生物统计学02-10课件

1、硕士研究生课程生物统计学 Biostatistics第 二 章试验资料的整理与统计量的计算Chapter 2 Collation of Raw Data and Calculation of Statistics 明德 砺志 博学 笃行目 录0. 本章提要1. 试验资料的搜集与整理 1.1 试验资料的搜集 (调查; 试验) 1.2 试验资料的整理 (检查与核对; 类型; 表; 图)2. 试验资料统计量的计算 2.1 平均数 (算术平均数; 中位数; 众数; 几何平均数) 2.2 变异数 (极差; 方差; 标准差; 变异系数)第二章 试验资料的整理与统计量的计算本章提要：试验资料的搜集与整理，是

2、数据资料处理的首要环节。 搜集资料时常用的方法为调查和试验；资料的整理，一般通过对原始资料进行检查、核对、制作频数分布表和频数分布图来完成。 试验资料都具有集中性和离散性两种基本特征： 反映集中性的特征值(统计量)是平均数，主要包括算术平均数、中位数、众数、几何平均数等， 而反映离散性的特征值(统计量)是变异数，主要包括极差、方差、标准差和变异系数。 对某种具体事物或现象的观察结果，以及来自生物学试验及调查的原始数据，都称为资料(data)。 在未整理之前，这些资料一般是分散的、零星的和孤立的，是一堆无序的数字和符号。 统计分析过程就是对这些资料进行整理、分类、计算，再以图、表、特征值(统计量

3、)、方程等反映结果。 1. 试验资料的搜集与整理1.1 试验资料的搜集样本资料的搜集(collection)是统计分析的第一步，也是全部统计工作的基础。 资料的来源一般有两个：一是调查，二是试验。 无论是调查还是试验，统计学对原始资料都要求完整和准确。 要通过样本无偏差地估计总体，既要增大样本容量，又要采用科学的抽样方法抽取有代表性的样本，取得完整而准确的资料。 与相应的统计分析方法相结合，正确的抽样方法不仅能节约人力、物力和财力，而且能为做出比较准确的总体估计和推断奠定基础。 生物学研究中，由于研究的目的和性质不同，所采取的抽样方法也各不相同。 以概率论和数理统计学原理为依据，用来推断总体的

4、样本必须是随机样本(random sample)，即以随机抽样(random sampling)法获得的样本，因为只有这样才能正确估算抽样误差、准确地推断总体。 随机抽样必须满足两个条件： 总体中每个个体被抽中的机会是均等的； 总体中任意一个个体是否被抽中是相互独立的，不受其他个体存在的影响(这一条特别适合于无限总体)。但是，生物学研究遇到的某些总体属于有限总体，有时难以完全符合随机样本的理论要求。1.2 试验资料的整理1.2.1 原始资料的检查与核对通过调查或试验取得原始资料(raw data)，及时对全部数据进行检查与核对，然后才能进行整理(collation)。 检查与核对，就是查验取样

5、是否有差错、数据本身是否有错误、以及订正不合理的数据，具体涉及到对原始资料的测量和记载有无差错、原始资料有无遗失、有无重记或非法合并现象、有无特大或特小的异常值。 对个别缺失的数据应进行及时补救，对重复、错误和异常值应予以删除或订正并注明原因，必要时进行复查或重新试验。 数据的检查与核对，在统计分析中是非常重要的步骤。只有经过检查与核实的资料，在数据完整、真实、可靠方面获得保证，才能进入统计分析的后续过程。1.2.2 试验资料的类型对试验资料进行整理、分类，是统计分析的基础，必须坚持“同质”原则。“同质”的试验数据，才能反映事物的共性和本质。 试验和调查资料一般具有两类性状：数量性状(quan

6、titative character)和质量性状(qualitative character)。数量性状是定量的，而质量性状则是定性的。所以资料也可以如此分为二类。1.2.2.1 数量性状资料数量性状资料(data of quantitative character)，一般是由计数和测量得到的。由计数法得到的数据称为计数资料(enumeration data)，也称为非连续变量资料(data of discontinuous variable)，以正整数出现。例如，鱼尾数、玉米果穗籽粒行数、种群内个体数、白血细胞数等，只可能是 1，2，n。 由测量所得的数据称为计量资料(measurement

7、 data)，也称为连续变量资料(data of continuous variable)。计量数据通常以长度、重量、体积等单位表示，可以带小数；其数值可以精确至十分、百分、千分位等，依试验要求和测量仪器或工具的精度而定。例如，人体身高、玉米果穗重量、仔猪体重、奶牛产奶量等。 (2) 评分法(point system)，以数字划分等级，表示某种属性的强弱差别。例如，小麦感染锈病的严重程度可划分为 0 (免疫)、1 (高度抵抗)、2 (中度抵抗)、3 (感染)级；家畜肉质可评为10分、8分、或6分。 经过数量化的质量性状资料就可以参照计数和计量资料统计方法进行处理。1.2.3 频数分布表根据样本

8、资料的多少确定是否分组。一般样本容量在30以下的小样本不必分组，可直接投入统计分析；如果样本容量在30以上，就需酌情将数据分成若干组。 经过分组的数据，可以编制频数分布表(frequency table)，或绘制频数分布图。1.2.3.1 计数资料的整理计数资料基本上以单项式分组法(grouping method of monomial)进行分组，即以自然的样本变量值进行分组，使每组包含一个或几个变量值，再计算各组内相应变量的频数、编制频数分布表。例如，从某鸡场调查100只来亨鸡每个月的产蛋数，原始数据见表2-1。 每月产蛋数变动在11-17范围内。把这100个观测值按照每月产蛋数加以归类，共

9、分7组；将各组所含数据的数目进行统计，得出各组频数；计算出各组的频率(frequency)和累积频率(cumulative frequency)，填入表2-2，构成每月产蛋数的频数分布表。表2-2 100只来亨鸡每月产蛋数的频数分布表每月产蛋数次数频率累积频率1120.020.021270.070.0913190.190.2814350.350.6315210.210.8416110.110.951750.051.00 由表2-2可知，一堆杂乱无章的原始数据，经初步整理后就显示了产蛋概况。其中以每月产蛋数为14枚者最多。经过这样整理的资料也就便于继续分析。 对于变量较多而变异范围较大的计数资料

10、，若同样分组，则显得组数太多而每组内变量数目较少，容易掩盖数据分布的规律性。例如，现有某小麦品种的300个麦穗，穗粒数为18-62粒；如果按一个变量分一组，需要分45组，仍然很分散。 此时酌情按5个自然变量值分1组可分9组，每组的起止限为：18-22、23-27、28-32、33-37、38-42、43-47、48-52、53-57、58-62。将这300个穗粒数资料进行如此分组，算出各组变量数目的频数、频率和累积频率并制表(表2-3)，就可显示出分布概况，即大部分麦穗的粒数在28-52之间，呈现了一定的规律性。表2-3 小麦品种300个麦穗穗粒数的频数分布表穗粒数频数频率累积频率18 22

11、30.01000.010023 27 180.06000.070028 32 380.12670.196733 37 510.17000.366738 42 680.22670.593443 47 530.17660.770048 52 410.13670.906753 57 220.07330.980058 62 60.02001.00001.2.3.2 计量资料的整理对计量资料一般采用组距式分组法(grouping method of class interval)。分组时需先确定全距、组数、组距、各组上下限，然后按观测值的大小来归组。各组的上下限要比观测值精确一位。 下面以150尾鲢鱼的

12、体长资料(表2-4)为例，说明计量资料的整理方法和具体步骤。表2-4 150尾鲢鱼的体长(cm)-56, 49, 62, 78, 41, 47, 65, 45, 58, 55, 52, 52, 60, 51, 62, 78, 66, 45, 58, 58, 56, 46, 58, 70, 72, 76, 77, 56, 66, 58, 63, 57, 65, 85, 59, 58, 54, 62, 48, 63, 58, 52, 54, 55, 66, 52, 48, 56, 75, 55, 63, 75, 65, 48, 52, 55, 54, 62, 61, 62, 54, 53, 65,

13、 42, 83, 66, 48, 53, 58, 57, 60, 54, 58, 49, 52, 56, 82, 63, 61, 48, 70, 69, 40, 56, 58, 61, 54, 53, 52, 43, 58, 52, 56, 61, 59, 54, 59, 64, 68, 51, 55, 47, 56, 58, 64, 67, 72, 58, 54, 52, 46, 57, 38, 39, 64, 62, 63, 67, 65, 52, 59, 60, 58, 46, 53, 57, 37, 62, 52, 59, 65, 62, 57, 51, 50, 48, 46, 58,

14、 64, 68, 69, 73, 52, 48, 65, 72, 76, 56, 58, 63- (1) 求全距 全距(range)是样本数据资料中最大观测数与最小观测数的差值。它是整个样本的变异幅度。由表2-4可以看出，鲢鱼体长最大值为 85 cm，最小值为 37 cm，因此，全距 = 85 37 = 48 (cm)。 (2) 确定组数和组距 根据样本观测数的数目及组距大小来确定组数(number of classes)，同时也要兼顾待算样本统计量的精度以及计算是否方便。 组距小组数自然就多；组数少组距就相应增大。 通常划分组数可参照表2-5样本容量与分组数的关系来确定。 表2-4中鲢鱼体长

15、的样本容量为150，查表2-5，组数为9-12组，这里取10组，则组距应为：48 / 10 = 4.8 (cm)为分组方便，以 5 cm 作为组距。 (3) 确定组限和组中值 组限(class limit)是指每组变量值的起止界限。每组有两个组限：下限和上限。在确定最小组的下限时，必须把资料中最小的数值包括在内，因此，下限要比最小值小些。为了计算方便，组限可取到10分位或5分位数上。确定最大组的上限时，必须大于资料中的最大值。 如表2-4中最小值为 37 cm，第一组的下限可定为35.5 cm，上限定为 40.5 cm，即 35.5-40.5 cm为第一组，凡大于 35.5 cm 小于 40.

16、5 cm 的变量均归于这一组，等于或大于 40.5 cm 的变量列入下一组。为了使各组界限明确，避免重叠，目前在写法上，每组只写下限，不写上限，如表2-6资料分组写成 35.5，40.5，85.5。 (4) 分组、编制频数分布表 确定组数和各组上、下限后，可按原始资料中各观测数的次序，把各个数值归于各组，即进行分组(classification)。一般用“正”字划计法或卡片法来统计各组的观测数次数。 全部观测数归组后，即可求出各组的频数、频率和累积频率，制成一个频数分布表(表2-6)。这种频数分布表不仅便于阅读，而且可根据它绘制频数分布图，计算平均数和标准差等统计量。表2-6 150尾鲢鱼体长

17、(cm)的频数分布表组限(cm)组中值(cm)频数频率累积频率35.53830.02000.020040.54340.02670.046745.548170.11330.160050.553280.18670.346755.558400.26660.613360.563250.16670.780065.568170.11330.893370.57360.04000.933375.57870.04670.980080.58320.01330.993385.58810.00671.00001.2.4 频数分布图频数分布图(frequency chart)，用于把频数分布信息绘成统计图。频数分布图可

18、以更形象而直观地反映各组变量次数的分布概况。常用的频数分布图有条形图、饼图、直方图、多边形图、散点图等。1.2.4.1 条形图(bar chart)又称柱形图，适于表示计数资料和属性资料的频数分布。横坐标表示变量的自然值，纵坐标表示次数。每个频数在相应自然值的所在位置起笔截取某个宽度，并按其频数高度绘成长方形。各长方形之间留有间隔，以示与后面介绍的直方图不同。图2-1是100只来亨鸡每月产蛋数的次数分布条形图。1.2.4.2 饼图(pie chart)适于表示计数资料和属性资料的次数分布。把饼图的全面积看成 1，求出各观测值次数占观测值总数的百分比(或频率)，按比例将圆饼分成若干份，并以扇形面

19、积大小分别表示各组变量的比例(图2-2)。1.2.4.3 直方图(histogram)又称矩形图，适合于表示计量资料的次数分布。与条形图相似，横坐标表示各组组限，纵坐标表示次数。按组距截取一定宽度并按次数截取高度，再用直线连接起来构成长方形。各长方形间没有间隔，即前组上限与后组下限合并(图2-3)。1.2.4.4 多边形图(polygon chart)也称折线图(broken-line chart)，也是表示计量资料次数分布的一种方法。以横坐标表示各组组中值，纵坐标表示次数。在各组组中值的垂线上，按该组次数高度标记一个点；把相邻的点用直线段顺次连接起来，即成多边形图(图2-4)。1.2.4.5

20、 散点图(Scatter chart)又称散布图，适合于表示计数资料和计量资料的次数分布。横坐标表示 x 变量，纵坐标表示 y 变量。由 x值和 y 值确定数据点在图形中的位置。研究人员根据图中各点分布状态判断变量之间的关系(图2-5、图2-6)。 与频数分布表相比，频数分布图能更直观地反映各观测资料的中心及其变化趋势。同样，按照资料分组的频率值也可以绘制频率分布图。2. 试验资料统计量的计算由频数分布表、图可知，变量分布具有二种基本特征：集中性和离散性。 集中性(centrality)表达了变量的重心，或者说反映了以某一数值为中心而分布的性质。离散性(discreteness)是变量表现的偏

21、离中心而分散、变异的性质。为了反映变量分布的这两个基本性质，就必须计算它们的统计量(statistic)。 反映集中性的统计量是平均数，包括算术平均值、中位数、众数、几何平均数等；其中最为常用的是算术平均值。 反映离散性的统计量为变异数，包括极差、方差、标准差和变异系数；其中最为常用的是标准差。2.1 平均数(mean)是计量资料的代表值，表示资料中观测值的中心位置，并且可作为某组资料代表与其它组资料相比较，以确定二者之间的差异。平均数主要有以下四种：2.1.1 算术平均数(arithmetic mean) 总体或样本资料中所有观测值的总和除以观测值个数所得的商，称为算术平均数(arithme

22、tic mean)。对于一个具有 N 个观测值的有限总体，其观测数为 x1，x2，xN，则该总体的算术平均数(arithmetic mean of the population)为：(2.1) 对于具有 n 个观测数 x1，x2，xn 的样本，其算术平均数(arithmetic mean of the sample)为：(2.2) 式(2.1)和式(2.2)中，为求和符号；xi 表示随机变量，其下标 i 表示变量排列顺序； 表示把随机变量从第一个加到最后一个，也可简写为 。 是的估计值；因 应用广泛，常简称为平均数或均值。2.1.1.1 算术平均数的计算方法 (1) 直接计算法 当样本较小时可

23、根据算术平均数的定义直接进行。 【例2.1】 随机抽取20株小麦，其株高(cm)分别为82，79，85，84，86，84，83，82，83，83，84，81，80，81，82，81，82，82，82，80，求小麦的平均株高。根据平均数的定义，由式(2.2)，得： (2) 减去(或加上)常数法 若变量 xi 的值都较大(或较小)，且接近某一常数 a 时，可将它们的值都减去(或加上)常数 a，得到一组新的数据，然后再计算平均数，最后重新加上(或减去)常数 a 即得到 。以减去常数 a 为例，设 y1 = x1 - a，y2 = x2 - a，yn = xn a, 则有 x1 = y1 + a, x

24、2 = y2 + a，xn = yn + a，于是有： (2.4) 【例2.2】利用减去常数法，计算例2.1的平均数。 设 a = 80，则有 y1 = 82 80 = 2，y2 = 79 80 = -1，y20 = 80 80 = 0，代入式(2.4)，得： (3) 加权平均法 在具有 n 个观测数的样本中，如果观测数 x1 出现 f1 次，观测数 x2 出现 f2 次，观测数 xm 出现 fm 次，且 f1 + f2 + + fm = n，这时则有： (2.5)这里，fi 可理解为 xi 在平均数中的“权重(weight)”，即数值相同的观测数出现的次数，因而上式所求得的称为加权平均数(w

25、eighted mean)。 【例2.3】 利用加权平均法，计算例2.1的加权平均数。先整理20个小麦株高数据如表2-7。表2-7 小麦20个株高(cm)数据的次数分布株高 x次数 f fxfx27917962418021601280081324319683826492403448332492066784325221168851857225861867396总和f = 20fx = 1646fx2 = 135524由式(2.5)得：2.1.1.2 算术平均数的重要特性 (1) 离均差的总和等于零 样本中各观测值与其平均数之差离均差(deviation from mean)的总和等于零。证明如下

26、：因为 ，所以 ，故：(2.6) (2) 离均差平方和最小 样本中各观测值与其平均数之差平方的总和，较各观测值与任一数值离差的平方和为小，即离均差平方和 (mean deviation sum of squares)为最小。设 a 为 以外的任何数值，则 。证明如下：已知 ，因此 因为 必大于0，所以有：2.1.1.3 算术平均数的作用算术平均数是描述观测资料的重要特征值，它的作用主要有以下两点： (1) 指出一组数据资料中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平； (2) 作为样本或资料的代表数与其他资料进行比较。2.1.2 中位数(median) 将试验或调查的资料中所有观测值依大

27、小顺序排列，居于中间位置的观测值称为中位数(median)，以 Md 表示。当观测值个数 n 为奇数时，中位数是第(n + 1)2位置的观测值；当观测值个数 n 为偶数时，中位数是第 n/2 和 n/2 + 1位置的两个观测值之和的 1/2。2.1.3 众数(mode) 资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的中点值(组中值)，称为众数(mode)，以 Mo 表示。2.1.4 几何平均数(geometric mean) 资料中有 n 个观测数，其乘积开 n 次方所得的数值，称为几何平均数(geometric mean)。几何平均数适用于变量 x 为对数正态分布、经对数转换后呈正态分布的资

28、料。其计算公式为： (2.3) 上述四种平均数中，算术平均数是最常用的平均数，中位数、众数和几何平均数使用较少。2.2 变异数变量的分布具有集中性和离散性两方面特征，因而只有表示集中性的平均数是不够的，还必须计算变异数(variance)以度量其变量的离散性或变异性(variability)。用来表示变异性的指标较多，常用的有极差、方差、标准差、变异系数等，其中以标准差和变异系数应用最为广泛。2.2.1 极差(range) 又称全距，它是样本变量中最大值和最小值之差，一般用R表示。R = max x1，x2，xn min x1，x2，xn (2.8) 例如表2-4资料中，150尾鲢鱼体长的极差

29、R = 85 37 = 48 (cm)。 极差在一定程度上能说明样本波动的大小，但它只受样本中两个极端个体数值大小的影响，不能代表样本中所有观测值的变异程度，因而只在研究小样本波动性时使用，具有一定的局限性。2.2.2 方差(variance)为了度量变量的变异程度，对含有 n 个观测值 x1，x2，xn 的样本，可以用各观测值离均差的大小来表示，但是， ，不能反映样本的总变异程度。若将离均差先平方再求和，即 ，就可消除上述弊病。但这样还有一个缺点，就是离均差平方和常随样本容量大小而改变。 为便于比较，用样本容量 n 来除离均差平方和，得到平均的平方和，简称方差(variance)或均方(me

30、an squares, MS)。 样本方差(sample variance) s2 的计算公式为：(2.9)总体方差(population variance)2的计算公式为：(2.10) 式(2.9)中，n - 1为自由度(degree of freedom, df)。式(2.10)中，N 为有限总体容量。s2 是2 的最好估计值。 比较式(2.9)和式(2.10)，样本方差不用 n，而是用n - 1为除数，因为 是一个最小的平方和，如果以 n 为除数，则所得 s2 是2 的偏小估计。如果用 n - 1替代 n，则可避免偏小估计的弊端，从而提高用样本估计总体变异的精度。 方差是度量资料变异的常

31、用统计量，在分析数据资料的变异特征和统计推断中有广泛用途。2.2.3 标准差(standard deviation, SD) 2.2.3.1 标准差的定义方差虽能反映变量的变异程度，但由于离均差取了平方值，使得它与原始数据的数值和单位都不相适应，需要将方差开方还原。方差的平方根值就是标准差(standard deviation, SD)。样本的标准差(standard deviation of the sample) s为： (2.11)总体标准(standard deviation of the population)为： (2.12)2.2.3.2 标准差的计算公式 要求先计算样本平均数

32、，再按式(2.11)计算方差、标准差。这样计算比较麻烦，而且当 为约数时，容易引起计算误差。所以，通常把 展开、变换，直接用原始数据进行计算：(2.13) 把展开式代入式(2.11)，得： (2.14) 在实际计算时，当遇到数值较大(或较小)的数据时，为了减化计算过程，可将各观测值都减去(或加上)一个常数，所得的 s 不变。 【例2.4】 测得9名男子前臂长(cm)的样本数据，列于表2-8，试计算其标准差(设 x = x 45)。表2-8 9名男子前臂长(cm)标准差计算前臂长 xx2x= x - 45x245202500421764-39441936-1l411681-41647220924

33、5025005254722092446211611492401416x = 411x2 = 18841x = 6x2 = 76将表2-8资料按两种算法的数据代入式(2.14)，得： 两种算法相比，其结果是一样的。当样本的变量数值较大时，用简化后的数据计算标准差 s 可以大大节约计算工作量。 对于已分组的资料，应采用加权的公式进行计算，其公式为： 【例2.5】 根据表2-7数据，计算20株小麦株高的标准差。 由表2-7可知，fx = 1 646，fx2 = 135 524，代入式(2.15)，得：2.2.3.3 标准差的特性及其作用标准差是衡量变量资料变异程度的最好标志，它具有以下几个特性： (

34、1) 标准差的大小，受多个观测值的影响，如果观测值与观测值间差异较大，其离均差也大，因而标准差也大，反之则小。 (2) 在计算标准差时，对各观测值加上或减去一个常数，其标准差不变。如果给各观测值乘以或除以一个常数 a，则所得的标准差扩大或缩小了 a 倍。 (3) 在正态分布情况下，一个样本变量的分布情况可作如下估计：在平均数 两侧的1s范围内，即 内的观测值个数为观测值总个数的68.26；在平均数两侧的2s范围内，即 内的观测值个数约观测值总个数的95.45；在平均数两侧的3s范围内，即 内的观测值个数约为观测值总个数的99.73。 标准差的性质表明，它具有以下几种作用： (1) 表示变量分布

35、的离散程度。标准差小，说明变量的分布比较密集在平均数附近，标准差大，则表明变量的分布比较离散。因此，可以用标准差的大小判断随机变量波动性的大小。 (2) 概括随机变量的比例。利用标准差可以概括随机变量的次数分布及其在总体中所占的比例。 (3) 估计平均数的标准误。即以样本标准差代替总体标准差估算平均值的标准误。 (4) 进行平均数的区间估计和变异系数计算。2.2.4 变异系数(coefficient of variation)当比较两个样本时，由于两者的平均数可能不同，统一用标准差表达它们的变异程度就不合适，而变异系数则适应这种比较。样本标准差除以样本平均数，所得商或比值就是变异系数coeff

36、icient of variation (variability)，一般用CV表示，其公式表达为： (2.16)【例2.6】 某品种水稻在大田栽植，其穗粒数为44.6，标准差为17.9，而在丰产田栽植，其穗粒数为65.0，标准差18.3，问哪种栽植田水稻穗粒数变异程度较大? 将两种栽植田内水稻穗粒数的平均数、标准差分别代入式(2.16)，得出： 大田水稻穗粒数的变异系数为： 丰产田水稻穗粒数的变异系数为： 从变异系数可以看出，虽然大田内水稻穗粒数的标准差较小，但其变异系数要比丰产田大，说明丰产田水稻穗粒数的整齐度优于大田。思考练习题 习题2.1 什么是次数分布表? 什么是次数分布图? 制表和绘图的基本步骤有哪些? 制表和绘图时应注意些什么? 习题2.2 算术平均数与加权平均数形式上有何不同? 为什么说它们的实质是一致的? 习题2.3 平均数与标准差在统计分析中有什么用处? 它们各有哪些特性? 习题2.4 总体和样本的平均数、标准差有什么