漫谈提高解几解题速度的策略

1、漫谈提高解几解题速度的策略苏州外国语学校 张锦成解析几何就是运用坐标法解决两类基本问题：一类是求满足给定条件的点的轨迹即曲线，通过建立适当的坐标系求其方程也就是求曲线的方程；另一类是通过对曲线方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。高考中对于解析几何要求较高，究竟“考什么、怎么考、考多难”，结合08 年课改后各省市及全国高考卷中的解析几何题，可以看出高考中的解析几何就是围绕解析几何的两类基本问题来考查的，大部分学生觉得题难，有点让人摸索不透，很多学生为其而烦。解几题如果方法不当，则很难实施解题，即便免强能解，也是运算量超大，让人如临大敌，因此提高解题技巧，优化解题方法，就显得尤为重要，现就解几中

2、常见的题型，强调几个应注意的策略： 一、.把向向量条件件数量化化是解决决以向量量为背景景的解析析几何问问题的第第一程序序解析几何在在数学中体体现了重重要的数数学思想想“数形结结合”，它能有效效的培养养学生的的分析、解解决问题题的能力力，其中中以向量量与解几几的结合合是数形形结合的的最佳载载体，既既有数的的运算又又有相应应的几何何意义。当当解析几几何问题题中涉及及到夹角角、平行行、垂直直、共线线、求动动点轨迹迹等问题题时可借借助于向向量进行行解决。要充分利用向量条件中的信息，将位置关系转化为向量，将向量转化为坐标，这样复杂的问题就能简单化，容易理解、便于解决。例1 设椭椭圆的左左焦点为为F，上上

3、顶点为为A，过过A与AAF垂直直的直线线分别交交椭圆CC和x轴轴正半轴轴于P，QQ两点，且且。 求椭圆圆C的离离心率；OFAPQyx 若过AA，Q，FF三点的的圆恰好好与直线线相切，求OFAPQyx【分析】：本题若若通过直直线方程程来处理理题设中中的垂直直，通过过线段的的长度来来处理向向量的关关系，一一定很烦烦；若是是用向量量处理垂垂直问题题，设出出相应的的点，用用点的坐坐标去表表示向量量，巧妙妙地将形形转化为为数，这这样会使使问题简简单易解解。详解如下：解：设，则则，得，设，由得：，由点P在椭椭圆上，得得所以椭圆的的离心率率为。 由，所所以又，所以的的外接圆圆的圆心心为于是C到直直线的距距离

4、，则则所以椭圆方方程为二、认清问问题的本本质，把把问题化化归彻底底有些学生在在处理问问题的时时候，不不是不具具备解析析法的思思想也不不是没有有处理解解几问题题应该具具备的计计算、分分析能力力，而是是没有透透过现象象，认清清问题的的本质，或或者说没没有读懂懂题，就就急于解解题，这这样的解解题，切切不可取取。此时时一定要要分析问问题的中中心是什什么，是是什么量量决定了了问题的的可研究究性，例2 （江江苏高考考调研）已知在直角三角形中，若椭圆以、为焦点，且经过点.(1)试建建立恰当当的直角角坐标系系，求出出椭圆的的标准方方程；(2)若经经过左焦焦点的直直线与椭椭圆交于于、两点，问问是否存存在不等等于

5、零的的实数，满满足？若存在在，求出实实数的值值 ， 若不不存在，说说明理由由。【分析】：该题的的第二问问是对的的探求问问题，向向量表达达式的形形的意义义就是线线段的中中点、点点、三点共共线，即即当直线线的斜率率取一确确定值时时能保证证上述条条件，所所以该问问题应该该围绕直直线的斜斜率来讨讨论，先先确定的的值然后后再确定定的值。有有的同学学没有搞搞清问题题的本质质，围绕绕来做文文章，那那么这个个问题的的处理就就进了死死胡同。解略。ABMxyOE例 3如图图所示,已知圆圆交x轴分别别于A,B两点,交y轴的负负半轴于于点M,过点点M作圆EABMxyOE（）若弦弦MN所在在直线的的斜率为为2,求求弦M

6、NN的长；（）若弦弦MN的中中点恰好好落在xx轴上,求弦MMN所在在直线的的方程；（）设弦弦MN上一一点P(不含含端点)满足成成等比数数列(其其中O为坐标标原点),试探探求的取取值范围围.【分析】： 将三道道小题都都集中在在圆的一一条动弦弦上,同同时考查查了直线线方程、圆圆的方程程、平面面向量的的数量积积、一元元二次不不等式、等等比数列列这五个个C级知知识点,另外还还考查了了直线与与圆的位位置关系系、点与与圆的位位置关系系等知识识点.现现在高考考命题的的趋势就就是在直线线与圆内内寻找新新的亮点点.很多多情况下下,新意意达到了了,同时时题目的的难度也也上去了了。有的的同学不不懂该题题第三问问的意

7、思思不知如如何下手手，实际际上点是是动弦上的的动点，就是是圆内任任意一点点，成等等比数列列，则又又在一双双曲线上上，即双双曲线在在圆内的的部分就就是的轨轨迹，这这样问题题就好处处理了。三、充分利利用平面面几何知知识简化化解题初中对“平平几”已已作了深深入研究究，“解解析几何何”首先先以直线线和圆作作为研究究对象，其其目的是是让我们们更易，更更快，更更深的掌掌握解析析法。这这部分内内容有着着“承上上启下”的特点，“解析几何”中往往会涉及初中平面几何知识，在处理问题时，有时要走出解几的思维模式，有机地运用平面几何知识，能起到化敏为简的功效。需要特别提醒的是：在用解析法研究直线与圆的过程中不要忽视它

8、自身的几何性质。要擅于应用它们的“几何性质”解题，在很多情况下“几何性质”显得更为容易，方法显得更为灵巧。例4（055浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21求若点P在直线上运动，求F1PF2取最大值时点的坐标A1F1MxyPF2A2Ol【分析】：该题如如果从函函数角度A1F1MxyPF2A2Ol略解如下：易求 准线方方程，不不妨设点坐标标为当时，；当时，只需求的最最大值即即可,则当且仅当时时，最大大，当点的坐标标为时，最大大。另法：根据据圆的知知识要保保证最大大，则以以线段为为弦的圆圆的半径径要最小小，而点点在

9、直线上，故故圆与直直线又要要相切，所所以满足足上述两两条件的的圆与直直线的切切点就是所求求的点。由切切割线定定理知,所以则则点坐标标为。用用此方法法解决下下例就很很方便。CBOAPDl例5（099无锡一一模）某某人在一一小斜坡坡上的PP点处（坡坡高h=10mm）观看看对面一一座大楼楼顶上的的广告画画，如图图所示，画画高BCC=8mm，画所所在的大大楼高OOB=222m，图图上所示示的山坡坡坡面可可视为直直线，AA为直线线与水平平地面的的交点，OOA=220m，与水平平地面的的夹角为为，若点点P在直直线上，试试问：距距水平地地面多高高时，此此人观看看广告画画的视角角最大？（不计计此人身身高）CB

10、OAPDl【分析】：该题当当然可以以用例44的方法法，借助助于正切切函数的的单调性性来处理理，但同同样也可可以用平平面几何何的知识识来处理理。以为弦弦与直线线相切的的切点，就就是此人人应该所所处的位位置。下下面以解解析法处处理比较较方便。具具体过程程略。四、形成几几个条件件反射1.当有点点在曲线线上的条条件时，要注意该点的两重性，一是点满足曲线的定义，二是点坐标满足曲线的方程。圆锥曲线定定义揭示示了它的的本质的的属性，利利用定义义解题，是是最基本本的方法法。圆锥锥曲线中中的许多多问题，是是直接由由定义延延伸或转转化而来来的，旨旨在考查查学生对对重要概概念的深深层次理理解以及及灵活运运用的能能力

11、，巧巧用定义义结合图图形解题题，有利利于洞察察数量关关系和结结构关系系，是一一种简洁洁的思维维形式，常常常可收收到事半半功倍的的效果。由由于圆锥锥曲线是是用“距距离”来来定义的的，所以以便于运运用比例例的性质质来建立立数量关关系，结结合相关关几何背背景，利利用定比比将线段段转移，并并经过比比例运算算，从而而确定相相关的几何量量。例6 若椭椭圆的左左准线为为，左、右右焦点分分别为，抛物物线的准准线也为为，焦点点为，点点为和的一个个交点，则则 .【分析】：设到的距离离为，在上则那么么MPF1F2QOxy例7.已知知椭圆的的左右焦焦点分别别为，其其半焦距距为，圆圆MPF1F2QOxy（1）若是是圆上

12、的的任意一一点，求求证：为为定值；（2）若椭椭圆经过过圆上的的一点且且，求椭椭圆的离离心率；（3）在（22）的条条件下，若若（O为为坐标原原点），求求圆的方方程。【分析】：（1）如如果一动动点到两两定点的的距离之之比是非非1的常常数，那那么动点点的轨迹迹是阿波波罗圆。显显然是定定值。（2）求离离心率就就是再找找一A个关于于的关系系，而根根据点的的双重属属性结合合圆与椭椭圆的定定义，易易知，而而，根据据余弦定定理，可可以求出出离心是是，那么么。(3) 这这一小题题的解法法比较多多，可以以说从不不同的角角度分析析，就有有不同的的方法。第第一种思思路是紧紧抓点的的坐标满满足曲线线的方程程，由点的的双

13、重属属性，可可以直接接求出点点的坐标标（用cc表示），再再由两点点之间的的距离公公式求出出c，就就可得到到圆的方方程。但但这种方方法涉及及解方程程组，计计算比较较繁一点点；第二种思路路是围绕绕椭圆的的第二定定义，求求出点的的横坐标标或纵坐坐标，设设点坐标标为，过过点作左左准线的的垂线垂垂足为，从而解得得，另一一途径是是由，解得，进进而求出出圆的方方程；第三种思路路是根据据向量的的数量积积来处理理，两边边平方，得得，求得得。所以以圆的方程是是。2当直线经经过圆锥锥曲线的的焦点时，注注意这条条直线的的一些特特殊性质质。例8（099南通调调研） 抛物线线的焦点点为F，在抛物物线上，且且存在实实数，使

14、0，（1）求直直线ABB的方程程；（2）求AOBB的外接接圆的方方程【分析】：本题主主要考查查向量、直直线与圆圆以及椭椭圆的相相关知识识，要求求学生灵灵活运用用圆的标标准方程程或一般般方程求求圆的方方程，理理解三角角形外接接圆圆心心是三边边中垂线线的交点点，也可可求出交交点坐标标关注注弦长公公式：，抛抛物线的的焦点弦弦长为关键是是要抓住住表达式式的几何何意义、三点共共线解：（1）抛抛物线的的准线方方程为，A，B，F三点共共线由由抛物线线的定义义，得|= 设直线ABB：，而由得。|= 从而而，故直线线AB的方方程为，即。（2）由 求得A（4，44），BB（，11）设AOBB的外接接圆方程程为，则

15、则 解得得 故AOBB的外接接圆的方方程为五、涉及计计算的时时候要细细心、要要有信心心，更要要注意数数据的处处理方式式解析几何第第一步是是检查框框架，先先居高临临下，站站在高处处看这个个题，然然后再考考虑每一一步去实实施，具具体的就就是计算算。解析析几何计计算量很很大，即使你你不能完完全做出出这个题题，只要要你踏踏踏实实按按照步骤骤来做，你你就能得得步骤分分。如果果能顽强强解出一一两个题题出来，你你的自信信心就出出来了。如如果计算算能力不不过关。这这个时候候就得反反复练习习，做一一遍不行行，做两两遍，做做两遍不不行做三三遍，一一定要把把题做出出来，只只有做出出来，你你才会感感觉到里里边有很很多

16、你发发现不了了的问题题，你才才知道有有很多你你欠缺的的问题。然然后你知知道问题题在哪儿儿了，信信心也就就足了。平时多练习，最后加上细心，在高考中解析几何一定可以得高分。 例9（福建建文科222）如如图，椭椭圆（ab0）的的一个焦焦点为FF(1,0)，且且过点（22，0）.（）求椭椭圆的方方程；（）若为为垂直于于轴的动动弦，直直线：与轴交于于点，直直线与交于点点求证证：点恒恒在椭圆圆上；【分析】：本小题题主要考考查直线线与椭圆圆的位置置关系、轨轨迹方程程等基本本知识，考考查运算算能力。该该题对数数学思维维能力的的要求相相对较低低，而对对计算能能力要求求较高，对对学生而而言只要要细心计计算就可可以解决决问题。（11）解略略 ()