2021年河南省开封市通许县实验中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年河南省开封市通许县实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在区间为（

）A.(2,3) B.(1,2) C.(4,5) D.(3,4)参考答案：A【分析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间.【详解】因为在上单调递增，，，所以.故选：A.【点睛】本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值的正负.2.函数是A.周期为的偶函数

B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数

D.周期为奇函数参考答案：C3.设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2at2+at，则正实数a的最小值是(

) A．1 B． C． D．参考答案：C考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意讨论可得f（f（x））=；从而可知f（f（x））＞1，即2at2+at＞1对任意t∈（1，+∞）恒成立，从而解得．解答： 解：∵f（x）=，∴当x≤0时，f（f（x））==x；当0＜x≤1时，log2x≤0；故f（f（x））==x；当x＞1时，f（f（x））=log2（log2x）；故f（f（x））=；分析函数在各段上的取值范围可知，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2at2+at，则f（f（x））＞1，即2at2+at＞1，又∵t∈（1，+∞），a＞0；∴2a+a≥1即可，即a≥；故选：C．点评：本题考查了分段函数的化简及复合函数的应用，同时考查了函数的最值问题，属于中档题．4.设，若z的最大值为12，则z的最小值为

A．-3

B．-6

C．3

D．6参考答案：5.已知函数f(x)=x2+ex-(x＜0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是sA．B．C．D．参考答案：B6.在中，若，则的形状是.A.正三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰直角形参考答案：B略7.某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是（

）

高一高二高三女生373mn男生377370pA.8

B.16

C.28

D.32参考答案：B8.若幂函数的图像不过原点，则实数m的取值范围为（

）A. B.或

C.

D.参考答案：B9.对于任意,函数表示中的较大者，则的最小值是（

）A2

B3

C8

D参考答案：A略10.

函数的递增区间是（

）

A.〔，）

B.（，〕

C.〔，〕

D.〔，3〕参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的焦点坐标是

.参考答案：（-2，0）12.在△ABC中，若，，，则_____；_____．参考答案：

略13.有下列各式：，，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为

(n∈N*)．参考答案：1＋＋＋…＋>(n∈N*)

14.如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，当时，都有且存在两个不相等的自变量，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．参考答案：略15.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是____________．参考答案：[4，+∞）或（-∞，0]略16.已知，则=_______.参考答案：；17.在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．参考答案：70【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大．【解答】解：据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n，∴2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70．故答案为：70．【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，的图象在点处的切线与直线平行．

（1）求的值；

（2）若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围．参考答案：（1）由题意知，曲线的图象在点处的切线斜率为3，

所以，又，即，所以．——4分（2）由（1）知，所以，

①若在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则在（0，+∞）上恒成立，

即，所以．令，则，

由，得，由，得，

故在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则，无最大值，在（0，+∞）上不恒成立，故在（0，+∞）不可能是单调减函数——9分

②若在（0，+∞）上为单调递增函数，则在（0，+∞）上恒成立，

即，所以，由前面推理知，的最小值为，∴2a≤1，故a的取值范围是．——————————12分19.已知数列、满足，，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：；（3）求证：对任意的有成立．参考答案：（2）∵∴＝＝---------------------------------------------------------6分证法1：∵

＝＝∴．--------------------------------------------------------------------------8分证法2：∵

∴∴∴．----------------------------------------------------------------------------8分（3）用数学归纳法证明：

①当时，不等式成立；-----------9分②假设当（，）时，不等式成立，即，那么当时----------------------------------------------------------------------12分

＝∴当时，不等式成立由①②知对任意的,不等式成立．--------------------------------------------------------14分

20.等比数列{an}中，a1+a4=20，a2+a5=40，求它的前6项和s6．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a4=20，a2+a5=40，∴q（a1+a4）=20q=40，解得q=2，=20，解得a1=．∴S6==140．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知点A(1,1)，B(1，－1)，C(cosθ，sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点．(1)若|－|＝，求sin2θ的值；(2)若实数m，n满足m＋n＝，求(m－3)2＋n2的最大值．参考答案：(1)∵|－|＝||，∴||2＝(cosθ－1)2＋(sinθ－1)2＝－2(sinθ＋cosθ)＋4.∴－2(sinθ＋cosθ)＋4＝2，即sinθ＋cosθ＝，两边平方得1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝－.(2)由已知得：(m，m)＋(n，－n)