暑期建模培训-灰色预测模型及其应用

灰色预测模型及其应用暑期建模培训灰色预测模型（Gray

Forecast

Model）是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.

预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具.缺点：不考虑系统内在机理，有时会出现较大的错误。因此，对于内在机理明确的系统，一般不建议使用灰色预测模型。例子：预测与会代表人数（高教杯2009D题）要求合住1合住2合住3独住1独住2独住3男154104321076841女784817592819此题要求为会议筹备组制定一个预定宾馆客房，租借会议室，租用客车的合理方案，为了解决这些问题，首先要先预测与会代表人数。预测的依据为代表回执数量及往届的与会人员数据。已知本届会议的回执情况及以往几届会议代表回执与与会情况，见下表，根据这些数据预测本届与会代表人数。本届会议代表的回执中有关住宿要求信息说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。附表3 以往几届会议代表回执和与会情况第一届第二届第三届第四届发来回执的代表数量315356408711发来回执但未与会的代表数量89115121213未发回执而与会的代表数量576975104每年的与会人数和年份之间没有太多的内在联系，因此可以看做一个灰色系统！！！！1.

灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。2.

灰色系统的特点（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化.（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律.（3）灰色系统理论能处理贫信息系统.灰色系统的模型通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测。1.

数据的预处理首先我们从一个简单例子来考察问题.【例1】

设原始数据序列x(0)

{x(0)

(1),

x(0)

(2),

,

x(0)

(N

)

}

{6,

3,

8,

10,

7}7.2

灰色系统的模型对数据累加x(1)(1)

x(0)(1)

6，x(1)

(2)

x(

0

)

(1)

x(

0

)

(2)

6

3

9，x(1)

(3)

x(

0

)

(1)

x(

0

)

(2)

x(

0

)

(3)

6

3+8

17，x(1)

(4)

x(

0)

(1)

x(0)

(2)

x(

0)

(3)

x(0)

(4)

6

3+8+10

27，x(1)

(5)

x(

0)

(1)

x(0)

(2)

x(

0)

(3)

x(0)

(4)

x(

0)

(5)6

3+8+10+7

34.于是得到一个新数据序列x(1)

{6,

9,

17,

27,

34}7.2

灰色系统的模型归纳上面的式子可写为ii）

{

x(0)(

j) i

1,

2L ,

N}x(（1)j

1称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.显然有 x(1)(1)

x(0)

(1).将上述例子中的x(0)，x(1)

分别做成图7.1、图7.2.可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成数列x(1)

.7.2

灰色系统的模型图7.2图7.1为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中7.2

灰色系统的模型x(1)(i)

x(1)(i)

x(1)(i

1)

x(0)(i)x(1)

(5)

x(1)

(5)

x(1)

(4)

34

27

7，x(1)

(4)

x(1)

(4)

x(1)

(3)

27

17

10，x(1)

(3)

x(1)

(3)

x(1)

(2)

17

9

8，x(1)

(2)

x(1)

(2)

x(1)

(1)

9

6

3，x(1)

(1)

x(1)

(1)

x(1)

(0)

6

0

6.归纳上面的式子得到如下结果：一次后减其中i

1,

2,...,

N，x(0)

(0)

0.7.2

灰色系统的模型2.

建模原理给定观测数据列经一次累加得(1)dt+

ax

=

ux(0)

{x(0)

(1),

x(0)

(2),

,

x(0)

(N

)

}x(1)

{x(1)

(1),

x(1)

(2),

,

x(1)

(N

)

}设

x(1)

满足一阶常微分方程dx

(1)（7.1）（7.2）（7.3）7.2

灰色系统的模型其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对系统的常定输入.此方程满足初始条件当t

t

时x(1)

x(1)

(t )0 0的解为(1)

(1)x (t)

x (t)

(7.3)’对等间隔取样的离散值

(注意到t0

1）则为(7.4)灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来估计常数a与u.0u

a

(t

t

)

a

0ue .ax(1)

(k

1)

[x(1)

(1)

u

]e

ak

u

.a a7.2

灰色系统的模型(1)

(1)

(1)

(0)x(1)(2)

x (2)

x (2)

x (1)

x (2),t(0)(0)x (3),...,x(1)(N

)x(1)(3)

x (N

).tt..............................ìï x(0)(2)+ax

(1)(2)

= u,ïï x(0)(3)+ax

(1)(3)

= u,ïíïïï

x

(0)(N

)

+

ax

(1)(N

)

= u.ïî因x(1)

(1) 留作初值用，故将x(1)

(2),

x(1)

(3),...,

x(1)

(N

)

分别代入方程(7.3),用差分代替微分，又因等间隔取样，t

(t

1)

t

1, 故得类似地有于是，由式（7.3）有7.2

灰色系统的模型aa

x(0)

(2)

[x(1)

(2),

1]u

a

x(0)

(3)

[x(1)

(3),

1]

u

x(0)

(N

)

[x(1)

(N

),

1]u

L

Lx(1)(1)(1)(i)由于

t涉及到累加列x的两个时刻的值，因此，x取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将

x(i

)

(i) 替换为把ax(1)

(i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式(7.5)7.2

灰色系统的模型将（7.5）写为矩阵表达式y

(x(0)(2),x(0)

(3),

L ,

x(0)

(N

))T

.22(1)(1)(0)12

x(0)

(2)

1

[x(1)

(2)

x(1)

(1)]1

1

[x(1)

(3)

x(1)

(2)]1 a

.1

u

[x (N

)

x (N

1)] 1Mx(0)

(3)Mx (N

)令这里，T表示转置.令1

[x(i

)

(i)

x(i

)

(i

1)],

(i

2,

3,...,

N

).2(7.6)7.2

灰色系统的模型22(1)(1)121

1

[x(1)

(2)

x(1)

(1)]1

1

[x(1)

(3)

x(1)

(2)]a

,U

,u

[x (N

)

Mx (N

1)] 1

则(7.6)式的矩阵形式为y

BU方程组(7.6)’的最小二乘估计为uˆ

Uˆ

aˆ

(BTB)1BT

y(7.6)’(7.7)7.2

灰色系统的模型把估计值aˆ与uˆ 代入（7.4）式得时间响应方程aˆuˆxˆ(1)(k1)

x(1)(1)

uˆ

e

aˆk

aˆ

当k

1,

2,L ,

N

1时，由(7.8)式算得的

xˆ(1)

(k

1)

是拟合值；当k

N时，xˆ(1)

(k

1)

为预报值.这是相对于一次累加序列x(1)

的拟合值，用后减运算还原，当k

1,

2,L ,

N

1时，就可得原始序列

x

(0)

的拟合值xˆ(0)

(k

1)；当k

N时，可得原始序列

x

(0)预报值.(7.8)7.2

灰色系统的模型3.精度检验(1)残差检验：分别计算7.2

灰色系统的模型（3）预测精度等级对照表，见表7.1.7.2

灰色系统的模型由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理.注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常微分方程（7.3）.7.2

灰色系统的模型4.GM(1,1)的建模步骤综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：注：

在进行数据叠加之前，为了消除数据的波动变化，减少数据的随机性以及调整数据的变化态势，要对原式数据进行预处理。预处理的方式一般有以下几种：开n次方（n根据经验选取）；数据取对数；数据平滑；（一般为三点平滑）运用序列算子弱化或者强化原始数据列等。针对2009年D题来做预测：不难的到本届发来的回执为755份，通过前四届的情况计算缺席率和未知与会率如下：未知与会率=未发回执但参加会议人数/发来回执的代表数量缺席率=发来回执但未参加人数/发来回执的代表数量第一届第二届第三届第四届缺席率0.282540.323030.296570.29958未知与会率0.180950.193820.183820.14627缺席率基本上稳定在0.3，故可以认为缺席率为0.3；未知与会率变化较大，而且只有4个数，可以使用灰色预测模型。对数据进行预处理，消除数据波动变化；xyuanshi=[0.180950.193820.183820.14627];n=length(xyuanshi);%%%%%%%对数据做均匀化处理%%%%%%x(1)=(3*xyuanshi(1)+xyuanshi(2))/4;x(n)=(3*xyuanshi(n)+xyuan