2021年省直辖县级行政区划天门市净潭中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021年省直辖县级行政区划天门市净潭中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分有不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，结合题意可得a2=a+2，并且1﹣a＞0，再根据充要条件的定义即可判断．【解答】解：由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，因为此曲线表示圆，所以a2=a+2，并且1﹣a＞0，所以解得：a=﹣1．故“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+ax+a=0表示圆”的充要条件，故选：A．【点评】本题主要考查二元二次方程与圆的对应关系，解决此类问题的关键是熟练掌握圆的方程，以及学生要有较强的运算能力．3.若，其中，是虚数单位，则（

）A．0 B．2 C． D．5参考答案：D略4.已知等边△ABC的两个顶点A（0，0），B（4，0），且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是（）A．y=﹣x B．y=﹣（x﹣4） C．y=（x﹣4） D．y=（x+4）参考答案：C【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程．【分析】先求出点C的坐标，再求出直线BC的斜率，利用点斜式方程即可求出．【解答】解：如图所示：xC=2，=﹣2，∴C（2，﹣2）．∴BC边所在的直线方程是，即y=（x﹣4）．故选C．【点评】熟练掌握直线的斜率计算公式、点斜式方程是解题的关键．5.某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有A.474种

B.77种

C.462种

D.79种参考答案：A略6.设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则的值是A.2

B.3

C.

D.参考答案：D略7.已知集合则实数等于

（A）

（B）或

（C）或

（D）参考答案：D8.与命题“若则”的等价的命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：答案：D9.设复数（其中i是虚数单位），则等于

A.1－2i

B.1+2i

C.

－2i

D.2i参考答案：B10.下列说法正确的是（

）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C．，使成立D．“若，则”是真命题参考答案：D试题分析：对于答案A，“若，则”的否命题是“若，则”；对于答案B，若“”则“”成立；对于答案C，，使不成立；对于答案D，“若，则”是真命题成立,故应选D.考点：命题的真假及充分必要条件的等知识的综合运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为___________参考答案：61略12.（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为

▲

。参考答案：略13.已知函数f（x）=x?ex﹣1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数k的最大值为

．参考答案：1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】运用够造函数的方法求解k≤ex，h（x）=ex，k≤h（x）小即可．运用求解导数得出h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增．估算出，1＜h（x0）＜2，得出k≤1．【解答】解：∵f（x）=x?ex﹣1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x），∴x?ex﹣1≥lnx+kx，k≤ex，h（x）=ex，k≤h（x）小即可．h′（x）=，h′（1）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，令h′（x）=0，x=x0，x02e+lnx0=0，则h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增．h（x）小=e，h（）=﹣ln16＜0，h（）=ln＞0∴，h（）=+2ln2﹣2=1.035，h（）=e（ln+1）=1.1681＜h（x0）＜2，k≤1故答案为：114.已知点F为椭圆的左焦点，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若，，则C的离心率的最大值是____．参考答案：【分析】设右焦点为,连接,由椭圆对称性得四边形为矩形，结合椭圆定义及勾股定理得a,c不等式求解即可【详解】设右焦点为,连接,由椭圆对称性知四边形为平行四边形，又=2c=，故为矩形，=，，即,∴又,故0<e≤故答案为【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆定义的应用，转化化归思想，利用定义转化为矩形是关键，是中档题15.在中，三内角满足，则角的取值范围为___________.参考答案：略16.设是定义在上的函数，给定下列三个条件：（1）是偶函数；（2）的图象关于直线对称；（3）为的一个周期．如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有

个．参考答案：答案：317.已知向量，，若向量与的夹角为，则实数的值为__________．参考答案：,显然,所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)设是函数的一个极值点。

（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围。参考答案：解析：（1）∵

∴

2分

由题意得：，即，

3分

∴且

令得，

∵是函数的一个极值点

∴，即

故与的关系式为

5分（Ⅰ）当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；（Ⅰ）当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；

8分（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，∴在上的值域为

10分易知在上是增函数∴在上的值域为

12分由于，又∵要存在，使得成立，∴必须且只须解得：

所以：的取值范围为

14分19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和数学期望.参考答案：（12分）解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种；

2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，，，，共有4种．

3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为．

4分（说明：若学生先设“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成,,，,,,,，不扣分．）（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为．

5分所以，，，，，，

9分0123456

故的分布列为：

所以．故所求的期望为．

12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为．

1分（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则．

4分（Ⅱ）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以．

5分所以，，，，，，

9分故的分布列为：

10分0123456所以．故所求的期望为．

12分21.（本小题共13分）

已知曲线的方程为：.（Ⅰ）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（Ⅱ）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;(III)若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.参考答案：（1），；（2）见解析；（3）见解析考点：数列综合应用（1）当时，

由图可知，

.

（2）要证是关于递增的，只需证明：．

由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．

现在考虑曲线与，

因为

因为

在(1)和(2)中令，

当，存在使得，成立，

此时必有．

因为当时，

所以．

两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）

这就得到了，

从而是关于递增的．

（3）由于可等价转化为，

反证：若曲线上存在一点对应的坐标，全是有理数，

不妨设，，且互质，互质．

则由可得，

．

即．

这时就是的一组解，

这与方程，，没有正整数解矛盾，

所以