblcrcavs4alco1eb192,e11f1,2，e33beqblcrcavs4alco1e113ebeqf1,819224，该食品在33的保鲜时间是24小时，故选C32022雅安市三诊已知函数fe22e2只有一个零点，则实数的取值范围为A，eB0，eC，eD0，eD函数fe22e2，fe2，若函数f只有一个零点，则2是唯一的零点，故ye无零点，等价于ye与y无交点画出函数的图象，如图所示：由图象可得0设ye与y的切点坐标为A0，eeqsup120eeqsup120eqfeeqs

15、up1200,00，则01，即e0，e时，图象无交点，即函数f只有一个零点故选D42022红桥区一模已知函数feqblcrcavs4alco1f23,1，blcrcavs4alco1f1,2，1,f1,3f1,6，blcrcavs4alco10，f1,2，函数gasineqblcrcavs4alco1f,62a2a0，若存在1，20,1，使得f1g2成立，则实数a的取值范围是Aeqblcrcavs4alco1f2,3，f4,3Beqblcrcavs4alco1f1,2，1Ceqblcrcavs4alco1f1,2，f4,3Deqblcrcavs4alco10，f1,2C当0,1时，feqblcrcavs4alco1f23,1，blcrcavs4alco1f1,2，1,f1,