2021年河南省新乡市庞寨中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2021年河南省新乡市庞寨中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（

）

A.3

B.

C.

D.2参考答案：B2.在△ABC中，，，，则sinB为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】根据正弦定理：即：答案选D【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.3.若不等式≤在内恒成立，则的取值范围是 A．≤

B．

C．≤

D．参考答案：A略4.设方程、的根分别为、，则

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知非等腰△ABC中，cos2A=,b=5,c=2，则a=

A.5

B.

C.5或

D.参考答案：B6.已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边长，b和c是关于x的方程x2﹣9x+25cosA=0的两个根（b＞c），且，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形参考答案：C【分析】由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC，利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，进而利用余弦定理求cosA，从而可求sinA的值，由方程x2﹣9x+25cosA=0，可得x2﹣9x+20=0，从而b，c，利用余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=9，可求得a，直接判断三角形的形状即可．【解答】（本题满分为12分）解：由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC，∴sin2B+sin2C﹣sin2A=sinBsinC，由正弦定理：∴b2+c2﹣a2=bc，…由余弦定理cosA==，…∴sinA=，…又∵由（1）方程x2﹣9x+25cosA=0即x2﹣9x+20=0，则b=5，c=4，…∴a2=b2+c2﹣2bccosA=9，∴a=3，…∴b2=c2+a2，三角形是直角三角形…7.锐角△ABC中，，则

（

）A．Q>R>P

B．P>Q>R

C．R>Q>P

D．Q>P>R参考答案：A8.

A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.函数是（

）A．周期为的奇函数

B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数

D．周期为的偶函数参考答案：A10.函数的图象的大致形状是(

)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域为

▲

.参考答案：12.在数列中，，，（），则该数列前2014项的和为_________．参考答案：4028略13.已知关于的不等式的解集为，则实数＝

▲

.参考答案：14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．若，则△ABC的面积为______；若△ABC有两解，则b的取值范围是______．参考答案：

【分析】根据等腰三角形性质可得的面积，根据正弦定理确定有两解条件.【详解】若，则,因此的面积为由正弦定理得因为有两解，所以【点睛】本题考查正弦定理以及三角形面积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.15.（3分）给出下列命题：①函数y=cos（x+）是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；⑤函数y=sin（2x+）的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为

．参考答案：①④考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：利用诱导公式化简判断①；化积后求出sinx+cosx的最值判断②；举例判断③；分别求解三角函数值判断④⑤．解答：对于①，∵y=cos（x+）=﹣sin，∴函数y=cos（x+）是奇函数，命题①正确；对于②，∵sinx+cosx=，∴不存在实数x，使sinx+cosx=2，命题②错误；对于③，α=60°，β=390°是第一象限角且α＜β，tanα＞tanβ，命题③错误；对于④，当x=时，y=sin（2x+）=，∴x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；对于⑤，当x=时，y=sin（2x+）=．∴x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴，命题⑤错误．∴正确命题的序号为①④．故答案为：①④．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．16.设A={（x，y）|y=2x+3}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B=．参考答案：{（﹣2，﹣1）}解：联立得：，解得：，则A∩B={（﹣2，﹣1）}，故答案为：{（﹣2，﹣1）}17.函数的最小正周期=________参考答案：π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在对数函数y=logx的图象上（如图），有A、B、C三点，它们的横坐标依次为t、t+2、t+4，其中t≥1，（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；（2）判断函数S=f（t）的单调性；（3）求S=f（t）的最大值．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题．【分析】根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），对于（1）由图形得SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE，根据面积公式代入相关数据即可得到三角形面积的表达式（2）根据（1）中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可（3）由（2）所求的单调性求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）A、B、C三点坐标分别为（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），由图形，当妨令三点A，B，C在x轴上的垂足为E，F，N，则△ABC的面积为SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE=﹣[logt+log（t+2）]﹣[log（t+2）+log（t+4））]+2[logt+log（t+4））]=[logt+log（t+4）﹣2log（t+2）]==即△ABC的面积为S=f（t）=

（t≥1）（2）f（t）=

（t≥1）是复合函数，其外层是一个递增的函数，t≥1时，内层是一个递减的函数，故复合函数是一个减函数，（3）由（2）的结论知，函数在t=1时取到最大值，故三角形面积的最大值是S=f（1）==【点评】本题考查对数函数的图象和性质的综合运算，解题时要结合图象进行分析求解，注意计算能力的培养．19.已知函数（其中）（1）求函数的值域；（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的对称轴．

参考答案：（1）解：．……………2分由，得，可知函数的值域为．……………4分（2）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得．……………6分所以函数令则对称轴为，……………8分略20.Sn表示等差数列{an}的前n项的和，且S4=S9，a1=﹣12（1）求数列的通项an及Sn；（2）求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|参考答案：【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）由已知结合等差数列前n项和公式，构造关于公差d的方程，求出公差后，可得数列的通项an及Sn；（2）由（1）中数列的通项公式，可得数列前6项为负，故可分n≤6和n≥7时两种情况，结合等差数列前n项和公式求Tn．【解答】解：（1）∵S4=S9，a1=﹣12，∴4×（﹣12）+6d=9×（﹣12）+36d解得d=2…∴…（2）当n≤6时，an＜0，|an|=﹣an，Tn=﹣（a1+a2+…=13n﹣n2，…当n≥7时，an≥0，Tn=﹣（a1+a2+…+a6）+（a7+…=Sn﹣2（a1+a2+…+a6）=n2﹣13n+84…21.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【详解】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG?平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．22.(本题满分12分)是否存在实数a，使函数f(x