开关理论基础

59/59第三章：开关理论基础内容提要【熟悉】数制的相互转换；【熟悉】逻辑代数的三种差不多运算和五种复合运算；【掌握】逻辑代数的差不多定律和三个差不多规则；【掌握】逻辑函数的两种化简方法。一．网上导学二．典型例题三．本章小结四．习题答案

网上导学：一.数制的相互转换：*进制：若有0－n-1共计n个数字符号,即"基数"为n；逢n进一，即n进制。常见的有十进制(0－9),二进制(0,1)和十六进制(1－9,A－F)等."权"：一个数字符号在不同的位置上所代表的数值不同,即各个位置的"权"不同.例如：(1947.4)10=(1×103＋9×102＋4×101＋7×100＋4×10－1)10(AE3.C)16=(10×162＋14×161＋3×160＋12×16－1)10=(2787.75)10(101011.11)2=(1×25＋1×23＋1×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2)10=(43.75)10BCD码：以四位二进制代码表示一位十进制数，称为"二－十进制"，又称BCD码，常用有8421BCD码,即四位二进制代码每位的权从左向右依次为8,4,2,1.例如(100101010110)8421BCD=(1×8＋1×1,1×4＋1×1,1×4＋1×2)10=(956)10十进制

8.4.2.1BCD码

0000100012001030011401005010160110701118100091001权84211.非十进制→十进制：乘权求和(见上)2.十进制→非十进制：整数除基求余,小数乘基求整(依照误差要求确定乘基次数,仅作了解)p68-693.二进制和十六进制的相互转换：p67-68二进制→十六进制：将二进制的每四位转换成十六进制的一位；十六进制→二进制：将十六进制的每一位转换成二进制的四位。二.逻辑代数的三种差不多运算和五种复合运算：p73-79*逻辑代数：按逻辑规律进行运算的代数,又称布尔代数；逻辑变量：逻辑代数的变量,常用大写字母表示。在二值逻辑中,变量只有两种取值,即逻辑0和逻辑1,它表示事物矛盾双方的一种符号,而不是表示数值大小.1.三种差不多运算：p73-76a.逻辑加（或运算）：电路(图3.2.1.p73)逻辑关系：任意一个或一个以上条件满足（即条件为真）时，事件就会发生（事件为真）。事件为真，记为逻辑1，事件为伪，记为逻辑0.(正逻辑)真值表：(把所有可能出现的输入变量的组合，及其对应的输出变量的值即函数值用表格方式列出来)工作状态表→逻辑抽象,设定逻辑状态→真值表,表3.2.2p74逻辑表达式：(用逻辑代数中的函数表示式描述逻辑函数)F=A＋B逻辑符号：(图3.2.2,记住国标符号p74)运算规则：0＋0=0,0＋1=1,1＋0=1,1＋1=1.b.逻辑乘（与运算）：电路(图3.2.3.p74)逻辑关系：只有当全部条件都满足（为真）时，事件才会发生（为真）,否则事件可不能发生(为假)。真值表：(表3.2.3p75)逻辑表达式：F=A·B逻辑符号：(图3.2.4,记住国标符号p75)运算规则：0·0=0,0·1=0,1·0=0,1·1=1.c.逻辑反（非运算）：电路(图3.2.5.p75)逻辑关系：当条件不满足（为假）时，事件为真；当条件满足（为真值表）时，事件为假,即输入和输出状态始终相反.真值表：(表3.2.3p75)逻辑表达式：F=逻辑符号：(图3.2.6,记住国标符号p76)运算规则：2.常见的五种复合运算：a.与非：(p76)逻辑关系：只有当输入全为1时,输出才为0;否则输出为1.逻辑表达式：符号：(图3.3.1,p76)真值表：(表3.3.1p76)b.或非：(p77)逻辑关系：只有当输入全为0时,输出才为1;否则输出为0.逻辑表达式：符号：(图3.3.3,p77)真值表：(表3.3.2p77)c.与或非：(p77)逻辑表达式：（运算次序：先与后或）符号：(图3.3.5,p77)真值表：(表3.3.3p78)d.异或：(p78)逻辑关系：当两路输入信号不同(相异)时,输出为1;相同时输出为0.逻辑表达式：符号：(图3.3.6,p78)真值表：(表3.3.4p78)e.异或非：又称同或(p79)逻辑关系：当两路输入信号相同时,输出为1;不同时输出为0.与异或相反.逻辑表达式：=A⊙B符号：(图3.3.8,p79)真值表：(表3.3.5p79)三.逻辑代数的差不多定律和三个差不多规则1.差不多定律：(1)交换律：A＋B=B＋A,A·B=B·A(2)结合律：A＋（B＋C）=（A＋B）＋C,A·（BC）=（AB）·C(3)分配律：A·（B＋C）=AB＋AC（乘对加分配）,A＋（BC）=（A＋B）（A＋C）（加对乘分配）(4)汲取律：A＋AB=A,A(A＋B)=A(5)0-1律：A＋1=1,A＋0=A,A·0=0,A·1=A(6)互补律：A＋=1,A·=0(7)重叠律：A＋A=A,A·A=A(8)对合律：(9)反演律：,上述差不多定律证明能够用真值表进行校验。表3.4.1p802.三个差不多规则：(1)代入规则：p81含有变量A的等式，将所有出现的A都代之以一个逻辑函数F，则等式依旧成立。（立即逻辑函数作为一个逻辑变量对待）例3.4.1,例3.4.2p81(2)反演规则：（又名荻·摩根定理）p81对逻辑函数F，在通过与和或、0和1、原变量和反变量三个互换(立即其逻辑表达式中所有的乘（*）换成（+），加（+）换成乘（*）；常量0换成1,1换成0；原变量换成反变量，反变量换成原变量)后，则所得到的逻辑表达式即是（即函数F的反）的表达式。但必须注意两点：a.变换的优先顺序是：先变括号内→然后变与换成或→最后变或换成与(相一似四则运算顺序)；b.不属于单个变量上的反号保留不变。例3.4.3,例3.4.4p81(3)对偶规则：p81-82(4)对逻辑函数F，将其函数表达式中所有的乘（*）换成加（+），加（+）换成乘（*）；0换成1，1换成0(即反演规则中原变量和反变量的互换不进行)就得到逻辑函数F的对偶式F*的表达式。F*和F是互为对偶的。对偶规则：若两个表达式F和L相等，则它们的对偶式F*和L*也相等.对偶规则可通过反演规则和代入规则予以证明。例3.4.5,例3.4.6p82四.逻辑函数的两种化简方法：*逻辑函数的标准形式：p83-87了解与-或(与项之间只进行或运算,称为积之和)表达式和或-与(或项之间只进行与运算,称为和之积)表达式及最简与-或表达式的概念p83a.由真值表写出逻辑表达式p83-84(最小项之和的形式)即真值表中所有输出为1的输入组态(与项)之和,输入变量为1以原变量表示,输入变量为0以反变量表示。例3.6.1,例3.6.2p83-84b.最小项及其性质p85-87在有n个逻辑变量的一个与项中,每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次,则该与项称为最小项.关于n个变量来讲,可有2n个最小项.最小项性质：全体最小项之和为1；任意两个最小项之积为0；两个相邻最小项之和能够合并成一个与项，并消去一个因子。最小项编号：任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，变量的其它取值都使该最小项为0。当最小项为1时，各输入变量的取值视为二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号，并把该最小项记作mi=0~(2n-1)标准与-或表达式：任意一个逻辑函数均可表示成唯一的一组最小项之和形式，称它为标准的与-或表达式（最小项表达式）。最简与-或表达式应是与项个数最少，且每个与项中含的变量个数也最少.1.代数法：常用公式(1)并项法：利用公式将两项并为一项(2)汲取法：利用公式A+AB=A汲取多余的与项；(3)消去法：利用公式消去多余因子；利用公式消去多余的项推论：(4)反演：,同理有：例p88-892.卡诺图法：p89-94卡诺图化简原理(1)卡诺图：*了解逻辑相邻和几何(位置)相邻的概念逻辑相邻：两个最小项中，只有一个变量的形式不同;举例.几何相邻：位置(立体)相邻.即最上边与最下边、最左边与最右边、四个角都相邻；卡诺图的结构(二、三、四变量，图3.8.1p90):符合逻辑相邻的最小项也几何相邻(2)用卡诺图化简（输入变量少于5个）：卡诺图化简步骤a.用卡诺图正确地表示一个逻辑函数：凡该逻辑函数含有的最小项，则在对应变量数的卡诺图中相应小方格位置上填上1，没有的最小项，则在相应小方格位置上填上0或不填.b.化简：即画圈合并相邻最小项注意：画圈的原则是a.相邻，b.矩形，c.最小项个数应2、4、8，即2k个最小项画一个圈，可消去k个变量因子。画圈的要求是a.这些圈应包含函数的所有最小项(能够重复)；b.每个圈即构成一个与项(找出它们的公共因子即为该与项的表达式)，画圈的个数应最少(即与项数目少)；每个圈应可能大(即该与项中变量个数少).c.写出最简与-或表达式：找出每个圈中变量的公共因子即为该与项的表达式，然后再或(＋)即是.例3.8.1，3.8.2，3.8.3，图3.8.2，图3.8.3，图3.8.4，p90-91(下面卡诺图中,ABCD位置颠倒,其顺序位置也将改变,千万注意)(b)图比(a)图少画一个圈,即最简.讲明：最简与-或表达式有可能不是惟一的(图3.8.6)(3)含随意项的逻辑函数的化简：a.随意项：某些输入组合对应的输出值是未指定的（或随意的），称这些输入组合对应的最小项为“随意项”，可用“φ”、“×”、“d”表示，进行逻辑化简时，随意项可视为0,也可视为1。b．约束方程：随意项之和（随意条件∑d）。c．含随意项的化简方法：随意项需要时当作1,不需要时看作0即可.注：如卡诺图中含0的小方格数目专门少,可利用“含0的方格群”求其反函数的最简与-或表达式。例3.8.4图3.8.7

典型例题3．1数制与编码例1．填空：二进制的基数是（），有（）和（）两种数字。分析：本题为差不多概念题，要紧是考查学生对第一节一些差不多概念的掌握和理解，如“位置记数法”、“基数”、“权”等一些差不多知识，因此在学习过程中，概念要清晰。答案：二、0、1

例2．将十进制数（26.75）10转化成二进制数；将二进制数（101001.1101）2转化成十进制数。分析：本题考查二进制数与十进制数之间的相互转化，在掌握差不多概念的基础上要求同学能够熟练地进行十进制和二进制数的转换，目的是加深对二进制数的理解。解：(26.75)10=(24+23+21+0*20+2-1+2-2)10=(11010.11)2(101001.1101)2=(1*25+0*24+1*23+1*20+1*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4)10=(32+8+1+0.5+0.25+0.0625)10=(41.8125)10例3．将二进制数(111101000.011)2转换成十六进制数，将十六进制数（AF.26）转换成二进制数。分析：本题的目的是加深学生对二进制数和十六进制数的认识，并要求学生能熟练掌握用二进制数和十六进制数表示任意整数和带小数的数值。方法：学会运用四位二进制数表示十六进制数解：1)从小数点开始，分不向左或向右将二进制数分为四位一组，则有：000111101000.0110对应十六进制数为：1E8.62)十六进制数：AF.26对应的二进制数为：10101111.001001103．2逻辑变量和逻辑代数的三种差不多运算例4．差不多的逻辑运算有（）、（）和（）三种，逻辑常量有（）和（）。分析：本题考查本节的差不多概念，要求学生概念清晰，要能熟练地掌握与、或、非三种逻辑运算及其逻辑表达式和逻辑符号。解：与、或、非、逻辑0、逻辑13．3常见的逻辑门电路本节内容要求学生掌握几种常见的门电路，并能依照逻辑表达式画出其逻辑符号，写出其真值表。3．4逻辑代数的差不多定律和规则*例5：(3-1)用真值表证明公式成立。分析：本题要紧是加深学生对真值表的理解，要求学生在熟练掌握差不多定律的基础上运用真值表对差不多定律进行校验。解：列真值表：AB0011010010001100由真值表可看出和在同输入情况下，二者的值都相同。例6：若，求和F*分析：本题要紧是考查反演规则的应用；代入、对偶、反演三个规则是逻辑代数的三个重要规则，运用时要注意某些特征。解：,3．5常用公式例7：证明：分析：本题是常用公式的证明，证明也是逻辑代数常见题型，本例目的是关心学生学习使用某些差不多定律和差不多规则去进行证明。证：左式=（反演律）===右式3．6逻辑函数的标准形式例8：一个三变量的函数的真值表如下，写出其表达式。输入输出ABCF00000010010101111001101011001111分析：逻辑函数F也有逻辑0和逻辑1两种取值，可分析F为1(或为0)的情况，列出F为1时的输入组合，这些输入组合之间应为或的关系。解：本题中F为1的输入组合是：A=0，B=1，C=0A=0，B=1，C=1A=1，B=0，C=0A=1，B=1，C=1例9：A，B，C三个变量有23=8个最小项最小项最小项为1时，输入变量的值十进制数ABCi00000011010201131004101511061117分析：本题只是考查最小项的一些差不多知识，逻辑代数中，最小项是一个重要的概念，逻辑运算中，最小项亦是关键，因此有关最小项的知识是必须掌握的，而且要概念清晰。*例10．(3-3b)将逻辑函数表示成最小项之和的形式。分析：本题旨在考察学生对最小项的理解以及运用解：3．7逻辑函数的化简方法例10．用代数法化简下列布尔函数：1．2．分析：本章是数字电路和系统的重要基础知识。逻辑代数是常用的数学工具，逻辑函数的化简最终所实现的是达到用较少的硬件实现所需的功能。因而，化简逻辑函数关于数字电路和系统具有重要的意义。代数法和卡诺图法差不多上实现化简逻辑函数的重要方法，代数法要求能够熟练地运用逻辑代数的各种公式和规则，灵活、交替使用各种方法，将逻辑函数化简成最简的与-或表达式。1.解2.解3．8逻辑函数的卡诺图化简法例11．求逻辑函数的最简与-或表达式。分析：本题要求用卡诺图的方法进行化简，旨在加深对卡诺图的理解和运用，因此学生需要熟练掌握卡诺图的几种画法，各最小项在卡诺图中的位置，以及卡诺图的特点即逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻。同时要学会运用卡诺图与最小项的特点进行化简。（注：要注意输入变量的位置不同，卡诺图中最小项的位置也有所不同）解：函数F的卡诺图如图示：B

01DCA0110001011211211411130相邻的最小项能够合并成一个与项，并可消去一个变量。相邻的两个小方格可合并成一个与项，消去一个因子；相邻的四个小方格能够合并成一个与项，消去两个因子。每一个方格群对应一个与项，方格群内包含的小方格数目应是2的幂，2k个小方格组成一个方格群后可消去k个变量因子。如图示，相邻，亦是逻辑相邻的最小项，相邻，合并后有因此例12．求下图卡诺图的最简与-或表达式。

C

01ABD01100000111111011110000000分析：运用卡诺图进行化简，需注意方格群的选择，同一方格能够参与几个方格群，即方格群能够相互交叠，以得到最简的表达式。最简的与-或表达式应是与项个数少，且每个与项中含的变量个数也最少，这就要求选择尽可能少的方格群，且每个方格群尽可能地大。（注：最简的逻辑表达式可能不是唯一的。）解：选择方格群如图示：有例12．求下表的最简表达式。输入输出00001000100010100111010000101101101011111000110011其它分析：实际应用中，常会出现随意项，随意项之和（随意条件，亦称约束方程），本题确实是在具有约束方程时，在卡诺图中利用随意项进行化简，求得逻辑函数的最简表达式。因而，必须掌握随意项在逻辑化简时的处理方法。解：依照上表可写出的表达式：随意项在本题中，为了构成较大的方格群，可把某些随意项视为1,并把不在诸方格群内的随意项视为0，由下图可得最简与-或表达式：

0101100010111011111011

难点示疑：本章的重难点是逻辑函数的代数法和卡诺图化简方法，以及逻辑函数的三种表示方法，逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图之间的互相转换。1．代数化简法：代数化简法的实质确实是灵活、交替、反复使用逻辑代数的差不多公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简形式。化简时没有固定的步骤可循。2．卡诺图的画法：卡诺图中每个方格对应的最小项可依照方格对应的输入组合来确定，但当卡诺图中输入排列顺序不同时，各方格对应的最小项也不同。3．用卡诺图化简逻辑函数：方格群的选取有一定的原则和技巧，化简方法不是唯一的，因此同一逻辑函数的最简函数式也不是唯一的。4．逻辑函数的三种表示方法的互相转换：（1）已知逻辑函数式，求其对应的真值表。依照逻辑函数式，把输入变量取值的所有组合状态逐一代入式中算出函数值，将输入变量取值与函数值对应列成表，即可得到真值表。（2）由逻辑函数式画逻辑图。将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，即可画出逻辑图。（3）已知真值表，试求逻辑函数式。真值表中每一组使函数值为1的输入变量取值都对应一个与项，与项中对应的变量取值为1，则写成原变量；若对应的变量取值为0则写成反变量。将这些与项相加，即可得到逻辑函数式。由逻辑函数式再画出逻辑图。（4）由逻辑图写出逻辑函数式。依据靠近输入端的远近将门电路分成等级，首先写出第一级门电路的输出，将此作为第二级门的输入，再写出第二级门电路的输出，依次类推，最后可的逻辑函数式。

本章小结1．本章首先介绍了数制与编码，讨论了二进制与十进制数的相互转换，有符号二进制数的表示方法。2．引入逻辑代数的相关概念，逻辑代数的三种差不多运算（与、或、非）以及相应的逻辑电路，介绍了逻辑代数的运算规则和常用公式。3．用代数法和卡诺图法化简逻辑函数，化简的目的是查找用最少的硬件实现同样功能的逻辑表达式。

习题答案

（一）考虑题1．答：这是因为，二进制数的基数为二，只有0和1两种数字，运算规则简单，便于电路实现。2．答：十进制数转换成二进制数，整数部分可采纳“基数除法”，小数部分可采纳“基数乘法”。二进制数转换成十进制数可采纳“位置记数法”直接实现。舍入误差应小于最低位对应的数值。3．答：以四位二进制数表示一位十进制数的数制称“二-十进制”，在这种进制编码中，每位的权从左向右依次是8,4,2和1，故称此种编码为8，4，2，1BCD码，伪码有1010，1011，1100，1101，1110和1111。4．5．答：逻辑代数的差不多运算有与、或、非三种，常用的门电路有与非、或非、与或非、异或和异或非门。6．答：真值表是一种表示逻辑函数的方式，它把所有可能出现的、输入变量的组合，及其对应的输出变量的值（即函数值）用表格方式列了出来。在真值表中，关于输入的任意一种组合，都能使差不多公式的等号两边的值相同。7．答：逻辑代数的差不多规则有代入、反演和对偶规则三个，差不多和常用公式有：（1）对偶式：（2）对偶式：（3）推论：对偶式：（4）（异或的非确实是异或非）同理有：8．答：n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的与项中，每个变量以原变量或者反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称那个与项为最小项。将最小项为1时，各输入变量的取值视为二进制数，其对应的十进制数作为最小项编号。9．答：首先考虑真值表中使输出F为1（或为0）情况，其次列出使输出为1时的输入组合，最后，将这几种输入组合相加，即它们之间应为或的关系，便可得标准与-或式。10．答：用逻辑代数法进行逻辑函数的化简，即是反复、灵活、交替使用逻辑代数的差不多公式和规则，以求得最简与-或表达式。

（二）填空题1．十，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；2．二，0，1；3．原码，反码，补码；4．与、或、非；5．；

（三）练习题*1．(3-1)请用真值表证明公式成立。证明：关于公式列真值表如下：AB0011010010001100由真值表能够看出,在A、B的所有组态下,和都相等,因此等式成立*2．(3-2)求下面函数的反函数，并加以简化。（a）；解：或=)

（b）解：

（c）解：（d）解：*3．(3-3)将下列函数表示成最小项之和的形式：（a）解：（b）解：*4．(3-4)用卡诺图简化如下已知的开关函数，并求最简的与-或表达式。（a）解：卡诺图如下：C

01ABD0110001110选择方格群如图示，则有：

（b）解：卡诺图如下：A

01DCB0110001110选择方格群如图示，则有：

*5．(3-5)用代数法和卡诺图法简化布尔函数：（a）解：1）代数法2）卡诺图法：

Y01X

01由图得：

（b）解：1）代数法：2）卡诺图法：

Y01X

01由图得：F=X（c）解：1）代数法：2）卡诺图法：

Y01XZ011001由图得：F=Y（d）解：1）代数法：2）卡诺图法：

Y01XZ011001311由图得：（e）解：1）代数法：（f）解：1）代数法：2）卡诺图法：

Y01WXZ011000104051716110由图得：*6．(3-6)用卡诺图简化具有随意条件的逻辑函数F。解：,卡诺图如下：C01ADB0110001110由图得：

3-7.完成下列数制的转换(a)(60)10=(111100)2(b)(CE)16=(11001110)2=(206)103-8.输出F和输入A,B关系的真值表如表P3.1所示,写出输出F1∽F6的函数表达式,并画出相应的逻辑符号。表P3.1

ABF1F2F3F4F5F6

00000111010110101001101011101100

表达式F1=ABF2=A⊕BF3=A+BF4=A⊙BF5=F6=

=1=1==≥1≥1&&逻辑A&FAFAFAF符号BBBB

3-9.输出F和输入A、B、C关系的真值表如表P3.2所示,写出输出F1∽F2的函数表达式,并画出相应的逻辑符号。表P3.1 ABCF1F2ABCF1F2 0000010001001111011001001110100111011111 解：F1=,F2=其逻辑图如下：

=1=1=1=1≥1≥1&&AABF1BF2CC3-10.若题9中输入A、B、C的波形如图P5.3所示,试对应画出输出F的波形。ABCF1