汕尾市重点中学2022年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2022年高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．2．函数的图象可能是（）A． B． C． D．3．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件4．已知，，，则()A． B． C． D．5．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（）A． B． C． D．7．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．300， B．300， C．60， D．60，8．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（）A． B．C． D．以上情况均有可能9．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A． B．C． D．10．已知，复数，，且为实数，则（）A． B． C．3 D．-311．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（）A． B． C．或 D．或12．已知为锐角，且，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的最小值为2，则_________．14．已知集合，，则_____________.15．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．16．已知（为虚数单位），则复数________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的值域.18．（12分）已知关于的不等式解集为（）.（1）求正数的值；（2）设，且，求证：.19．（12分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.20．（12分）已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.21．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，点Q为AE的中点.（1）求证：AC//平面DQF；（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.22．（10分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；【详解】解：设∵，∴，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.2．A【解析】

先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项；当时，，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．D【解析】

结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.4．B【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.【详解】由于，，故.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.5．D【解析】

利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.6．C【解析】

原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.【详解】解：由及正弦定理得.因为，所以代入上式化简得.由于，所以.又，故.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.7．B【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，行驶速度超过的频率为：．故选：B．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．B【解析】

由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．【详解】由可得，即函数的周期，因为在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，因为，是锐角三角形的两个内角，所以且即，所以即，．故选：．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．9．C【解析】

，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，，令，得.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.10．B【解析】

把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值．【详解】因为为实数，所以，解得.【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.11．C【解析】

将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.【详解】已知，，，代入，得，即，解得，当时，由余弦弦定理得：，.当时，由余弦弦定理得：，.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.12．C【解析】

由可得，再利用计算即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.【详解】根据题意可知，可以发现当或时是分界点，结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，故，解得，故答案是.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】

由集合和集合求出交集即可.【详解】解：集合，，.故答案为：.【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.15．【解析】

计算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝t，设R（r，0），则k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS的面积的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【解析】

解：故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意，求得，，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.【详解】（1）因为，，所以，，所以函数的最小正周期为.（2）因为，所以，所以，故函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.18．（1）1；（2）证明见解析.【解析】

（1）将不等式化为，求解得出，根据解集确定正数的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出，，，三式相加，即可得证.【详解】（1）解：不等式，即不等式∴，而，于是依题意得（2）证明：由（1）知，原不等式可化为∵，∴，同理，三式相加得，当且仅当时取等号综上.【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.19．（1）或（2）【解析】

（1）分类讨论去绝对值即可；（2）根据条件分a＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围.【详解】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；当时，原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解；当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1，综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.（2）当a＜﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≤﹣5；当a≥﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≥﹣1，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.20．（1）；（2）见解析.【解析】

（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且满足，，于是得出，由得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调性可得出结论.【详解】（1），，，当时，，，，则函数在上单调递增；当时，，，，则函数在上单调递减；当时，，，，则函数在上单调递增.，，，，.所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点.综上所述，函数在区间上的零点的个数为；（2），.由（1）得，在区间与上存在零点，所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，且满足即，，，又，即，，，，，由在上单调递增，得，再由在上单调递减，得，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.21．（1）见解析（2）【解析】

（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；平面平面，平面.（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，．又，平面．．平面．如图建立的空间直角坐标系．在等腰梯形中，可得．则．那么设平面的法向量为，则有，即，取，得．设与平面所成的角为，则．所以与平面所成角的正弦值为．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22．(1)见证明；(2)【解析】

(1)取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证，即可；(2)以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形，所以，，且因为，所以，所以，