数学归纳法4-北师大版课件

数学归纳法数学归纳法1、问题情境一问题

1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

完全归纳法

不完全归纳法

1、问题情境一问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿1、问题情境二费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．1、问题情境二费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一1、问题情境三

多米诺骨牌课件演示

1、问题情境三多1、问题情境三

如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）

1、问题情境三如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0(n0

N*，例如n0

=1)

时命题成立(归纳奠基）；

2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做______________。数学归纳法2、数学归纳法的概念定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法验证n=n0时命题成立假设n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳递推命题对从n0开始所有的正整数n都成立验证n=n0时命题成立假设n=k(k≥n0)时命题成立,归纳3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角函数方面（4）整除性（5）几何方面（6）计算、猜想、证明3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角函数情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳问题情境思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳问题情境思考：你由证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例证明：数学运用递推基础递推依据②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例证如果是等差数列，已知首项为，公差为，那么对一切都成立．证明：（1）当n=1时，等式是成立的．（2）假设当n=k时等式成立，就是那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何都成立．练习1

用数学归纳法证明：递推基础递推依据如果是等差数列，已知首项为，公差为练习2

用数学归纳法证明

证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即递推基础递推依据那么当n=k+1时，练习2用数学归纳法证明证明（1）当n=1时，左边=用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．

递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”“综合（1）、（2），……”不可少！注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：练习3纠错!分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：练（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即

2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有

2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明这就是说，当n=k+1时,命题也成立.没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

这就是说，当n=k+1时,命题也成立.没有用上“假设”，故此证明①当n=1时,左边=,这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

证明①当n=1时,左边=

这不是数学归纳法这不是数学归纳法（3）（纠错题）

2n>n2(nN*)证明：①当n=1时，21>12,不等式显然成立。②假设当n=k时等式成立，即2k>k2,那么当n=k+1时，有2k+1=22k=2k+2k>k2+k2k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。（3）（纠错题）2n>n2(nN*)证明：①当n=1

因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，思考：步骤

(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明

n边形的对角线的条数是此时n取的第一值思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？练习巩固

1、

用数学归纳法证明：“”在验证

n=1成立时，左边计算所得的结果是（

）

A．1 B.C．

D.

2.已知:,则等于()A:B:C:D:CC练习巩固1、用数学归纳法证明：“3.

用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝

练习巩固

4、用数学归纳法证明：

5．求证:当n∈N*时，3.用数学归纳法证明:练习巩固4、用数学归纳法证明：53.用数学归纳法证明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

练习巩固

从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝则当n=k+1时，

+＝=∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

=1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立3.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1练习巩固

4、用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时，左边=1,右边===1.命题成立

(2)假设n=k时命题正确，即

则当n=k+1时,

=+

=

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

提什么好呢?注意结论的形式

练习巩固4、用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时，左练习巩固

5．求证:当n∈N*时，证明:

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。(1)当n=1时，左边=;右边∴左边=右边，∴n=1时，命题成立。(2)假设n=k时命题正确，即:

当n=k+1时，

左边=

练习巩固5．求证:当n∈N*时，证明:∴n=k+1时命证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.(二)不等式证明:例1、证:(1)当n=2时,左边=例2：利用数学归纳法证明不等式例2：利用数学归纳法证明不等式(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：练习(1)用数学归纳法证:

D(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时(2)用数学归纳法证:

(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：Ａ.１项Ｂ.项Ｄ.项Ｃ.项Ｃ(2)用数学归纳法证:(n≥2,n∈N)过程中,由“n=(3)整除性问题例：证明42n+1+3n+2(n∈N*)能被13整除。证明：1）n=1时：42×1+1+31+2=91，能被13整除。

2）假设当n=k(k∈N)时,42k+1+3k+2能被13整除，当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2=4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-13•3k+2…………()∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。∴42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。……核心步骤多退少补（密诀）(3)整除性问题证明：1）n=1时：42×1+1+31+2练习1：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。证明：1）n=1时：

x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。2）假设当n=k(k∈N)时有x2k-y2k能被x+y整除,当n=k+1时由1）、2）可知，对一切n∈N，x2n-y2n都能被x+y整除。

=(x2k-y2k)•x2+y2k(x2-

y2)………（）∵(x2k-y2k)和(x2-

y2)都能被x+y整除，∴（）式也能被x+y整除。即：n=k+1时命题也成立……核心步骤多退少补（密诀）练习1：用数学归纳法证明：证明：1）n=1时：2）假设当n=练习2求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,当n=k+2时:xk+2+yk+2=xk•x2+yk•y2

=xk•x2+yk•x2-yk•x2+yk•y2=(xk+yk)•x2-yk(x2-y2)=(xk+yk)•x2-yk(x-y)(x+y),

∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除，即当n=k+2时命题仍成立。

由1）、2）可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。练习2求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。证（4）归纳—猜想—证明（求数列的通项公式）（4）归纳—猜想—证明（求数列的通项公式）（5）数学归纳法证明几何问题.例：平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个部分.（5）数学归纳法证明几何问题.例：平面内有n条直线,其中任1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线------的条数f(n+1)=f(n)+_________.练习1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线（6）用数学归纳法证明探究性问题点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.（6）用数学归纳法证明探究性问题点拨:对这种类型的题目,一般2.是否存在常数a、b,使得等式:

对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:2.是否存在常数a、b,使得等式:解:令n=1,2,并整理得(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=数学归纳法4-北师大版课件例:比较2n与n2(n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1,2n>n2当n=2时，2n=4,n2=4,2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9,2n<n2当n=4时，2n=16,n2=16,2n=n2当n=5时，2n=32,n2=25,2n>n2当n=6时，2n=64,n2=36,2n>n2猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)例:比较2n与n2(n∈N*)的大小注：先猜想，再证证明：（1）当时,不等式显然成立用数学归纳法证明：（2）假设时不等式成立,即那么,当时,有即当时不等式也成立.根据(1)(2),可知对任何,不等式都成立.证明：（1）当时,不等式显(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法回顾反思(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；(3)数学有关的数学名言

数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。——普林舍姆

历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根

数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚

没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。——卡罗斯

数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明

有关的数学名言数学归纳法数学归纳法1、问题情境一问题

1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

完全归纳法

不完全归纳法

1、问题情境一问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿1、问题情境二费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．1、问题情境二费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一1、问题情境三

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1、问题情境三多1、问题情境三

如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）

1、问题情境三如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0(n0

N*，例如n0

=1)

时命题成立(归纳奠基）；

2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做______________。数学归纳法2、数学归纳法的概念定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法验证n=n0时命题成立假设n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳递推命题对从n0开始所有的正整数n都成立验证n=n0时命题成立假设n=k(k≥n0)时命题成立,归纳3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角函数方面（4）整除性（5）几何方面（6）计算、猜想、证明3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角函数情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳问题情境思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳问题情境思考：你由证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例证明：数学运用递推基础递推依据②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例证如果是等差数列，已知首项为，公差为，那么对一切都成立．证明：（1）当n=1时，等式是成立的．（2）假设当n=k时等式成立，就是那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何都成立．练习1

用数学归纳法证明：递推基础递推依据如果是等差数列，已知首项为，公差为练习2

用数学归纳法证明

证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即递推基础递推依据那么当n=k+1时，练习2用数学归纳法证明证明（1）当n=1时，左边=用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．

递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”“综合（1）、（2），……”不可少！注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：练习3纠错!分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：练（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即

2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有

2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明这就是说，当n=k+1时,命题也成立.没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

这就是说，当n=k+1时,命题也成立.没有用上“假设”，故此证明①当n=1时,左边=,这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

证明①当n=1时,左边=

这不是数学归纳法这不是数学归纳法（3）（纠错题）

2n>n2(nN*)证明：①当n=1时，21>12,不等式显然成立。②假设当n=k时等式成立，即2k>k2,那么当n=k+1时，有2k+1=22k=2k+2k>k2+k2k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。（3）（纠错题）2n>n2(nN*)证明：①当n=1

因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，思考：步骤

(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明

n边形的对角线的条数是此时n取的第一值思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？练习巩固

1、

用数学归纳法证明：“”在验证

n=1成立时，左边计算所得的结果是（

）

A．1 B.C．

D.

2.已知:,则等于()A:B:C:D:CC练习巩固1、用数学归纳法证明：“3.

用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝

练习巩固

4、用数学归纳法证明：

5．求证:当n∈N*时，3.用数学归纳法证明:练习巩固4、用数学归纳法证明：53.用数学归纳法证明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

练习巩固

从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝则当n=k+1时，

+＝=∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

=1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立3.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1练习巩固

4、用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时，左边=1,右边===1.命题成立

(2)假设n=k时命题正确，即

则当n=k+1时,

=+

=

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

提什么好呢?注意结论的形式

练习巩固4、用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时，左练习巩固

5．求证:当n∈N*时，证明:

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。(1)当n=1时，左边=;右边∴左边=右边，∴n=1时，命题成立。(2)假设n=k时命题正确，即:

当n=k+1时，

左边=

练习巩固5．求证:当n∈N*时，证明:∴n=k+1时命证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.(二)不等式证明:例1、证:(1)当n=2时,左边=例2：利用数学归纳法证明不等式例2：利用数学归纳法证明不等式(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：练习(1)用数学归纳法证:

D(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时(2)用数学归纳法证:

(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：Ａ.１项Ｂ.项Ｄ.项Ｃ.项Ｃ(2)用数学归纳法证:(n≥2,n∈N)过程中,由“n=(3)整除性问题例：证明42n+1+3n+2(n∈N*)能被13整除。证明：1）n=1时：42×1+1+31+2=91，能被13整除。

2）假设当n=k(k∈N)时,42k+1+3k+2能被13整除，当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2=4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-13•3k+2…………()∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。∴42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。……核心步骤多退少补（密诀）(3)整除性问题证明：1）n=1时：42×1+1+31+2练习1：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。证明：1）n=1时：

x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。2）假设当n=k(k∈N)时有x2k-y2k能被x+y整除,当n=k+1时由1）、2）可知，对一切n∈N，x2n-y2n都能被x+y整除。

=(x2k-y2k)•x2+y2k(x2-

y2)………（）∵(x2k-y2k)和(x2-

y2)都能被x+y整除，∴（）式也能被x+y整除。即：n=k+1时命题也成立……核心步骤多退少补（密诀）练习1：用数学归纳法证明：证明：1）n=1时：2）假设当n=练习2求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,当n=k+2时:xk+2+yk+2=xk•x2+yk•y2

=xk•x2+yk•x2-yk•x2+yk•y2=(xk+yk)•x2-yk(x2-y2)=(x