(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习3.9《函数模型及其应用》(含详解)

[基础题组练]1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：选C．根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()解析：选D．依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 D．2千米处解析：选A．设仓库应建在离车站x千米处．因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m(m>0)，则y1＝eq\f(m,x).当x＝10时，y1＝eq\f(m,10)＝2，所以m＝20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y2＝nx.当x＝10时，y2＝10n＝8，所以n＝eq\f(4,5).所以两项费用之和为y＝y1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A．4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年解析：选B．若2018年是第一年，则第n(n∈N＋)年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B．5．(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10－10.1解析：选A．根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得lgeq\f(E1,E2)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1，故选A．6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2019年5月1日12350002019年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池的直径和方田的边长分别是________步和________步．(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．答案：20608．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*)．当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x<140，故当x＝16时取得最大年利润．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*)169.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，所以eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2)，所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．10．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(单位：万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y∈[4，10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？解：(1)依题意，y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga8＝3，,loga64＝6，))解得a＝2，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0≤x<8，,log2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4，10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100.综上所述，当年销售额x∈[16，100]时，奖金y∈[4，10]．[综合题组练]1．(创新型)我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)()A．2[x＋1] B．2([x]＋1)C．2{x} D．{2x}解析：选C．如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C．2．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与eq\f(P,Q)最接近的数为(参考数据：lg2≈0.3)()A．1045 B．1051C．1056 D．1059解析：选B．由题知eq\f(P,Q)＝eq\f(24423－1,24253－1)≈2170.令2170＝k，则lg2170＝lgk，所以170lg2＝lgk．又lg2≈0.3，所以51＝lgk，即k＝1051，所以与eq\f(P,Q)最接近的数为1051.故选B．3．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(恒温单位：℃)满足函数关系t(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，x≤0，,2kx＋6，x＞0，))且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．①该食品在8℃的保鲜时间是________小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品．并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间(填“过了”或“没过”)．解析：①因为食品在4℃的保鲜时间是16小时，所以24k＋6＝16，解得k＝－eq\f(1,2).所以t(8)＝2－4＋6＝4.②由图象可知在11时之前，温度已经超过了10℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：4过了4．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，故e－8b＝eq\f(1,2).当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：165．某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)，x∈N*且7≤x≤12.))(1)写出2019年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)试问2019年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经验证x＝1时也满足此式．所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x(x∈N*)个月的旅游消费总额为g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－3x2＋40x）（35－2x），x∈N*，且1≤x≤6，,－480x＋6400，x∈N*，且7≤x≤12.))①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝eq\f(140,9)(舍去)．当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5<x≤6时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(5)＝3125；②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6400是减函数，所以g(x)max＝g(7)＝3040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖