数列求及和综合应用

1、.数列求和及综合应用解答题1. 已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.求数列an的通项公式.记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解题指南由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列an的通项.根据an的通项公式表示出an的前n项和公式Sn,令Sn60n+800,解此不等式.解析设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有2=2,化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+4=4n-2,从而得数列an的通项

2、公式为an=2或an=4n-2.当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n-10,此时存在正整数n,使得Sn60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n.当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.2. 2014XX高考理科18已知等差数列满足： 2,且成等比数列.求数列的通项公式.记为数列的前项和,是否存在正整数,使得若存在,求的最小值；若不存在,说明理由.解题指南由,成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列的通项；根据的通项公式表

3、示出的前n项和公式,令,解此不等式。 解析1设数列的公差为,依题意,成等比数列,故有化简得,解得或当时,当时,从而得数列的通项公式为或。2当时,。显然此时不存在正整数,使得成立。当时,令,即,解得或舍去,此时存在正整数,使得成立,的最小值为41。综上,当时,不存在满足题意的；当时,存在满足题意的,其最小值为41。3. 2014XX高考理科20本小题满分13分已知数列满足1若是递增数列,且成等差数列,求的值；2若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式解题提示1由是递增数列,去掉绝对值,求出前三项,再利用成等差数列,得到关于p的方程即可；2是递增数列,是递减数列,可以去掉绝对值,再利用叠加法

4、求通项公式。解析1因为是递增数列,所以,又,因为成等差数列,所以,解得,当,与是递增数列矛盾,所以。2因为是递增数列,所以,于是由于,所以由得,所以因为是递减数列,所以同理可得,由得,所以,所以数列的通项公式为4. 2014XX高考文科17本小题满分12分 已知数列的前项和. 1求数列的通项公式； 2设,求数列的前项和.解题提示1利用的关系求解,2分组求和。解析1当时,；当,故数列的通项公式为2由1知,记数列的前2n项和为,则记,则,故数列的前2n项和5.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足-Sn-3=0,nN*.求a1的值.求数列an的通项公式.证明:对一切正整数n,有+.解

5、题提示可直接令n=1.用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1.先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.解析令n=1,则S1=a1,-S1-3=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.-Sn-3=0可以整理为Sn-=0,因为数列an中an0,所以Sn-3,只有Sn=n2+n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-2-=2n,而a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.因为=,=-,所以+=-.故对一切正整数n,有+.6. 2014XX高考理科19本题满分14分已知数列和满足.若为等比数列,且求与；设,记数列的前项和为.求；求正整数,使得对任意,均有.解析1由题意,知又由,得公比舍

6、去,所以数列的通项所以,所以数列的通项2由1知所以因为,； 当时,而 得所以,当时,综上,对任意恒有,故.7. 2014上海高考理科23已知数列满足.若,求的取值范围；若是公比为等比数列,求的取值范围；若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公差.解题指南解析8.已知数列的前n项和Sn=,nN*.求数列的通项公式.证明:对任意的n1,都有mN*,使得a1,an,am成等比数列.解题指南利用an=Sn-Sn-1解决.a1,an,am成等比数列,转化为=a1am.解析当n=1时a1=S1=1;当n2时an=Sn-Sn-1=-=3n-2,对n=1也满足,所以的通项公式为an=3n

7、-2;证明:由得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列,需要=a1am,所以2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2N*,所以对任意n1,都有mN*使得=a1am成立,即a1,an,am成等比数列.9 2014上海高考文科23已知数列满足.若,求的取值范围；若是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比；3若成等差数列,求数列的公差的取值范围.解题指南解析10. 2014XX高考理科19已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.求数列的通项公式；令,求数列的前项和.解题指南先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列的通项公式.

8、利用裂项求和法求解,注意本题是将数列裂成两项之和,然后再分奇数和偶数来求数列的前n项和.解析I解得II11. 2014XX高考文科19在等差数列中,已知,是与等比中项. 求数列的通项公式； 设记,求.解题指南先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列的通项公式.分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.解析： 由题意知：为等差数列,设,为与的等比中项且,即, 解得： 由 知：,当n为偶数时：当n为奇数时：综上：12.已知首项都是1的两个数列anbn,满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.令cn=,求数列cn的通项公式.若bn=3n+1,求数列an的前n项和Sn.解题指南将等

9、式两端同时除以bnbn+1即可求解.由及bn=3n+1可得数列an的通项公式,分析通项公式的特征利用错位相减法求Sn.解析因为bn0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得-+2=0,即-=2,所以cn+1-cn=2,所以cn是以c1=1为首项,2为公差的等差数列,所以cn=1+2=2n-1.因为bn=3n+1,cn=2n-1.所以an=cnbn=3n+1.所以Sn=132+333+534+3n+1,3Sn=133+334+3n+1+3n+2,作差得:-2Sn=32+2-3n+2=9+2-3n+2=-18+23n+2,所以Sn=9+3n+2.13.2014XX高考文科18数列

10、满足证明：数列是等差数列；设,求数列的前项和解题提示 利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。解析由已知可得,所以是以1为首项,1 为公差的等差数列。2由1得,所以,从而,将以上两式联立可得=所以14. 已知数列满足a1=1,an+1=3an+1.证明是等比数列,并求的通项公式.证明:+.解题提示将an+1=3an+1进行配凑,得an+1+与an+的关系,得证,然后求得an的通项公式.求得的通项公式,然后证得不等式.解析因为a1=1,an+1=3an+1,nN*.所以an+1+=3an+1+=3.所以是首项为a1+=,公比为3的等比数列.所以an+=,所以an=.=.=1,当n1时,=.所以+

11、1+=.所以,+.nN*.15. 2014XX高考理科19设等差数列的公差为,点在函数的图象上1若,点在函数的图象上,求数列的前项和；2若,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前 项和.解题提示本题主要考查等差数列与等比数列的概念,等差数列与等比数列的通项公式和前n项和、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力.解析1点在函数的图象上,所以,又等差数列的公差为,所以,因为点在函数的图象上,所以,所以,又,所以2由函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为,从而,故从而,所以故.16. 2014XX高考文科19设等差数列的公差为,点在函数的图象上1证明：数列为等比数列； 2若,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前项和解题提示本题主要考查等差数列与等比数列的概念,等差数列与等比数列的通项公式和前n项和、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力.解析1点在函数的图象上,所以,又等差数列的公差为,当时,所以,数列是首项为,公比为的等比数列2由函数的图象在点处的切线