囚徒困境与数学期望

1、PAGE4囚徒困境与数学期望著名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖在纳什均衡论中有一个有趣的数学问题叫“囚徒困境”有两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯如果两人拒不交待，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年，不招供的一方则将被判10年；如果双方都招供将各被判5年请问他们将作何种选择我们不妨将二人称为甲、乙，在二人无法串供时每人都会选择有利于自己的行为在不知对方态度的前提下，某一方只能认为对方招供与否是等可能的，于是我们可以利用数学期望对其中的利弊加以分析：若甲选择不招供，他的刑期数学期望为年；若甲选择招供，他的刑期数学期望为年显然，于

2、是甲选择招供，同样，乙自然也选择招供，于是各判5年！这就是所谓的“纳什均衡”这是数学期望在现实生活中的一个典型应用这个问题反映了经济活动中，参与博弈的双方出于利己的动机，并不一定选择对大家都有利的行为，而是常常就象上面的两名囚徒一样，以两败俱伤而达到所谓的“均衡”当然这里双方的行为取决于游戏的规则，如果规则适当就可以出现互惠的局面如上述问题中，若将不招供一方的刑期由10年变为6年，这时，于是双方都选择不招供！在市场经济中，市场的监管者政府所制定的市场规则决定着个人的经济行为，这样的例子在经济活动中和日常生活中比比皆是下面举三例以作分析例1某商场通过检查发现存在火灾隐患，并估计发生火灾的概率为，

3、一旦发生火灾将造成1000万元的经济损失和人员伤亡，如果采取某预防措施需花费30万元，则可防止火灾发生因为一旦发生火灾造成人员伤亡，其损失是无法用金钱来计算的，因此政府鼓励商家采取预防措施如果商家采取预防措施政府将奖励10万元，如果发现商家不采取预防措施将处以罚款，而商家不采取措施被查到的概率为，这时，罚款额至少是多少万元才能促使商家采取预防措施分析：假设罚款额为万元，则商家不采取预防措施时总花费的期望为（万元）；采取预防措施的总花费的期望为：（万元），要鼓励商家采取预防措施则必须有：，即，所以（万元）故罚款额多于20万元才能起到鼓励作用例2电信行业价格竞争的数学模型：假设电信运营商A与B在电

4、信某一领域展开竞争一开始的价格为，A是老牌企业，实力雄厚，占领绝大部分的市场份额；B刚成立不久政府为了鼓励竞争有意扶植B而给予一定优惠，使得B的价格比A低这一举动开始时对A没有产生多大的影响但B由于有价格优势逐步壮大，到了一定程度对A造成了影响这时不妨假定：A维持原价，B也维持原价：A获利5，B获利10；A降价，B维持原价：A获利15，B损失5；A维持原价，B降价：A损失10，B获利15；A降价，B降价：A损失5，B损失5这时A怎么做分析：在未知对方态度的前提下，我们认定概率均等（即某一方降价与不降价的概率各为），A降价的收益数学期望为：，维持原价的收益数学期望为：为了自身利益的最大化，A选择降价！事实上从B看结果也一样，其降价收益为5，维持原价收益为于是实现了第种选择，二者各损失5，即消费者集体获益！这就是竞争与垄断的差别！例3在商业活动中偷税可非法获益而造成国家财产损失国家为了防止税收流失，通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款统计发现偷税者被查出的概率为，这时罚款额度n至少多大才能起到惩罚的作用分析：假设偷税额为，则偷税时商家受益的数学期望为，要使处罚有效，必须使，即故一旦查出至少应处以3倍以上的