(新高考)高考数学一轮考点复习4.2《同角三角函数的基本关系与诱导公式》教案 (含详解)

PAGEPAGE13第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式核心素养立意下的命题导向1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(平方关系)若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，则cosα等于()A.eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)答案：C2．(商数关系)已知tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值为________．答案：33．(诱导公式)化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．答案：－sin2α二、易错点练清1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，则cosα等于()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13) D.eq\f(12,13)答案：A2．(忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值：(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝________，(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(26π,3)))＝________.答案：(1)eq\f(\r(2),2)(2)eq\r(3)3．(忽视对k的讨论)已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．解析：当k为奇数时：A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.当k为偶数时：A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2.答案：{－2,2}考点一同角三角函数的基本关系考法(一)知弦求弦、切或知切求弦[例1](1)设cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()A.eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))(2)若sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)[解析](1)∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－cos280°)＝eq\r(1－k2)，∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).故选B.(2)法一：因为α为第四象限角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).法二：因为α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(5,13)，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(5,12).故选D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的灵活应用知切求弦先利用商数关系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方关系求解考法(二)知切求f(sinα、cosα)的值[例2](1)已知tan(3π＋α)＝3，则eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(8,9)C.eq\f(2,3) D．2(2)已知0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4,5)，则eq\f(sin2α＋2sinαcosα,cos2α＋1－2sin2α)的值为________．[解析](1)∵tan(3π＋α)＝3，∴tanα＝3，∴eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).故选B.(2)∵0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(4,3).∴eq\f(sin2α＋2sinαcosα,cos2α＋1－2sin2α)＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,2cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,2－tan2α)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋2×\f(4,3),2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝eq\f(\f(16,9)＋\f(8,3),2－\f(16,9))＝eq\f(16＋24,18－16)＝eq\f(40,2)＝20.[答案](1)B(2)20[方法技巧]“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．[提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法(三)sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[例3](1)已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值为()A.eq\f(1,2) B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则下列结论正确的是()A．sinθ＝eq\f(4,5) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)[解析](1)∵sinαcosα＝eq\f(3,8)，∴(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(3,8)＝eq\f(1,4)，∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－eq\f(1,2).(2)由题意知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，∴2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)<0，又∵θ∈(0，π)，∴eq\f(π,2)<θ<π，∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25))))＝eq\r(\f(49,25))＝eq\f(7,5)，∴sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5).∴tanθ＝－eq\f(4,3)，∴A、B、D正确．[答案](1)D(2)ABD[方法技巧]正弦、余弦“sinα±cosα，sinα·cosα”的应用sinα±cosα与sinα·cosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)，sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2).因此在解题中已知1个可求另外2个．[针对训练]1．已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，则tanα＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)解析：选D∵cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).故选D.2．若tanα＝eq\f(3,4)，则cos2α＋2sin2α等于()A.eq\f(64,25) B.eq\f(48,25)C．1 D.eq\f(16,25)解析：选Atanα＝eq\f(3,4)，则cos2α＋2sin2α＝eq\f(cos2α＋2sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(cos2α＋4sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋4tanα,1＋tan2α)＝eq\f(64,25).3．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为()A.eq\f(5,6) B．－eq\f(5,6)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：选B由题可得，sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，sinαcosα＝eq\f(a,3).所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝eq\f(4,9)－eq\f(2a,3)＝1，解得a＝－eq\f(5,6).考点二三角函数的诱导公式[典例](1)设f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．[解析](1)因为f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).(2)因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.[答案](1)eq\r(3)(2)0[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．sin570°的值是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)解析：选Asin570°＝sin(720°－150°)＝－sin150°＝－eq\f(1,2).故选A.2．(2021·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝()A．2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4) D．±2eq\r(2)解析：选D∵sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，∴sinα＝eq\f(1,3)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(cosα,sinα)＝±2eq\r(2).故选D.3．已知f(α)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanπ＋α－cosπ－α))2－1,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))＋cos3π－α＋cos2π－α).(1)化简f(α)；(2)若－eq\f(π,3)<α<eq\f(π,3)，且f(α)<eq\f(1,4)，求α的取值范围．解：(1)f(α)＝eq\f(cosαtanα＋cosα2－1,－4cosα－cosα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα2－1,－4cosα)＝eq\f(2sinαcosα,－4cosα)＝－eq\f(1,2)sinα.(2)由已知得－eq\f(1,2)sinα<eq\f(1,4)，∴sinα>－eq\f(1,2)，∴2kπ－eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z.∵－eq\f(π,3)<α<eq\f(π,3)，∴－eq\f(π,6)<α<eq\f(π,3).故α的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))).创新思维角度——融会贯通学妙法勾股数与同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，eq\r(2))，(1，eq\r(3)，2)，(1,2，eq\r(5))，(1,3，eq\r(10))等，熟悉它们之间的关系，能快速解决选填小题．1．已知tanα＝eq\f(3,4)，sinα<0，则cosα＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：选D由tanα＝eq\f(3,4)，想到勾股数(3,4,5)，结合sinα<0，得cosα＝－eq\f(4,5).2．已知α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，则tanα等于()A．－eq\f(5,13) B.eq\f(5,13)C．－eq\f(12,5) D.eq\f(12,5)解析：选C由α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(12,13)，所以tanα＝－eq\f(12,5).3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(\r(3),2)，且|α|＜eq\f(π,2)，则tanα＝()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析：选C∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴sinα＝－eq\f(\r(3),2).又∵|α|<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α<0，∴cosα>0，tanα<0，∴tanα＝－eq\r(3).eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosx＝eq\f(4,5)，则tanx的值为()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)解析：选B因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sinx＝－eq\r(1－cos2x)＝－eq\f(3,5)，所以tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－eq\f(3,4).故选B.2．若eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f(1,2)，则tanθ＝()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选D因为eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.3．若tanα＝eq\f(1,2)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：选D∵tanα＝eq\f(1,2)，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α－cos2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(tan2α－1,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).故选D.4．(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是()A．tan(A＋B)＝tanC B．cos(2A＋2B)＝cosC．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\f(C,2) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝coseq\f(C,2)解析：选BDtan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，A不正确；cos(2A＋2B)＝cos[2(π－C)]＝cos(－2C)＝cos2C，B正确；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π－C,2)))＝coseq\f(C,2)，C不正确，D正确．5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值是()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)解析：选A∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq\f(1,3).故选A.6．若θ是三角形的一个内角，且tanθ＝－eq\f(4,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(7,5) D．－eq\f(7,5)解析：选C由题意得，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3)，θ∈(0，π)，故sinθ>0，cosθ<0.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5).因此，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝－cosθ＋sinθ＝eq\f(7,5).二、综合练——练思维敏锐度1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)解析：选Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3).故选A.2．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则eq\r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)))等于()A．sinθ－cosθ B．cosθ－sinθC．±(sinθ－cosθ) D．sinθ＋cosθ解析：选A因为eq\r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)))＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\r(sinθ－cosθ2)＝|sinθ－cosθ|，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinθ－cosθ>0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.3．已知α∈(0，π)，且cosα＝－eq\f(15,17)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝()A.eq\f(15,17) B.eq\f(15,17)C．－eq\f(8,17) D.eq\f(8,17)解析：选Dsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cosα·tanα＝sinα，因为α∈(0，π)，且cosα＝－eq\f(15,17)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,17)))2)＝eq\f(8,17)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq\f(8,17).故选D.4．已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(12,5)解析：选A由已知2sinα－cosα＝0得tanα＝eq\f(1,2)，所以sin2α－2sinαcosα＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(3,5).故选A.5．(2021·潍坊一模)在平面坐标系xOy中，点P(eq\r(3)，1)，将向量eq\o(OP,\s\up7(→))绕点O按逆时针方向旋转eq\f(π,2)后得到向量eq\o(OQ,\s\up7(→))，则点Q的坐标是()A．(－eq\r(2)，1) B．(－1，eq\r(2))C．(－eq\r(3)，1) D．(－1，eq\r(3))解析：选D设以射线OP为终边的角为α，以射线OQ为终边的角为β，且β＝α＋eq\f(π,2)，由题意可得sinα＝eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(\r(3),2)，结合三角函数的定义与诱导公式可得xQ＝2cosβ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－2sinα＝－1，yQ＝2sinβ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝2cosα＝eq\r(3)，即点Q的坐标为(－1，eq\r(3))．故选D.6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，则|a－b|＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5) D．1解析：选B由cos2α＝eq\f(2,3)，得cos2α－sin2α＝eq\f(2,3)，∴eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(2,3)，即eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2,3)，∴tanα＝±eq\f(\r(5),5)，即eq\f(b－a,2－1)＝±eq\f(\r(5),5)，∴|a－b|＝eq\f(\r(5),5).故选B.7．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：选B由题意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).8．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq\f(π,2)，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A．sinβ＝eq\f(\r(15),4) B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\r(15) D．tanβ＝eq\f(\r(15),5)解析：选AC∵sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,4)，∴sinα＝eq\f(1,4)，cosα＝±eq\f(\r(15),4)，∴若α＋β＝eq\f(π,2)，则β＝eq\f(π,2)－α.sinβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；若B符合，则cos(π＋β)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq\f(1,4)，与cos(π＋β)＝eq\f(1,4)矛盾，故B不符合条件；对于C，tanβ＝eq\r(15)，即sinβ＝eq\r(15)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(15),4)，即C符合条件；tanβ＝eq\f(\r(15),5)，即sinβ＝eq\f(\r(15),5)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(6),4)，故D不符合条件．9．在△ABC中，若tanA＝eq\f(\r(2),3)，则sinA＝________.解析：因为tanA＝eq\f(\r(2),3)>0，所以A为锐角，由tanA＝eq\f(si