实验四多元函数的极值课件

1、实验4 多元函数的极值实验目的 了解多元函数偏导数的求法 了解多元函数极值的求法 了解多元函数条件极值的求法 了解多元函数插值的方法 学习、掌握MATLAB软件有关的命令实验内容1、求函数 的极值点和极值。2、求函数 在条件下 的极值。3、已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,82)，(4,2,84）(0,3,79)，(2,3,61)，(3,3,65)，(0,4,84)，(1,4,84)，(4,4,86)，将这些点用二元函数插值的方法画出完整的曲面。4、求图像的极值点，并通过这些极值点对图像进行插值。实验准备1、计算多元函数的极值 对于多元函数的极值问题，根据多元函数极值的必要条件和充分

2、条件，可分为以下几个步骤：（2）求解正规方程 得到驻点；（1）定义多元函数 ； 2. 计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数z=f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大 值和最小值的一般步骤为：计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；b) 计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最小值；c) 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。求函数偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数。diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。实验方法与步骤练习1、求函数 的极值点和极

3、值。练习1、求函数 的极值点和极值。clear;syms x y zx zy;z=x4-8*x*y+2*y2-3;zx=diff(z,x);zy=diff(z,y);首先用diff命令求z关于x, y的偏导数Ex4_1结果为zx =4*x3-8*y，zy =-8*x+4*y其次，求解正规方程，得到驻点的坐标一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的matlab代码为:clear;x1,y1=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y);Ex4_2得到三个驻点，分别为 (-2,-4)， (0,0)， (2,4)下面再求判

4、别式中的二阶偏导数:clear;syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)运行结果为：A=12*x2B =-8C =4Ex4_3最后，对于点（-2，-4），（0，0）和（2，4）分别判别是否是极值点Ex4_4clear;N=input(please input points number,N=);for i=1:Nx=input(x=);y=input(y=);A=12*x2;B=-8;C=4;p=A*C-B*B; if p=0 disp(无法判别) elseif and(p0,A0) dis

5、p(极小值点,极小值是) fmin=x4-8*x*y+2*y2-3 elseif and(p0,A0) disp(极大值点,极大值是) fmax=x4-8*x*y+2*y2-3 elseif (p0) disp(不是极值点) end end由判别法可知 (-2,-4)和 (2,4)都是函数的极小值点，而点 (0,0)不是极值点。练习2、求函数 在条件 下的极大值。构造Lagrange函数求Lagrange函数的极值。先求 关于 的一阶偏导数，相应的matlab代码为Ex4_5clear;syms x y k;L=x*y+k*(x+y-1);Lx=diff(L,x)Ly=diff(L,y)Lk=

6、diff(L,k)运行得到Lx =y+kLy =x+k Lk =x+y-1解正规方程，clear;x1,y1,k1=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0，x, y, k); 所以，极大值点为（1/2，1/2），极大值点为1/4 练习3 抛物面 被平面 截成了一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长距离与最短距离。 在条件 及 下的最大值和最小值。构造Lagrange函数求Lagrange函数的极值。先求 关于 的一阶偏导数，相应的matlab代码为这个问题实际上就是求函数Ex4_6clear;syms x y z u v;l=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1

7、);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)再解正规方程得Ex4_7即得Lagrange函数的驻点，所求的条件极值点必在其中得到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f在有界闭集上连续，从而存在最大值与最小值），故由可得椭圆到原点的最长距离为 ，最短距离为 。得练习4 已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,82)，(4,2,84）(0,3,79)，(2,3,61)，(3,3,65)，(0,4,84)，(1,4,84)，(4,4,86)，将这些点用二元函数插值的方法画出完整的曲面。首先看这些原始数据的柄图数据是残缺不全的，需要用插值的方

8、法画出完整的曲面clear;x=2,3,4,0,2,3,0,1,4;y=2,2,2,3,3,3,4,4,4;z=80,82,84,79,61,65,84,84,86;stem3(x,y,z); %画柄图命令title(Raw data);xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)Ex4_8画柄图的MATLAB命令插值的MATLAB命令interp1(x,y,xi,method) 或interp1(x,y,xi)是一维插值函数，其中x,y是已存在的数据，xi是要插入其中的数据点。method是：nearnest(最近点插值)、 linear(线性插值)、cubic(三次分段插值)

9、、 spline(三次样条插值)，缺省是linear。interp2(x,y,z,xi,yi,method) 或interp1(x,y,z,xi,yi)是二维插值函数，其中x,y是已有二维数据，z是由x,y决定的数值，xi,yi是已知的一对数值，通过插值来找到相应的zi值。参数method有：nearest、 bilinear、bicubic、 spline。griddata(x,y,z,xi,yi,method) 或griddata(x,y,z,xi,yi)也是二维插值函数，与interp2相似，不同之处在于：Interp2严格要求x,y单调；而griddate可以处理不规则数据 对上面数据

10、用插值的方法画出完整的曲面，相应的matlab程序代码如下：xi=0:0.2:3;yi=2:0.2:4; %选定x,y的范围X,Y=meshgrid(xi,yi); %产生网格向量X,YZ=griddata(x,y,z,X,Y,cubic);%cubic采用三角形三次插值mesh(X,Y,Z);title(Griddata);xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)Ex4_9练习5 求图像的极值点，并通过这些极值点对图像进行插值。B=imregionalmax(A)，求A的所有局部极大值点， B是二值图像B=imregionalmin(A)，求A的所有局部极小值点，B是二值图

11、像问题：为什么要求图像的极值点？Ex4_12clear all;I=imread(horseriding.bmp);I=double(I);row,col=size(I);t1=clock;%*Imax=imregionalmax(I);Imin=imregionalmin(I);Imax=double(Imax);Imin=double(Imin);Nmax,xmax,ymax,zmax=extremanum(I,Imax);Nmin,xmin,ymin,zmin=extremanum(I,Imin);%*xr=1:row;yr=1:col;x1,y1=meshgrid(xr,yr);u=g

12、riddata(xmax,ymax,zmax,x1,y1,cubic);v=griddata(xmin,ymin,zmin,x1,y1,cubic); %-display- figure(1); subplot(221);imshow(uint8(I);axis off subplot(222);imshow(uint8(u);axis off subplot(223);imshow(uint8(v);axis off %* t=etime(clock,t1)function Num,x,y,z=extremanum(I,Ima)width=size(Ima,2);height=size(Im

13、a,1);k=1;for h=1:height for w=1:width if Ima(h,w)=1 x(k)=h; y(k)=w; z(k)=I(h,w); k=k+1; end endendNum=k-1;动画效果动画生成的步骤创建帧矩阵 moviein对动画中的每一帧生成图形，并把它们放到帧矩阵中 getframe从帧矩阵中回放动画moviein、 getframe、movie指令x=-8:0.5:8; XX,YY=meshgrid(x);r=sqrt(XX.2+YY.2)+eps;Z=sin(r)./r;surf(Z); %画出祯theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同一坐标系中fmat=moviein(20); %创建动画矩阵，保存20祯for j=1:20; %循环创建动画数据surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z) %画出每一 步的曲面 axis(theAxes) %使用相同的坐标系fmat(:,j)=getframe;%拷贝祯到矩阵fmat中end movie(fmat,10) %演示动画10次数学实验的大门刚刚打开，里面的世界很精彩，愿你在这个五彩缤纷的世界里获得知识、获