函数奇偶性知识点和经典题型归纳文档

1、函数奇偶性知识梳理奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，若是对D内的任意一个x，都有f(x)f(x)，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数yf(x)的定义域为D，若是对D内的任意一个x，都有f(x)f(x)，则这个函数叫做偶函数.3）奇偶性：若是函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)拥有奇偶性.4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在x0时有定义，则f(0)0（2）若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数2奇(偶)函数的基本性质对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称

2、单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法1第一确定函数的定义域，并判断其定义域可否关于原点对称；2确定f(x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0，则f(x)是奇函数例题精讲2【例1】若函数f(x)axbx是偶函数，求b的值.f(x)f(x)ax2bx=ax2-bx.2bx=0.b0.【例3】已知函数f(x)12在y轴左边的图象以以下列图所示，画出它右边的图象.x题型一判断函数的奇偶性【例4】判断以下函数的奇偶性.

3、（1）f(x)|x|(x21)；（2）f(x)x1；x1/4（3）f(x)|x1|x1|；（4）f(x)x22x；（5）f(x)1x2x21（6）f(x)x2x,x0 xx2,x0解：（1）f(x)|x|(x21)的定义域为R，关于原点对称f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)f(x)f(x)，即f(x)是偶函数（2）f(x)x1的定义域为x|x0 x由于定义域关于原点不对称故f(x)既不是奇函数也不是偶函数（3）f(x)|x1|x1|的定义域为R，关于原点对称f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数（4）f(x)x22x的定义域为

4、2，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数（5）f(x)1x2x21的定义域为1，1，由f(1)0且f(1)0，所以f(x)0所以f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称故f(x)既是奇函数又是偶函数（6）显然定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x2x(xx2)；当x0，f(x)xx2(x2x)即f(x)(x2x),x0(xx2),x0即f(x)f(x)f(x)为奇函数题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，求f(3)和f(0)的值.解：f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)f(3)2，f(0)0.【例5】已知f(x)是奇

5、函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，求g(1).解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得f(x)f(x)，g(x)g(x)所以f(1)g(1)22/4f(1)g(1)4由消掉f(1)，得g(1)3.题型三利用函数的奇偶性求函数剖析式【例6】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x3x2，当x0时，求f(x)的剖析式.解：当x0时，有x0所以f(x)(x)3(x)2x3x2又由于f(x)在R上为偶函数所以f(x)f(x)x3x2所以当x0时，f(x)x3x2.【例7】若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，求g(x)

6、.解：由于f(x)为偶函数，g(x)为奇函数所以f(x)f(x)，g(x)g(x)由于f(x)g(x)ex所以f(x)g(x)ex所以f(x)g(x)ex由式消去f(x)，得g(x)exex.2课堂练习仔细读题，必然要选择最正确答案哟！1.函数f(x)x11x是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2.已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x21，则f(1)（）xC.0D.-23.f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2，则当x0时，有（）Af(x)2Bf(x)2Cf(x)2D.f(x)R4.已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x2）在0，2上是单调减函数，

7、则（）A.f（0）f（1）f（2）B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0）D.f（2）f（1）f（0）5.已知函数f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数定义在R上的奇函数f（x）在（0，+）上是增函数，又f（3）=0，则不等式xf（x）0的解集为（）A.（3，0）（0，3）B.（，3）（3，+）C.（3，0）（3，+）D.（，3）（0，3）7.若f(x)在5,5上是奇函数，且f(3)f(1)，则以下各式中必然成立的是()Af(1)f(1)Cf(2)f(3)Df(3)f(5)3/48.设f(

8、x)在2，1上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在1,2上()A为减函数，最大值为3B为减函数，最小值为3C为增函数，最大值为3D为增函数，最小值为3以下四个函数中，既是偶函数又在(0，)上为增函数的是()Ayx3Byx21Cy|x|1Dy2|x|10.若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a()A1B1C0D不存在11.偶函数yf(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)0的所有根之和为12.如图，给出了偶函数y=f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.y13.已知函数f(x)xp2m(p0)是奇函数，求m的值.x14.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)