2022年研究生考试数学三真题及详解

数学（三）解析第数学（三）解析第11页2022年研究生考试数学三真题及详解一、选择题：1～10550项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在指定位置上.x0时，xx是非零无穷小量，给出以下四个命题①若x~x，则2x~2x②若2x~2x，则x~x③若x~x，则xxox④若xxox，则x~x其中正确的序号是（）（A）①②（C）①③④【答案】C（B）①④（D）②③④x (x): (x)

lim(x)

2(

()21【解析】当

0时， ，则

，则：x0(x) x02(x0lim(x(x)0，所以(x(x)o((x正确；x0 (x)

(x)当x0时(x): 2(x)则

2(x)

1

(x)1，当lim(x)1时，x02(x)(x与(x)②不正确；

x0(x) x0(x)当(x)(x)o((x))时，lim(x)

lim

(x)

lim(x)

1，④.x0(x) x0(x)o((x)) x0(x)已知a n

nnnnnn

1,2,L

，则an

）（A）有最大值，有最小值（C）没有最大值，有最小值【答案】（A）

（B）有最大值，没有最小值（D）没有最大值，没有最小值【解析】lima

lim

nn 1,

21,a

11，则

有最大值，有2最小值2

n n

n

n 1 2 2 nfFxy

xyxytfdt，则（ ）0F（A）

F

,2

2F

F（B）

,2

2Fx y x2 y2 x2 y2F（C）

,2

2F

F（D）

,2

2F

y2

y2【答案】C【解析】原式(xy)x0

ft)dtxytft)dt0Fx

ft)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)xy

f(t)dt，x 0 02Ff(xy)2x同理：Fx

ft)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)xy

f(t)dty 0 02Ff(xy)2yF综上所述：

F,2F

2F.2x 2y

1 x

dx，I

1ln(x)dx，I

2xdx，则（ ）1 02(1cos

2 01cosx

3 01sinx（A）II I1 2 3（C）II I1 3 2【答案】A

（B）I II2 1 3（D）I I I3 2 1【解析】令h(x)ln(1x)x，h(x) 1

0x0, 1，于是h(x单调递增，2 1x 2又由h(0)0可知h(x)ln(1x

x0，其中x0, 1，故 x

ln(1x)，2 2(1cosx) 1cosx故II .当x0, 时，+sinx)+x)<+sinx)<2x<2x(1+cosx)，则1 2+x)< 2x

I.1+cosx 1+sinx

2 31 0 0 设A为3阶矩阵0 1 0则A特征值为的充分必要条件 0 0 0存在可逆矩阵P,QAPQ存在可逆矩阵PAPP1存在正交矩阵QAQQ1存在可逆矩阵PAPPT【答案】（B）【解析】若（B）成立，则矩阵A与相似，特征值相等，可推出A特征值为1,1,0若A特征值为1,1,0，则矩阵A可以相似对角化，矩阵A与相似，所以（B）为充要条件1 1 1 设矩阵Aa a2,b2，则线性方程组Axb的解的情况为（ ）1 b b2 4（A）无解 （B）有解（C）有无穷多解或无解 （D）有唯一解或无解【答案】（D）A1b1ba，a1,bab1 1 1 1 当ab1时，A,b0 0 0 1，方程无解，故选 0 0 0 0 1 1 1设

=1，

=，

=1，

=

，若向量组,,

与,,等1 2 3 4

1 2

1 2 41 1 2 1 1 2 价，则的取值范围是（ ））0

R,R,1，R,【答案】C,,1 2 3

1 1=1 122，1 1 ,,1 2

1=1

12+2，当1,2,时满足题意，故选C.1 1 2（8）设随机变量X~N0,4,随机变量Y~B3,1

X与YDX（ ）（A）2（C）6

3 3（B）4（D）10【答案】（D）DXDX+9DY6COVX,Y4+9

111010【解析】

gg 33 3（9）设随机变量序列X,X,L,X,L独立同分布，且X 的概率密度为1 2 n 1fx

1x,x

，则当n

1

X2依概率收敛于（ ）（A）

0,18

其他1（B）6

n1（C）3

ii1

1（D）2【答案】（B）【解析】E1

X2E

2

x21xdx21x21xdx1ini1 i

i 1 0 6 （10）设二维随机变量X,Y的概率分布 XXY01210.10.1b11a0.10.1若事件,Y与事件,Y相互独立，则COVX,Y=（ ）（A）0.6（C）0

（B）0.36（D）0.48【答案】（B）,Y,Y0.2,Y2,min,Y0.1，0.10.20.1+bb0.4a0.2XYXY20.410.1012P0.30.10.1EXY0.6,EX0.2,EY1.2COVX,YEXYEXEY0.36二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.1excotx(11)lim x0 2 1【答案】e2

1ex

cotx

limcotxIn1ex

ex1x 2

lim【解析】limx0

2

0 ex02tan

e2(12)

2 2x4 dx0x2+2x+43【答案】ln3 33【解析】2 2x4

dx

2x+2 6 dx0x2+2x+4

0x2+2x+4 x+2+3

6 x+12lnx2+2x+4

arctan333303ln3 33(13)已知函数f(x)esinxesinx，则f(2) .【答案】0f(x)esinxesinxf(x)f(x)f(x)f(x)是以2为周期的偶函f(x是以2f(2f(0)0(14)已知函数f(x)e, 0x1，则x

f(x)f(yx)dy .0, 其他

【答案】(e1)2【解析】记D{(x,y)0x1,0yx1}，则x

f(x)f(yx)dy1dxx1exeyxdy1exe1dxe12.0 x 0设A3阶矩阵，交换A232列的-1倍加到第一列，得到2 1 1 矩阵

1 1

，则A1的迹tr() . 1 0 0 【答案】1【解析】符合左行右列原则

2 1 1E

AE (1)

1 1

，则：23 12

1 0 0 2 1 1 1 1 1A

1 1 0

(1)1 0

，所以23

12 1 0 0 EA1EA11110(1)(2011

2

i,3

i所以A1的特征值为1

2

i,3

i，所以trA11.设A,B,C为随机事件，且A与BC与C相互独立，P(P(B)P(C)1，则PCABC .35【答案】8PCABC PC

PBPPBC【解析】

PABC PAPBPPBCP

BP

213 95.PAPBPPBP 11 89三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、12 xx12 xx17（本题满分10分）设函数yx是微分方程yyyx.

y2

满足y1=3的解，【答案】y2x2 xxx【解析】根据题意，求解微分方程y+ 2 xxx

xy2 有，x

dx112x

1dx y x 2 e dxCe 2x =2 exdxCex。 求解2+ xexdxt x2+tettdtt2et2xex，进而有，xxyx2xCex，由y，知C=e，故而yx2x。xxk

yx 2xlim

2，b

y

lime1

0，故x

x

x xyyxy2x.18（本题满分10分）1 1设某产品的产量QxyQ12x2y6，该产品P与QP11601.5Q68.【答案】384【解析】利润

LPQC11601.512

1 1x2y612

1 x2y

6x8y，即11 1 1

L6960

1 x2y

216y

60L13920x2y6216xy36x8y ，令x

得驻点，此时256,64 ，此时

1 2Q12256641 2

66

L2320y

1 x2y

72xy2

803，由于驻点唯一，故利润L在时取到Q3，由于驻点唯一，故利润L在时取到最大值.19（本题满分12分）已知平面区域Dxy2

x,y

y2x 4

2,0y2，计算ID

x2y2

dxdy【答案】22【解析】方法一：yy2D D2 122xIxyIx2y2D1

dxdy+

xyx2y2D2

dxdy=d2cossin2rdr 2 cossin2rdr20 0 2

sincos02cossin21 2 2 22方法二：

2sincosdyy2D2D12 2xI1

2xy dxdy x2y2D=S 2DDD

xy x2y21 22D1

xy x2y2222220 2

sincosrdr2242

sincos4

sincosd=22

0 sincos220（本题满分10分）求幂级数

n0

(4)n1x24n(2n1)

n的收敛域及和函数S(x).1arctanxln2x, x且x0【答案】收敛域[1,1]，S(x)x 2x 【解析】lim

2, x0(4)n114n1(2n3)(4)n114n1(2n3)4n(2n1)(4)n1(4)n114n1(2n3)4n(2n1)(4)n1(4)n11(4)n1n

n

4n(4) n(4) n1(4)n11 (4)11 n(4)n

1，进而可得收敛半径为1.当x1时，原级数为

(4)n1

(1)n

1 ，其中

(1)n

为交错级数，k可知其收敛；n0

4n(2n1) 2n1 4n(2n1) 2n1n0 n0 n0 n01 .4n(2n1)S(x)

(4)n

x2n

(

x2n

x2n

，x[1,1].4n(2n1) 2n1 4n(2n1)n0 n0 n0(1n 2 令S(x) xn1，S(x) (1n(1n 2

(x)dx

arctanxC，1 2n1 1

1x2 1

1x2n0 n0S(0)0，得C0.1令(

)

x2n1

()

x2n

x2

4 ，() 4

ln2x ，S x S x

S x dx C2n0

4n(2n1) 2

4nn0

n0

4

4x2 2

4x2 2xS(0)0，得C0.2x0S(x)arctanx1ln2xS(0)2.x x 2x1arctanxln2x, x且x0综上，S(x)x 2x . 2, x021（本题满分15分）f(xxx3x24x23x22xx，1 2 3 1 2 3 13xQyf(xxx化为标准形；1 2 3minf(x)2xTx0 1 1022 22 【答案（）Q 0 1 0（2）见解. 1 122 0 22 301301040103【解析（1）A0 4 0，AE

(2)(4)20，得特征值 1 0 2，1

4.31 0 1 当2时，A2E:0 2 0，解得特征向 1 0 0 0

(1,0,1)T；当2

1 0 1 4时，A4E:0 0 0，解得特征向 0 0 0

(0,1,0)T，3

(1,0,1)T；单位化1

(

1,0,

1)T，2

(0,1,0)T， (232

,0, )T1220 1 1122022 22 得正交矩阵Q 0 1 0，故二次型经过正交变换xQy得到的标准形为 1 122 0 22 f(y,y,y)2y24y24y2.1 2

1 2

f(x) f(y) 2y24y2