主题1利用倒数概念

顛倒相乘國立台南大學應用數學系 謝堅筆者將分數除法區分為包含除類及等分除類兩類問題，分別提供一些引入顛倒相乘的解題策略，並嘗試將這些解題策略落實到教學設計的層次，幫助教師或家長能引導學童學會顛倒相乘的解題步驟，並掌握教學時應注意的事項。(一)包含除類的問題：414公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？包含除問題：5公升果汁，7接下來以上面的包含除問題為例，透過「被除數和除數同時換單位策略」，「單位量轉換策略」和「倒數策略」等三種策略，分別說明如何引導學童利用顛倒相乘解決沒有餘數的分數除法問題。策略甲：被除數和除數同時換單位策略下面分成三個部份來說明被除數和除數同時換單位策略的意義：第一部份透過「被除數及除數同時換成以公分母為單位」的方法，幫助學童經驗並察覺可以利用顛倒相乘解決分數除法的現象；第二部份限制學童使用「被除數及除數同時換成以除數的單位分數為單位」的方法，檢查學童是否理解被除數和除數同時換單位的意義；第三部份改布有餘數的包含除問題，檢查學童是否理解「顛倒相乘」的使用時機及其意義。被除數及除數同時換成以公分母為單位當學童已有解「整數除以整數，答案是分數」包含除問題的經驗，以及「被除數和除數同時換單位」的解題經驗後，教師或家長們可以透過下面四個步驟，透過畫蛇添足引入顛倒相乘的方法解決分數除法問題。114 3步驟1：5 公升果汁，5 公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？步驟1是被除數和除數為同分母分數的包含除問題，請限制學童使用「被除數和除數1同時換成以5 公升為單位」的方法解題。1 1如果學童無法將問題改寫成「14個5公升，3個5公升裝成1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」，教師或家長可以先稱1公升的果汁為1罐(或其它適當的量詞)，幫5143助學童將5公升果汁視為14罐，5公升果汁視為3罐，就可以將問題改寫成「14罐果汁，3罐裝成1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」。14 14學童可以利用算式「14÷3＝3」，算出相當於裝成3瓶。14步驟2：5 公升果汁和35分之幾公升果汁一樣多？1.步驟2是擴分的問題，目的是為了學童能自發性解決步驟3的問題舖路，提醒學童可以透過約分或擴分，將異分母分數的除法問題改寫成同分母分數的除法問題。2.1414×798學童可以透過擴分，得到5＝5×7＝35。41 4步驟3：5 公升果汁，7 公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？步驟3是被除數和除數是異分母分數的包含除問題，學童可以利用步驟2擴分的經驗，透過通分將問題改寫成被除數和除數是同分母分數的包含除問題「287公升果汁，3520公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」。學童可以利用步驟1的解題經驗，將上面的問題再改寫成整數除以整數的除法問題1 1「287個35公升果汁，20個35公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」，或「287罐果汁，20罐裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」。287202872873.學童可以利用算式「35÷35＝287÷20＝20」，算出相當於裝成20瓶。2步驟4：透過畫蛇添足的方式，幫助學生發現，也可以透過顛倒相乘的方式得到答案。41441×74×5(通分)5÷7＝5×7÷7×51＝(41×7)÷(4×5)(被除數及除數同時以35換單位)×7＝4×5 (得到答案)×75×4(利用乘法交換律改記分母)75×4(幫助學生發現，透過顛倒相乘的方式也能得到相同的答案)學童成功的解決步驟3的問題後，不易自行發現利用顛倒相乘也可以算出相同的答案，教師及家長們必須透過步驟4，幫助學童察覺利用顛倒相乘也可以算出相同的答案。2.步驟4只幫助學童觀察「4144175÷7」和「5×4」的答案相同，並沒有說明為什麼可以利用顛倒相乘的方法算出答案。3.步驟4的每一個算式都不能算出兩數相乘或相除的結果，例如不能將「41×7」記成「287」，算出算式的乘積後就看不到最後的答案和原問題之間的關係。這種引入顛倒相乘的方式是國小學童比較容易理解的方法，也是多數國小課程引入顛倒相乘的方法。多數國小課程都省略了步驟1及步驟2，建議家長及教師們一定要先進行這兩個步驟的教學活動，讓學童有自行解決步驟3的機會。被除數及除數同時換成以除數的單位分數為單位當學童已有利用「被除數及除數同時換成以公分母為單位」解題的經驗後，可以要1求學童將被除數和除數同時換成以除數的單位分數 (7 )為單位，檢查學童是否理解被除數和除數同時換單位的意義。教師或家長可以透過下面 3個步驟進行教學，也可以省略第1個步驟，由步驟2開始教學。341步驟1：3公升是由3個1公升合起來， 5 公升是由多少個 1公升合起來？如果學童無法解題，教師或家長可以透過下面的問話幫助學童：問話1：3公升是3個1公升合起來的，0.6公升是由0.6個1公升合起來的，所以3.6公升是由3個和0.6個1公升合起來的，也就是由幾個1公升合起來的。學童回答3.6公升是由3.6個1公升合起來的111問話2：85公升是由8個和5個1公升合起來的，也就是由85個1公升合起來的。411411415公升和85公升一樣多，5和85一樣大，5公升是由多少個1公升合起來的？4141個1公升合起來的。學童回答5公升是由541 4步驟2：5 公升果汁，7 公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？1請用被除數和除數同時以 (7 )為單位的方法算算看。如果學童無法解題，教師及家長們可以透過下面的問話幫助學童：41 41 41 1問話1：5 公升是 5 個「1公升」，可以看成是 5 個「7個7 公升」，1也就是多少個7 公升？411學童回答是5×7個「7公升」。41問話2：7公升是是多少個7公升？1學童回答是4個「7 公升」。1問話3：請用被除數和除數同時以(7)為單位的方法算算看，答案是多少？4144141×741×7學童可以透過算式5÷7＝(5×7)÷4＝5×4得到相當於裝成5×4瓶的答案。2.應提醒學童，計算時每一個算式都不要算出結果，例如不能將「41×7」記成「287」。4步驟3：說說看，算出來的答案和顛倒相乘的答案是否相同？學童有機會自行發現利用顛倒相乘也可以算出相同的答案。如果學童無法解題，教師及家長們可以透過下面的算式幫助學童解題。41 4 41 1÷7＝(5×7)÷4(被除數及除數同時以7換單位)41×741×7＝5÷4＝5×4(得到答案)75×4(也可以透過顛倒相乘的方式得到答案)分數除以分數，有餘數的包含除問題當學童有一些利用顛倒相乘解題的經驗後，可以布有餘數的包含除問題，檢查學童是否理解「顛倒相乘」的使用時機及其意義。教師或家長們可以透過下面2個步驟進行教學，也可以省略第1個步驟，由步驟2開始教學。414步驟1：5公升果汁，7公升裝1瓶，最多可以裝滿幾瓶，還剩下多少公升？4144172877甲的算法：5÷7＝5×4＝20＝14207答：最多可以裝滿 14瓶，還剩下20 公升4141×7287乙的算法：5＝5×7＝3544×5207＝7×5＝352028035×14＝35(裝滿14瓶)28728071135－35＝35＝5(剩下5公升)1答：最多可以裝滿 14瓶，還剩下5 公升甲和乙的答案不相同，請問誰的算法正確？為什麼？5甲的算法是學童經常發生的錯誤解題方式，教師可以透過下面的問話1，先澄清答案是錯的，再透過問話2及問話3，說明正確的解題過程。7777問話1：「1420」是「14＋20」的和，如果14是「14瓶」、20是「20公升」，77將1420這個帶分數看成「14瓶＋20公升」是否合理？學童回答不合理。7 7 7問話2：「1420 」是「1420 瓶」，「1420 瓶」最多可以裝滿幾瓶，剩下多少瓶？7學童回答最多可以裝滿 14瓶，剩下20瓶。47問話3：7公升裝1瓶，20瓶是多少公升？471(公升)，得到剩下1學童可以利用算式7×20＝55公升的答案。乙先透過通分，將異分母分數轉換成同分母分數，再用先乘後減的策略算出最多裝滿114瓶，剩下5 公升。如果學童不理解先乘後減的意義，可以透過下面的問話來說明。2872020問話1：35公升減1次35公升果汁就裝滿了1瓶，減多少次35公升果汁，剩下的果汁無法裝成1瓶？287201問話2：35公升減14次35公升果汁，還剩下5公升果汁，無法再裝成1瓶。2871所以35公升最多可以裝滿14瓶，剩下5公升果汁。步驟2：丙的算法：41441728775÷7＝5×4＝20＝142047217×20＝20＝51答：最多可以裝滿 28瓶，還剩下5 公升丙算出的答案正確嗎？為什麼？教師可以透過丙的算法，檢查學童是否理解利用顛倒相乘解分數除法問題的意義，但不宜要求學童必須用丙的算法來解有餘數的分數除法問題。如果學童無法說明，可以透過前面第1點的問話2及問話3，幫助學童理解解題的意義。6策略乙：單位量轉換策略下面透過三個步驟，幫助學童經驗並察覺可以利用顛倒相乘解決分數除法的現象，民國92年及97年頒布的九年一貫課程綱要，都採用單位量轉換的想法引入顛倒相乘，和被除數和除數同時換單位策略比較，這種策略比較接近倒數的概念。教師或家長們可以利用下面三個步驟說明如何引入顛倒相乘的方法解決分數除法問題。1步驟1：1瓶果汁裝7 公升，1公升可以裝7瓶。21瓶果汁裝7 公升，1公升可以裝多少瓶？11.如果學童無法理解為什麼 1瓶果汁裝7 公升，1公升可以裝7瓶，教師或家長可以透1 1過每次減7 公升代表裝滿1瓶，1公升減7次7 公升剛好減完，所以可以裝滿 7瓶。2 7如果學童無法理解為什麼1瓶果汁裝7公升，1公升可以裝2瓶，教師或家長可以透21公升的2倍，所以裝的瓶數只有17過7公升是77公升的一半，也就是2瓶來說明。7722幫助學童察覺2瓶中的「2」，是7公升中「7」的倒數。4步驟2：1瓶果汁裝7 公升，1公升可以裝多少瓶？如果學童無法解題，教師及家長們可以透過下面的問話幫助學童。21公升的2倍，所以裝的瓶數只有177公升是77公升的一半，也就是2瓶。41公升的4倍，所以裝的瓶數只有1177公升是77公升的4，也就是4瓶。如果學童還是無法理解步驟1或步驟2解題的意義，教師或家長們可以透過下面的線段圖來說明。2121每7公升裝1瓶，裝滿了3瓶，多出來的7公升是7公升的一半，也就是2瓶，17所以1公升可以裝滿32瓶，也就是2瓶。7【我不會畫圖】1瓶1 瓶 1 瓶 1 瓶├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼ ─┤22227公升7公升7公升7公升11黑色部份是1公升(畫7格代表7個7公升)，多出來紅色部份是7公升(畫1格代表12211個7公升)，1瓶是7公升，所以有3個完整的7公升，也就是3瓶，和2個不2 1完整的7 公升，也就是2 瓶。43433每7公升裝1瓶，裝滿了1瓶，多出來的7公升是7公升的4，也就是4瓶，37所以1公升可以裝滿14瓶，也就是4瓶。【我不會畫圖】1瓶3瓶4├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼ ─┤441個7公升1個7公升1 1黑色部份是1公升(畫7格代表7個7 公升)，多出來紅色部份是 7 公升(畫1格代表14431個7公升)，1瓶是7公升，所以有1個完整的7公升，也就是1瓶，和4個不43完整的7公升，也就是4瓶。733.最後的答案一定要是假分數4，帶分數14看不到倒數的關係。4.7744幫助學童察覺4瓶中的「4」，是7公升中「7」的倒數。841 4步驟3：5 公升果汁，7 公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？如果學童無法解決步驟3，教師及家長們可以透過下面的說明幫助學童：4說明1：1瓶裝7公升，1公升可以裝多少瓶。學童回答1公升可以裝74瓶。4141741說明2：5公升是5個1公升，1公升可以裝4瓶，5個1公升可以裝成多少瓶？41741417學童利用算式5×4，得到5公升可以裝成5×4瓶。提醒學童，解題時所有的分數都要改記成假分數，否則看不到顛倒相乘的現象。策略丙：倒數策略下面透過三個步驟，幫助學童察覺可以利用顛倒相乘解決分數除法的現象，倒數策略才能真正的說明顛倒相乘的意義。14步驟1：以7公升為單位，利用上下排列的方式，分別畫出7公升和1公升。├─┼─┼─┼─┤4公升(1瓶)7├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ 1公升11.以上面的分數線段圖為例，教師及家長們應先畫出 1條代表7 公升的線段，透過累積4 74次及7次的活動，分別畫出 7 公升和7 公升。4不宜先畫出代表1公升的線段，再將這條線段平分成 7份，畫出7 公升，因為將1條線段平分成7份相當困難。畫線段圖的目的是透過表徵轉換，將分數除法問題轉換成整數的乘除問題。94步驟2：看圖說說看， 7 公升裝1瓶，1公升是多少瓶？4步驟1的線段圖中有1公升和1瓶(7公升)兩種單位。14以1公升為單位時，每一格都是7公升，上圖是4格，也就是7公升，下圖是7格，7公升或1公升。也就是7414以1瓶(7公升)為單位時時，每一格都是4瓶，上圖是4格，也就是4瓶或1瓶，7下圖是7格，也就是4瓶。如果學童無法解題，教師及家長們可以透過下面的說明幫助學童。4說明1：看著上圖，7 公升裝1瓶，將1瓶平分成4格，其中的1格是多少瓶？1學童回答是4 瓶。1說明2：看著下圖，1公升是7格，1格是4瓶，7格是多少瓶？1公升是多少瓶？7 7學童回答7格是4 瓶，所以1公升是4瓶。一個數與其倒數的關係：基準量與比較量位置互換的關係。8以5(上圖)和8(下圖)這兩個數為例，當我們將5視為單位1時，8是5個單位；當我5們將8視為單位1時，5是8個單位，也就是說，分別以5和8為基準量1時，它們的比較量互為倒數。單位158個單位├─┼─┼─┼─┼─┤├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤85個單位單位1444.步驟1的線段圖中有1公升和7公升，幫助學童察覺以7公升為單位1(瓶)時，771公升是4個單位，也就是4瓶。1041 4步驟3：5 公升果汁，7 公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？如果學童無法解決步驟3，教師及家長們可以透過下面的說明幫助學童：4說明1：1瓶裝7公升，1公升可以裝多少瓶。7學童回答1公升可以裝4瓶。4141741說明2：5公升是5個1公升，1公升可以裝4瓶，5個1公升可以裝成多少瓶？41417學童回答5個1公升可以裝成5×4瓶。2.97年的課程綱要引入導出單位的概念「6－n－11：能理解常用導出量單位的記法，並解決生活中的問題」，教師或家長們也可以幫助學童透過導出單位的關係察覺47「7公升裝1瓶」和「1公升是4瓶」的倒數關係，直接透過顛倒相乘的策略將414417「5公升÷7公升/瓶」轉換成「5公升×4瓶/公升」(想知道更多導出單位的訊息，請參閱大嘴鳥雜誌第＊＊期導出單位的內容)。3.97年的課程綱要引入乘除混合運算公式「5－a－02：能在具體情境中，理解先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積」，當學童理解分數除法都可以透過倒數的關係利用顛倒相乘的乘法算出答案，就可以將乘除混合運算公式都改記成乘法算式，讓乘除混合的計算更有效率。11將乘除混合運算公式(a×b)÷c＝(a÷c)×b改記成(a×b)×c＝(a×c)×b；11111(a÷b)÷c＝(a÷c)÷b＝a÷(b×c)改記成(a×b)×c＝(a×c)b＝a×b×c。部份成人透過乘法單位元素及乘法反元素的概念，利用下面的算式引入顛倒相乘的策略，筆者不建議教師及家長們利用這種方式教學，因為對國、中小學童而言，此種解法只是巧算，學童不是解決原來的文字題或應用問題，學童只是利用巧算算出除法算式的答案。41 2 41 7 2 7÷7＝(5×2)÷(7×2)(同乘除數的乘法反元素)7(5×2)÷1(1是乘法的單位元素)75×211(二)等分除類的問題：126等分除問題：5公尺長的繩子，相當於7條，一條繩子長幾公尺？接下來以上面的等分除問題為例，透過「線段圖策略」，和「倒數策略」等二種策略，分別說明如何引導學童透過顛倒相乘解決沒有餘數的分數除法問題。策略甲：線段圖策略下面透過三個步驟，幫助學童經驗並察覺可以利用顛倒相乘解決分數除法的現象。16步驟1：以7條為單位，利用上下排列的方式，分別畫出1條和7條。├─┼─┼─┼─┼─┼─┤ (1條)6├─┼─┼─┼─┼─┤ (7 條)11.教師及家長們應先畫出 1段代表7 條的線段，透過累積 7段及6段的活動，分別畫出7 6條和7條。126步驟2：5公尺長的繩子，相當於7條，一條繩子長幾公尺？如果學童無法解題，教師及家長們可以透過下面的說明幫助學童。6 12 6說明1：看著步驟1的線段圖，7 條繩子長 5 公尺，將7 條繩子平分成6格，其1 1中的1格是7 條繩子，7 條繩子長多少公尺？12學童回答是 5 ÷6公尺。說明2：看著步驟1的線段圖，1條繩子是7格，1條繩子長多少公尺？12學童回答1條繩子長（ 5 ÷6）×7公尺。包含除類的除法問