课例分析：过程教育（同底数幂的乘法）

PAGE8过程教育课例———“同底数幂的乘法”的教学及说明背景介绍《义务教育数学课程标准》（2022版）（以下简称《课标》）根据数学具有过程和结果的二重性特征,倡导统筹兼顾过程与结果研修活动中发现,课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题,主要表现在:教学内容不全面,认知过程不完整,教学侧重点不准确,教学方法不和谐鉴于此,笔者在重复式观课与反思基础上,对该课的教学进行重建与实践,改进后的课例得到了专家的认可现整理成文,与读者交流分享教学实录环节1:提出问题———从具体问题出发师:我们已有用算式解决实际问题的经历与经验,请大家用算式解决下列问题:光年是长度单位,1光年是指光经过一年所行的距离光的速度大约是3×105千米/秒,若1年以3×107秒计,则1光年大约是多少千米师:谁来解答这个问题生1:3×105×3×107=（3×3）×（105×107）=9×（100000×）=9×=9×光年大约是9×1012千米师:3×105×3×107=（3×3）×（105×107）的依据是什么生1:乘法交换律、乘法结合律师:（105×107）=（100000×）的依据是什么生1:幂的意义师:你的计算过程体现了化归思想,在计算过程中有何感触生1:书写不方便,如果指数再大一点的话,书写更不方便了师:有道理但在数学运算或在处理现实世界中数量之间的关系时,经常会碰到同底数幂相乘的问题,怎样解决同底数幂相乘书写不方便的问题本节课我们就来进行研究（揭示课题：同底数幂的乘法）环节2:操作观察———计算算式并观察其规律师:请大家用已有的知识与经验计算下列各式（结果用幂的形式表示）:（1）23×22=;（2）103×105=;（3）（-3）2×（-3）4=;（4）a4·a3=（教师等待学生完成任务）师:谁来汇报计算结果生2:23×22=25,103×105=108,（-3）2×（-3）4=（-3）6,a4·a3=a7师:你是怎样计算的生2:例如,23×22=（2×2×2）×（2×2）=8×4=32=25师:不错,你的计算过程体现了化归思想师:观察上面的各个等式,你们发现同底数幂相乘有什么规律生3:右边幂的底数与左边幂的底数相同,右边幂的指数是左边两个幂的指数的和师:有眼力请大家检验一下:63×65=68吗生4:63×65=（6×6×6）×（6×6×6×6×6）=6×6×6×6×6×6×6×6=68师:说明这个运算规律也适用于计算63×65环节3:归纳猜想———由特殊猜想一般师:一般地,大家能形成怎样的猜想生5:同底数幂相乘,底数不变,指数相加师:这样同底数幂相乘有了新的算法,能用字母来表示这个算法吗生6:am·an=amn师:这里m,n分别是什么数生6:因为m,n都表示a的个数,所以m,n都是正整数师:有道理,但以后还可以扩大m,n的取值范围师:从运算角度看,“am·an=amn（m，n都是正整数）”是同底数幂相乘的法则;从a可以取不同的数的角度看,它也可以看成是公式或性质它从左到右看是乘法运算,从右到左看是把一个幂分成两个同底幂的积师:用同底数幂相乘的法则进行同底数幂相乘运算有何好处生7:不但书写方便,而且能提高运算速度师:·an·a·an·an·an·a·an）·an·an=5,2n=4,则2mn=（4）我国“天河-1A”超级计算机的实测运算速度达到每秒千万亿次,如果按这个速度工作一整天,那么它能运算多少次（教师等待学生完成任务）师:谁来汇报（1）生14:因为108×10a=1010,所以108a=1010,所以8a=10,所以a=2师:你的推理过程非常清晰谁来汇报（2）生15:因为a=-3是关于a的方程-·3·a=7的一个根,所以a=-3师:你巧妙地运用了方程思想谁来汇报（3）生16:因为2m=5,2n=4,所以2m×2n=5×4,所以2mn=20师:你运用了等式的性质生17:2mn=2m×2n=5×4=20师:你逆用了同底数幂相乘的法则谁来汇报（4）生18:（×107×108）×（24××103）=（×24×）×（107×108×103）=×1018≈×1020（次）它一天约能运算×1020次师:你用算式、乘法交换率与结合律、同底数幂相乘的法则解决了这个问题环节5:反思内化———欣赏研究内容与研究方法师:本节课研究了哪些内容生19:本节课研究了同底数幂相乘的法则及其应用师:我们是怎样研究的生20:提出问题→计算观察→归纳猜想→表达法则→用法则计算具体算式师:学习同底数幂相乘的法则有何意义生21:用法则进行计算,不但书写方便,而且能提高运算速度师:你在学习过程中获得了哪些数学活动经验生22:若算式不同底,则先化同底,再用法则计算生23:计算时要“先定号再运算”,法则不但会正用,也要会逆用生24:用算式解决实际问题的过程与用方程解决实际问题的过程类似师:非常好!这些数学活动的经验对后继学习有指导作用教学说明该课的教学内容不仅包括同底数幂相乘的法则,也包括法则的形成过程和所蕴含的研究法则的意义、归纳思想、符号表示思想等,包括法则的应用过程和所蕴含的演绎思想、化归思想、换元思想及用算式解决实际问题的经验同底数幂相乘是有理数相乘运算的一种特殊形式,也是一种常见的形式,且在解决实际问题中会经常遇到其研究过程（提出问题→计算观察→归纳猜想→多样表达→法则应用→反思内化）在教学实践中具有普适性实践告诉我们,法则形成与应用的过程有能力发展点、个性和创新精神培养点,其所蕴含的数学思想及数学活动经验对发展学生的智力有积极影响同底数幂乘法的教学性质是原理教学,一般地,数学原理完整的认知过程是“提出问题→操作观察→归纳猜想→多样表达→解决问题→反思内化”,同底数幂相乘可以看成是从实际问题中抽象出来的,也可以看成是数学自身逻辑的产物但采用从实际问题中抽象出来的方式能使学生感悟学习同底数幂相乘的意义尽管用幂的意义能解决同底数幂相乘的问题,但这种算法书写不方便引导学生经历用幂的意义解决同底数幂相乘问题的过程,能使学生感悟创新同底数幂相乘算法的必要性尽管《课标》对同底数幂相乘没有提出具体的教学要求,但浙教版教材提出的教学要求是“理解同底数幂相乘的法则,会用同底数幂的乘法法则进行同底数幂相乘,并解决简单的实际问题”在教师适度引导下,学生能发现同底数幂相乘的法则,但多角度解释“am·an=amn”和熟练地用同底数幂相乘的法则进行同底数幂相乘对部分学生来说有一定的难度,特别是逆用法则对学生来说更有难度本课例根据同底数幂乘法的教学性质及其地位与作用和所蕴含的教育价值,针对性地设计了“提出问题（从实际问题出发）→计算观察（计算具体的算式并观察计算前后幂指数的关系）→归纳猜想（由特殊猜想一般）→多样表达（用文字语言和符号语言表达法则）→解释说明（多角度解释am·an=amn并进行推广）→解决问题（用法则进行具体计算）→反思内化（欣赏研究内容和研究方法，感悟其所蕴含的数学思想和积累数学活动经验）”的教学过程,运用了“把教学的侧重点放在‘归纳猜想、解释说明和具体计算’上,并以教材提供的内容为载体,从学生已有的知识与经验出发,采用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式和用激励的方法来评价学生表现”的教学方法,使学生对“法则”的认识能达到一定的“深度”与“宽度”浙江省数学特级教师邬云德认为,该课例遵循了数学原理教学的基本规范,体现了过程教育和以学为中心的思想,能实现“能根据实际问题的条件列出算式,能感悟创新同底数幂相乘算法的必要性;能发现并会表达同底数幂相乘的法则,能感悟其所蕴含的归纳思想、符号表示思想;会用同底数幂相乘的