2022年秋高中数学第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布课件新人教A版选择性必修第三册

7.4.2超几何分布第七章课标要求1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点

超几何分布1.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.2.超几何分布的均值:E(X)=

=np(p为次品率).

每抽取一次,产品件数就减少1件

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)超几何分布的总体里只有两类物品.(

)(2)超几何分布的模型是放回抽样.(

)(3)在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”等.(

)2.超几何分布与二项分布的期望值有何规律?√×√提示

超几何分布与二项分布的期望值都为np.(对于超几何分布,p是次品率;对于二项分布,p是在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率)重难探究•能力素养全提升探究点一超几何分布概率公式的应用【例1】

从放有10个红球与15个白球的暗箱中,随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分,一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.

解设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5个球,得7分,仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况,那么规律方法

1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.2.注意公式中M,N,n的含义.变式训练1在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为

.(结果用最简分数表示)

解析

从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A,探究点二超几何分布【例2】

一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.变式探究在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.解由题意可知η=0,1,服从两点分布.规律方法

超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.探究点三二项分布与超几何分布的区别与联系【例3】

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.解

(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.∴X的分布列为

规律方法

不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.变式训练2在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值与方差.解

(1)(方法一)由题意知X的可能取值为0,1,2.∴随机变量X的分布列为

本节要点归纳1.知识清单:(1)超几何分布的概念及特征;(2)超几何分布的概率、分布列、均值;(3)超几何分布与二项分布的区别与联系.2.方法归纳:公式法、类比法.3.常见误区:(1)判断随机变量是不是超几何分布;(2)超几何分布与二项分布混淆,前者是不放回抽样,后者是有放回抽样.学以致用•随堂检测全达标1.(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有(

)A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为XB.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量XD.从10名男生,5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X答案

ABD解析

依据超几何分布模型定义可知,A,B,D项中随机变量X服从超几何分布.而C项显然不能看作一个不放回抽样问题,故不服从超几何分布.2.从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是“3”的概率可表示为(

)答案D

解析

设X为抽出的5张扑克牌中含“3”的张数,则

3.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从班级中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是

.

解析

随机抽取两名学生,X表示选修A课程的学生数,则X服从超几何分布,其中N=50,M=15,n=2.依题意所求概率为4.某导游团有外语导游10人,其中6人会说日语,现要选出4人去完成一项任务,则有2人会说日语的概率为

.

解析

设X表示选出的4人中会说日语的人数,则X服从超几何分布,且N=10,M=6,n=4,则有2人会说日语的概率为5.(2022江苏常州检测)在箱子中有10个小球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求:(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列;(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.解

(1)由题意知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且X服从参数为N=10,M=3,n=3的超几何分布,(2)设