2022年秋高中数学第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.3直线与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册

2.3.3直线与圆的位置关系第二章课标要求1.能用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题;2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系;3.掌握求圆的切线方程的方法,并能求与圆有关的最值问题.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点

直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线的距离是d,d=,则有:位置关系几何特征代数特征(方程联立)

公共点个数相离d>r无实数解(Δ<0)0相切d=r一组实数解(Δ=0)1相交d<r两组实数解(Δ>0)2过关自诊1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(

)A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离答案B

∴直线与圆x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.2.过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线?若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗?3.过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长?何时弦最短?提示过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.提示过圆内一点P(不同于圆心)的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长.当弦与过点P的直径垂直时弦最短.重难探究•能力素养全提升探究点一直线与圆的位置关系的判断【例1】

求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.规律方法

直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.变式训练1已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.解(方法一)代数法

得5x2-50x+61=0.∵Δ=(-50)2-4×5×61=1

280>0,∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.探究点二求切线方程【例2】

过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.解由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.所以切线方程为24x-7y-20=0.又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.规律方法

求圆的切线方程的三种方法(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.变式探究(1)若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程;(2)条件不变,试求切线长.解(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上.又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.变式训练2过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为

.

答案

x=2或y=3

解析

∵P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,当斜率不存在时,切线方程为x=2.探究点三与圆有关的最值问题图①

由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截距,如图②所示.可知直线b=2x+y一定位于两直线l1与l2之间.由直线l2与半圆相切,得图②

规律方法

1.与圆有关的最值问题,可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置,再进行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心,有时注意考虑表达式中字母的几何意义,如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等.2.对于本题而言,解决的关键是理解m和b的几何意义,同时要借助分界线探求参数的取值范围.变式训练3直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为(

)答案C

素养培优思想方法——用代数法和几何法研究弦长问题【典例】

已知点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【规范答题】

∴圆心C的横坐标为1.设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,(3)存在直线l满足题意.理由如下:设M(x1,y1),N(x2,y2).∴直线l:x=-1满足条件;归纳提升

1.求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的(2)弦长公式法:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为

通常采用几何法较为简便.2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.学以致用•随堂检测全达标1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为(

)A.相切 B.相交C.相离 D.相离或相切答案

C2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(

)A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C

解析

直线y=kx+1恒过定点(0,1).由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.3.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(

)A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)答案C

4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,