高中数学必备知识点大全

一、集合及常用逻辑用语概一组对象的全体：元素特点：互异性、无序性、确定性。念。xAxB,B,xAABA0个元素集合子集数。2nnAB,BAABc(AB)C)C）集合及常用逻辑uuuc(AB)C)C）ABx|xxBuuux|xUxAuu正整数整集数实数集N或NQZRN·概念能够判断真假的语句。原命题：若，则q原命题及逆命题，否命题及逆否命题互逆；原命题及否命题，逆命题及逆否命题互否；原命题及逆否命题，否命题及pqp题逆否命题：若，则逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。若命题对应集合对充充分条要件pAq是的充分条件pq,pq应集合，则等价于BAB,pq等价于AB1/62pq,qp互为充要条件有一为真即为真，圴假时才p,q为假。均为真时才为真，有一为假p,q即为假。和为一真一假两个互为对立的命p，含全称量词的命词叫全称命题，其否定为特称命题。词存在量词，含存在量词的命词叫特称命题，其否定为全称命题。二、复数虚数单规定i21：实数可以及它进行四则运算，并且运算时原有位的加、乘运算律仍成立。形如abi(a,bR)的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做ab复数的虚部，b0时叫做虚数，ab0的时叫纯虚数。复数相等acdi(a,b,c,dR)ac,bd2/62共轭复实部相等，虚部互为相反数，即zabi，则zabi数(abi)(cdi)(acbd)(bcbd)(bcad)i,(a,,,dR)acbdbcda2222OZOZ的模叫做复数的模，zab22大多数复数问题，主要是把复数化成标准的类型来处理，若是分数形成时，可以把看作成一个独立的字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随i时把换成。i12三、算法、推理及证明顺序结依次执行明来表示算法的图形。辑条件结根据条件是否成立有不同算结的流向法构循环结按照一定条件反应执行某些步骤基本输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。3/62归纳推由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推合情推理理。类比推由一类对象具有的特征推断及之相似对象的某种特征的推理。演绎推根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性倒是为真的推理。主要是反证法、反设结论、导出矛盾的证明方法数学归纳法是以自然数的归纳公理估秋它的理论基础的。因此，数学取n第一个值（例如n1nk(kN_kn)时n000法四、平面向量平重向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的4/6200方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。，的夹角记为a,b叫做在a,=bcos(,)ae若为轴。ee,e21212a一般表示坐标表示(x,y)(x,y)x,yx,y11221221a,bb)a1122abab(xx,yy)1212及加法运算有同样的坐标表示。abba,(ab)c(bc)减法法则运算分解数乘概念的三角形法则。ab(xx,yy)1212(xx,yy)NMNM为向量，＞0a方向相同。。a(x,y)a5/62与a方向相反，aa及数乘运算有同样的坐标表示。(a)()a,()aaa,2·=aa?ba·b。yyxy·xy2211b·accc在△ABC是边BDDC(1)，D则向量平面内三点C共线的充要条件是：存在实数，，其中，为平面内任意一点。的重心0（其中△ABCG1a,b,是△S，重心3向量及三角形的到顶点的距离及重心到对边中点的距离之比为2:1。O1OGOAOBOCG3（2）若O为△ABC所在平面内一点，则6/62222(OAOB)-AB(OBOC)BC(OCOA)CAO为△ABC的外心。所在平面内的一点，则H···H所在平面内一点，则I·IC的内心。···0（5）△ABC的外心，垂心，重心，则OHG1OHOAOBOC,OGGH2内一点，若mOAnOBpOC0O△ABCS（7）角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段及这个角两边对应成比例。逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段及这条边的对角的两边对应成比例，那么该点及对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。【变式】，则点可能通过△ABC的内心。7/62G的底边BC上的中点，满足△ABCD的外心。△ABCG，则点可能通G•sinB•sinC过△ABC的填重心。可能通G•B•cosC过△ABC的垂心。五、函数、基本初等函数I的图像及性质本质：定义域内任何一个自变量对应唯的函数值。两函数相等只要定义域或对应法则相同即可。表示方解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各法段定义域的并集，值域是各段值域的并集。（1）对定义域内一个区间I,x,xI,x,x偶函数在定义121212域关于坐标点对称的区间上具有相反的单调性、奇偶数在定义域关于12（2）fxfx121212xx,xxfxfx002121218/62坐标原点圣水称的区间上具有相同的单调性。12xx1212fxaa恒成立。对定义域内任意，奇偶性周期性y称，奇函数图象关于坐标原点对称。对定义域内任意，存在非零常数xT,fxTfxfx是周期函数，ba是它的一个周期（2）对于非零常数，函数满足T的一个周期为.（3）若，则函数yT两个函数的图象对称性（1）x若满足，即它们fxgx换种说法：yfx关于y0对称。yxyyfx若满足fxgxyfx及关于直线xa对称。yfax及（3）yfx9/62若满足，即它fxgax换种说法：yfx及对称。换种说法：yfx及若满足，即它们关于点ya对称。对称。换种说关于点若满足，即他们关及关于直线xyxb对称。yfax（6）单个函数的对称性2的yfx对称。2时，函数yfx的图象关于直线yfbx（3）函数的图象及对称。x2对称性及周期性的关系faxfax,fbxfbx(ab)是yfx周期函数，则b2a是一个周期。（2）函数yfx满足10/62faxfaxcfbxfbxab时，函数yfx图象有两个对称中心yfxyfxyfx是以b2a为周有一个对称中心（3）函数yfxa,c和一个对称轴时，该函数也是周期函数，且一个周期是xbabfx的图象关于直线（4）若定义上的函数和点R是周期函数，是它的一个4ba对称，则fx周期。（5）若函数fx对定义域内的任意满足：x满足fxfx的图象以xafxfxafxa（6）已知函数yfx对任意实数，都有xyfxmaa0,,nN,n1基本初等nm指对幂的运算规则1am2.正数的负分数指幂：maa0,,nN,n1nn3.0的正分数指数幂等于0:0的负分数指数幂没有意义。4.幂的运算性质：11/62，其中naaa,(a)abmnm函，那么数叫作以作为底的对数，abNa0,a1baN记作blogN，其中叫作对数的底数，叫作真数。aNda0a1M0,N0MNaaaaaanMnMnRlogMlogManmaaaa（2）对数的性质①aNa（3）对数的重要公式aa1，推广logb,logc,logdlogdaaaabca指数函数0a1函数图象过定点（0.1）,单调递减，xyxy112/62a1,单调递增，xyxy1六、函数及方程、函数模型及其应用的fx0fx0yx0x在yfxa,b零存在定a,byfx的函数a,b不断把函数fx逐步逼近零点。进而得到零点近似值的方法叫做二分法。，确定精确度。确定区间，验证步骤第一步a,bfafb013/62求区间第二步第三步a,bcfc，则就是函数的零点；c（2）若（3）若bx(c,b)0（4）判断是否达到精确度，即若ab，则得到零点近似值（或ab把实际间表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。阅读审分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。数学建弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。建解题步解答模利用数学方法得出函数建模的数学结果。解释模将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。型七、导数及其应用导概0x00数念及及其几应何yfx在点x,fx处的切线率。切线方程是fx000几何意义，求过某点的切线方程，需先设出切点yfxfxxx00014/621（1nx2基本公式；sinx11111xealnaa，且a1)；zzzz11xxaafxgx:111fxgxfxgxfxgx,cfxcfx1111运算11gx2gxgxgx21fgxfgxg1的区别为单调递增区间；的区间为单调递增区11判断单调性（2）求出（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，x1，解出的取值范围，得函数单x1区间。x1已知（1）对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转单调化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为15/62性求导函数在该区间上的最值问题。参数（2）对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数取值在此区间有穿过轴的实根，结合导函数的图像求解。x范围（3）对于函数在某个区间上存在单调递增或递减区间的问题，转化为导函数在此区间上大于零或小于零有解的问题。附近左负（正）右正（负）的为极小x10极值00上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间a,b端点和区间内的极大值的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值的最小者。用导数法求给定区间上的函数的最值问题步骤：（1）求函数fx的导数最值的各极值及fx的fxfx最大值及最小值。根的个数，往往从函数的单调性和极值入手解决图像交点及零点的极值找到问题的充要条件；如果是研究两个函数交点的个数，则可以用两个函数作差构造新函fx0数，再转化为方程的根的问题求解；若零点问题可以转化为图像交点问题，则也可借助数形结合解决问题。fx01是否有根。16/62含参（1）有多根，并且含有参数时，要讨论各个根之间fx0内的单调性，且1的根用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要要就变量不等式的最值就可以解决问题，步骤如下：含参不等式恒成立问题（1）分离参数转化为恒成立fagxfxxD恒成立（3）求出方法二：导数法有些含参不等式恒成立问题，在分离参数时需要讨论，或者即使分离出参数或者变量，但因参数的最值却难以求出，这时常单刀直入地利用导数法，借助导数，分析函数的单调性，通过单调性的分析确立函数值的变化情况，找到参数满足的不等式。上是连续的，用分点a,b在区间axxxx…xb0111n上任取一x,x将区间a,bn积概念分12b点ni2n,fxfbnaxi117/62，则F1xfx上的连续函数，并且有（基本理定理科）fxa,bakfxdxkfxdxk；bbba性质bfxgxdxbfxdbgxdxzaaabbbaaa上连续的曲线yfx所a,b简单应用Sfxdxba八、三角函数的图象及性质1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端按旋转方向分为正角、负角和零角。aa集合是S|a2k,kZ轴x的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，这个角不属于任何一个象限。2、弧度制（1）定义：在以单位为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角。18/62（2）角度制和弧度制的互化：rad0.01745radlrad180（3）扇形的弧长公示：Iar，扇形的面积公示：1122任意角的终边及单位圆交点于点时，asinay,cosax,tanayxyr象限为正yr0，对于第三、四象限为负yr0；②余弦值对于第一、四象限为正0,r0，对于第二、三象限xr；③正切值对于第一、三象限为正y，x对于第二、四象限为负22sinacosa2误导公360a,180a,a,90a,270a式19/62对称轴单调区间奇xk增2k2222增2k,2kkxk减2k增无R22图象，向上，上下平移yfxk0k平移交换图象，向上，左右平移yfx图象各点把横坐标变原原来倍得yfxwx的图象。x伸缩变换图象各点纵坐标变为原来的倍得yAyfx的图象关于坐标原yfx函数及函数对称变换中心对20/62点对称；图象关于点对称图象的解析式是及函数及函数的图象关于轴对称；yfxyfxyyfx的图象关于轴对称；x图象关于直线xa对称图象的解析式是yfx原来在轴上方的yfxx图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，xx轴对称然后擦云轴下方的图象得到；x原来在上方的图yfxx象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然xx后擦去轴下方的图象得到。x在轴右边的图象，y擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关yy于轴的对称图形得到。y的图象方法yx已知解析式确定函数性质（先将函数化成为或0,0yAx)yAx)(（1）若yAsin(x)为奇函数，则kkZ21/62（2）若yAx)kkZ（3）若（4）若yAx)kkZ2yAx)，2的周期分别为（2）函数yAsinx,yAcosx的周期均为yAtanxT=（3）函数的对称轴求法：kZ，即对称中心为（2）函数22/62的对称轴求法：yAxb0，对称中心的xkkZkZ，即kZ求法：2yAxb0的不等式解法。yAxb000最大最小值确定，由周期确定，由适合解析式A的点坐标来确定（一般带入“五点”中的某一个在给定区间上的值域求（1）先由的范围计算的范围xx（2）把的图象得xT当一个整体，得到uyAxb0的值yAub域。23/621yasinxb3yasin2xbsinxc4yasinxcosxbsinxcosxcasinxb与yasinxb5ycsinxdccosxd九、三角恒等变换及解三角形倍角公式2tana1tana21tana21tana21cos2a221cos2a22cosa2222同角求所要求的角及所给的角是同一个角，直接利用直角三角形解值所给角及所求角不同，首先用所给角将所求角表示出来，再用三角公式展开，并算出所给角的其他三角函数值，带入计算即可。给值求先得出要求角的三角函数值，然后根据所给角的范围确定角角的值。abc2R角弦变形恒定（外接圆abCcBRbaCcAcaBbA半径）24/62换余abcbccos,bac2accosB,cab2abcosC及222b2bc两边及一角（一角为夹角时直接使用，一角为一边对角时列111111基本公SahbhchabsinCbcsinAacsinB222222abc（内切圆半径）SRSabcrrSppapbpcp1，则SOAx,y,OBx,y211221121把要求解的量归入到可解的三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。基本思想仰视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线角及水平线所成的角。俯视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线角及水平线所成的角。常用术语方方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南向方向作为起始方向旋转到目标的方向所成的角（一般是角锐角，如北偏西25/62某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。位角十、等差数列、等比数列摆动、常数数列等。Sn1a1nnSS,n2nnn1nnn12n和解决递推数列问题的基本思即转化为两类基本数列——数列求解。aafnn1naafnn1naaqpp0,1,q0n1nn1npnadcd0acan1nn1n递增，递减，常数数列。aadd0d0d0n1naaaamnpqmmpqn1maawamn2p式mnpan26/62nn1naaS,SS,SS…d12mm22n1mssdnnnmnnnm2和公式n，单调性由的正负，的范围确aqn1n1nqkmnlm2式pan1nnn…成等比q数列（1）求递推公式（证谁求谁，独立出下角标最大项）证明等差比数（2）列出定义式（3）带入递推公式，化简整理（5）指出首项，公差或公比十一、数列求和及其数列的简单应用数常等差数naad，特别123+n=12222列用列求求等比数和和列n1n,q，特别1+2+2+2=21n122+1n1q1qn27/62222236自然数立方和2212…n12…n333常用裂项方法：nnn分组法a2n2,a1n21n;nn由正项开始递减等差数列a的绝对值求和计算步骤如下：1n21n212n1n1n111n12nn121n12121knn1n（2）再对进行分类讨论，nln1lnn1lnn当nk时，Tnninmi1cBq,accnnnnn时，Ta2SSnninni1Tn由负项开始递增等差数列aaAn1bqBqnn1n,B通过待定系数法得出的值，然和（1)首先找出零值或者符号Snbaqa:mn由负变正的项。aka,b可由（2）再对进行分类讨论，n28/62有两个限制数列；nnin…nnTaS2S其中第一个数列中间每端等距的ninn1两项是相等的（）裂项法1n2第二个数列中间两端等距的两项为等差，为等比bnnG（即）令相减法nBB…BB1Gn2nSk如nn212niini相加法基本特征是均匀增加或者减少。基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。一个简每年年底要拿出（常数）作为下年度的开销，即数列满足单递推数列aana1.2aan1n注：表中均为正整数。n,k十二、不等式、线性规划（1）ab,bcac不等式两个实数的顺序关系：abab0abab0（3）abacbc；29/62（4）ab,cdacbd（5）acd0（6）ab0,nN,n1ab;abnnnn在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大abab2aba,b0;ab2aba,b0;ab2ab222222二元一二元一次不等式C0的解集是平面直角坐标系中表示次一不某一厕所有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集式组是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分。对变量的制约条件。如果是的一次式，则称线约束条件性约束条件。x,y线性目标函数。可行域所有可行解组织的集合叫可行域。最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫最优解。在线性条件约束下求线性目标函数的最大值或最大值线性规划的问题。30/6222223zAxBycy注意区域边界的虚实第二根据目标函数几何意义确定最优问实际背景步解。第三求出目标函数的最值。第一设置两个变量，建立约束条件和步目标函数。注意实际问题对变量的限制实际背景第二同不含实际背景的解法步骤。步十三、空间几何体（其中为半径、为高、为母线等rhl光线从几何体的面前向后面正投影得到的正视图及侧视图高正视图投影图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图正视图长对正。俯视图直画法31/62图面积关水平放置的平面图形的面积为SSnS22Sn表面积侧底底高全31VSh侧底3底高1nn全侧下部31V=SSSSh即空间几何体暴露在外的所有面的112全3全1Vr2h2全32211全Vrrrrh213球SR2球3球332/62面积之和十四、空间点、直线平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母判断直线在平面内.确定平面。AI,BI,Aa,B1a不共线,B,C确定平确定两平面的交线。两直线平行。线称为异面直线。，分别对应线面无公共点，一个公共点，无数个线面系公共点。33/621。分别对应平面无公共点，两平面有无数个公共点。a//,a判断定理性质定理行线面//aa//,b//aa,an,aa,alal,laa特殊情况范围线面平行或线在平面内间线面平面的一条斜线及其在该平面时线面角为角射线所成线面时为34/62从平面外一点作平面的垂线，该点及垂足之间的距离。线面距和面面距转化为点面距离面面两个平面及平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离。距十五、空间向量及立体几何（理科）重共面向量一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。概空间基底空间任何三个不共面的向量a,b,c都可做空间的一个基底。空念间基共线定理向本共面定理及不共线),共面存在实数对使,y,pxayb.共线存在唯一实数ab，pa,ba,b,使x,y,z,不共面，空间任意向量存在唯一的a,b,cp基本定理方向向量法向量pxayb.zc所在直线及已知直线l平行或者重合的非零向量叫做直线a立线体面所在直线及已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向a量。35/62求平面的法向量，为方便计算，可令其中一个坐nx,y,z的（2）在平面内找出连个不共线的向量及其坐标；a,b（3）根据法向量及平面内两个不共线的向量数量积为零，列为方程组；判定定理：直线的方向向量及平面的法向量垂直；使用共面向量定理。面面平行判定定理：两个平面的法向量平行。线线垂直两直线的方向向量垂直。.ab直线方向向量为，平面的法向量为，|n|na.|nn|nn12直线的方向向量为a间点线距任意一点为到平面两平行线距离转化为点线距。NMa的距离dsina.距离点面距平面的法向量为，平面线面距，面面距转化为点面n36/62NMn.|n|直（1）如果图形中有由同一点引出的三条线段两两互相垂直（如正方体，角坐角坐标系标z和（3）如果有两平面互相垂直时，常由一个平面內某点向交线作垂线，确则此垂线垂直于另一平面，可以垂足为坐标原点，此垂线和交线作坐标定轴空（4）如果平面内有直角时，常以直角顶点为坐标原点，两直角边所在间直线为轴，轴，总之，坐标系的建立，要有利于各点的坐标表示。xy一点的坐37/621.在某线段上找一点，使某结论成立，解方程步骤如下：ABP（3）解方程（组）2.在某平面上找一点，使某结论成立（1）设点（注意范围）（2）构造方程（3）解方程十六、计数原理及二项式定理（理科）完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方nm1法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第类方案nm2种mn12n分布乘完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，nm1法计数做第1步有种不同的方法……做第步有种不同的方法。mnmnn12n定排定义从个不同元素中取出个元素，按照一定的次序排成一m(mn)n38/62列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所m(mn)n个元素n的排列数，用符号表示。n排列数公式!，规定1。(nmN，mn)mn出个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出m(mn)个元素的组合，所有不同组合的个n数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符m(mn)nCmn组合数公式mmnnnmmmmnnnn排（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有列情况排除，这是解决排列组合题的常用策略。合有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每类文章的交集为解空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个题步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理。策（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的略方法数。39/62即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间。排列。（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型，如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为，这也就是方程abcd12的正整数解的个数。C311的个元素中，每次取出个元素排在一个圆（1）由nr123n元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列。的个元素中，每次取出个不同的元素（3）定理：在nr123nrnr3.可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列。在mn的顺序那么第一，第二，…，第位是的选取元素的方法都是种，所以nm40/62从个不同的元素中，每次取出个元素的可重复的排列数为。mnmn如果个元素相同，又有个元素相同，又有个元素相同，…，又有Pnn个元素相同（PPPn，这个个元素全部取得排列叫做不尽相异n12n!的个元素的全排列，它的排列数是n12n（1）从个元素，每次取出个元素，允许所取的元素重复出现nPPnP。nPrrnn(p（叫做二项式系数）项的系数Cn0nrrnnrnnnn通项公式TCabrtr1nn1（2）二项开展式中首末两端等距离的两项式系数相等。（3）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数n最大是奇数，则中间两项的二项式系数C及C1最大。nnn的式子求其展开式的各项系数(axb)(axbxc)n2m系数和；；nCCCCCCCCCC2rrr1rrr1n1012rnrr2nnnnnn41/62；nCCCCCC2C2CCnCn212302nn123nnnnnnnnnnnCCCCCCC0r1r0rmnmnmnmn十七、直线及圆的方程倾斜轴正向及直线向上的方向所成的角，直线及轴平行或重合xx角yy在直2xx112221线上。轴yx直式00在，轴截距分别为，时xyab1yyxxxy12122121ab时斜率AxByC0(AB0)Bk22B式；如lll//lkk121212平行果不重合直线和轴垂直，x1212当两条直线和的斜率存在时，llkk1；若两条直121212公垂直线，中的一条斜率不存在，则另一条斜率为0时，它们垂12两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。42/62两点之间的距离。2P,P(xx)(yy)2111222122121。000022lC0l12112222平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。标准圆心坐标(a,b)标准方程展开可得一般方程、r一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为22xyDxEyF022，半径22。222为直径的圆的方程为121212线法及几何圆法drdr43/62圆及圆几何法或12rrdrrdrrdrr12121212drr12【注：标准根据上下文理解为圆心到直线的距离及两圆的圆心距】d十八、圆锥曲线的定义、方程及性质几何性质标准方程x2y21b)12椭圆中a)(,0)12y2x21xy坐标原a双曲线中22212的距离之差的绝对值等44/62于常数（小2a12222x0p(,0)2yRp一条定直线l)2【离心率是曲线上的点到焦点的距离及到准线的距离之比】lp)2PP0焦参数】常用性质及两焦点构成的F称为焦点三角形，012b2（椭圆）S221222245/622pp2（为直线及对称轴的夹角）xy00，，y得到一个新的方程0x2xx2200当点在PPP曲线外时，此方程代表从点作两天切线的切点,两点连线的切点弦Pb22及直线相交于两点，为的中点，则（若Qa2b22及直线相交，相切，相离2222222，D00相交于点，则当圆锥曲线为椭圆ACBCN2不为坐标原点时，，点的轨迹都是定直线Mab)F(x,y)Na2b200xxyy0（双曲线则把换为即可），当圆锥曲线为抛物线1b02200以椭圆上一定点P(x,y)为直角顶点的椭圆内接直线三角形的斜边必过定00a2b22以抛物线定点P(x,y)为直角顶点的椭圆内接直线三角形的斜边必过定0046/6200直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在椭圆上，则中心在斜边上的射影轨迹是圆焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆椭圆，双曲线，抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(2a,2)b2p2e221b2epc抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数11由焦点发出的光线经双曲面反射后的光线所在的直线必经过另一焦点x椭圆上动点对直径端点的斜率之积为定值b2a22中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线焦点轨迹为及1椭圆共顶点的双曲线21a2b247/62xy22的两焦点到任意一切线的距离之积为定值b2椭圆的两条正交切线的交点轨迹是圆byxa注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐进线方程分别为，ayxb2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是pppp。x,x,y,y2222十九、圆锥曲线的热点问题f(x,y)0的解为坐标的点都的曲线、方程f(x,y)0为曲线CCf(x,y)0在曲线上，则称曲线为方程CCf(x,y)0的方程。把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。定义表示x,yQC:f(x,y)00C0热点问题，tt交轨法中消掉参数即得轨迹方程的方法。48/62含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。含义解法程组的解即为曲线系恒过的定点。对于定点定值问题可采取先特殊探路，再一般归纳的方法。a2，c,x(aaxbxcxd232x222，分别对应这几种函数最值的求法即可2锥曲1.型一(x,y)，B(x,y)112249/62x消去（或）并整理得到一个一元二次（一次）方程2yxab222222222222或（）(AaBb)y2BCbxb(CAa)02222222222判别式2222222222212222222222222122222122ab(AaBbC22222211k2xxk212123.求值即可二十、概率如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，Anmn我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即mnAAB类比集合关系.系对立事事件和事件AB0P()P()0,P()1.性基本性50/62P(AB)P(A)P(B).AA基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性.基本事件的个数.事件所包含的基本事件个mnmAn几特征何计算公概式型基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。构成事件的测度(长度，面积，体积或时间)A试验全部结果所构成的测度(长度，面积，体积或时间)随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量。离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格Xxn分布列Ppni12n及事件的条件概概念：事件发生的条件下，事件发生的概AB51/62率.性质：0P(BA)1.互斥.B,C.P(BC)P(B)PC).事件及事件相互独ABAB件次独每次试验中事件发生的概率为次独立重复试验中，nnAp次的概率为kAP(Xk)Cp(1p),(k0,1,2,,n)kknkn，且kM超几何分布NnN*典型分布kn数学期望EXnp.方差DXnp(1p)【时为两点分布】n1图像称为正态密度曲线，随机变量满足X2e正态分布2a22，则称的分布为正态分布，正态密Xa度曲线的特点.baEXbxpxpxpxp数学期望1122iinn数字特征方差和标准差nbaDX2iii1DXX二十一、离散型随机变量及其分布（理科）52/62二十二、统计及统计案例简单抽从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。样随机分层抽将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的等概率抽样样统计的频率分成为这个（范围）数据的频率，使用频率分布表、基本思想频率分布直方图表达样本数据的频率分布。茎叶是以样本图也反映样本数据的分布。布的分布估计总体的样本的频率分布估计总体的频率分布，以样本的特征数估计总体的特征数。众数样本数据中出现次数最多的数据。中位数的平均数平均数方差112nn12nn,xx1n2nin12ni标准差53/62回相关关两个变量之间的一种不确定性关系，有正相关和负相关。系的方法。2nQiii1的分类变量和，列出其样本频数列联XY122性检验二十三、函数及方程思想，数学结合思想函数思想的实质是抛开所研究对象函数及方程思想的非数学特征，用联系和变化的观点提在一定的条件下是可函数出数学对象，抽象其数学特征，建立各以相互转化的，是相思想变量之间固有的函数关系。通过函数形辅相成的，函数思想式，利用函数的有关性质，使问题得到重在对问题进行动态解决。的研究，方程思想则方程思想的实质就是将所求的量设是在动中求静，研究成未知数，用它表示问题中的其他各量，运动中的等量关系。、数形结通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决。54/62数形结合的重点以形数转化为形，通过对形的研究解决数的助数问题、或者获得解决数的问题解决思路这在解选择题、填空数形结合思想解决数学问题的思想。题中更显其优越，要注意培养这种思想意以数形转化为数，通过数的计算、式子的变识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二十四、分类及整合思想，化归及转化思想分类解答数学问题，按照问题的不同发展方分类及整合思想分类思想向分别进行解决的思想方法。的主要问题是把一个问题中各个解决的部分，基本合程是“合—分—化归转化思想化归题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化困的实质是“化不能化归思想难为容易、化整体为局部、化复杂为简单的解决问题的思想方法。归转化思想需要根据熟知的数学结论和已知掌握的数学有数学知识和解题目解法，把数学问题化空间为平面、化高题经验的积累。55/62二十五、几何证明选讲等分线相似三角形的对应线段的直角三角形一条直角边的段条（及这组平行线相交的）直线上截得的线段也相等。平方等于在斜边上的射影性质定截割定两角对应相等的两三角推论：如果一条直线及一个三角形相似。直圆圆周角圆周角的度数等推论角似形的一条边平行，且及三角形的线中定理于其所对弧度数相等，同圆或等圆中，相等的圆周另两边相交，则截得的三角形及原三角形相似。理角相等的两三角形相似。三边对应成比例的两三角形相似。直角三角形射影定理：56/62的一半。推论等于，反之，的圆周角所对的位置弦切角的度数等推论：同弧（或等弧）上的弦切角于所夹弧度数的相等，同弧（或等弧）上的弦切角弦切角定理关系一半。过半径外端且及这条半径垂直的直线是圆的切线。圆的切