高中数学必修五一元一次不等式复习完美课件

高中数学必修五一元一次不等式复习完美课件1不等式复习不等式复习2考纲解读1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序。考纲解读1、不等关系33、二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组;（3）会从实际情况中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。4、基本不等式：(a+b)/2≥√ab(a,b≥0)（1）了解基本不等式的证明过程;（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题;3、二元一次不等式组与简单线性规划问题45、含绝对值的不等式（1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式;①|a+b|≤|a|+|b|;②|a－b|≤|a－c|+|c－b|;（2）会利用绝对值的几何意义来解以下类型的不等式;|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x－a|+|x－b|≥c.6、不等式的证明（1）会用不等式①和②证明一些简单问题，能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值。（2）了解证明不等式的基本方法；比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法、数学归纳法。5、含绝对值的不等式5含绝对值的不等式及其解法知识结构不等关系与不等式二元一次不等式(组)与简单线性规划问题基本不等式----最大值最小值不等式的证明不等式一元二次不等式及其解法基本性质简单线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域求范围问题比较大小问题含绝对值的不等式及其解法知识结构不等关系与不等式二元一次不等6

从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点.基本事实作差比较法一、不等式的基本性质从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们7不等式的性质性质1如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b说明：此性质可称为不等式的自反性性质2如果a>b,b>c,那么a>c.说明：此性质可称为不等式的传递性。性质3如果a>b,那么a+c>b+c说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.不等式的性质性质1如果a>b,那么b<a;如果b<a,8性质4如果a>b,c>0,那么ac>bc;说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.如果a>b,c<0,那么ac<bc.性质5如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.性质4如果a>b,c>0,那么ac>bc;说明：此性质可9性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.性质7如果a>b>0,那么an>bn(nN,n2);说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;说明：10性质8如果a>b>0,那么(nN,n2);说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.

性质9如果a>b>0,那么如果b<a<0,那么如果b<0<a,那么返回

性质8如果a>b>0,那么11比较大小问题

比较大小问题12二、一元二次不等式及其解法二、一元二次不等式及其解法13初中知识回顾一元一次不等式的解法ax+b>0当a=0,b>0时，不等式的解集为R当a=0,b<0时，不等式的解集为φ当a>0时，不等式的解集为{x|x>}当a<0时，不等式的解集为{x|x<}(其中a，b为常数，x为未知数）初中知识回顾一元一次不等式的解法ax+b>0当a=0,b>014定义：一元二次不等式的解集如何求呢？

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.如关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0

其中a，b，c是常数.定义：一元二次不等式的解集如何求呢？我们把只含有一个15结论一般地，如果对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0)有两个不等的根x1=

，x2=一元二次不等式的解法其中当△=b2-4ac>0时结论一般地，如果对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>16ax2+bx+c<0(a>0)的解集为ax2+bx+c>0(a>0)的解集为大于符号取两边小于符号取中间x2x1yxOyxOx2x1ax2+bx+c<0(a>0)的解集为ax2+bx+c>017一元二次不等式解法小结φφR一元二次不等式解法小结φφR18例1.解下列一元二次不等式1）x2-3x+2>03）-2x2+3x+202）x2-x+1<0例1.解下列一元二次不等式1）x2-3x+2>03）-2x19

在平面直角坐标系中，x-y=6表示一条直线，平面内的所有的点被直线x-y=6分成三部分：1)在直线x-y=6上的点；2)在直线x-y=6左上方的区域内的点；3)在直线x-y=6右下方的区域内的点.Oxy66x-y=61、二元一次不等式表示的区域在平面直角坐标系中，20

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线l的左上方；反过来，直线l左上方点的坐标都满足不等式x-y<6.

因此在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的平面区域；直线x-y=6叫做这两个区域的边界.66x-y<6Oxyx-y>6x-y=6在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为21

二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域，为表示区域不包括边界，我们把直线画成虚线；平面区域的一般结论：

二元一次不等式ax+by+c≥0在平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.ax+by+c>0Oxyax+by+c≥0二元一次不等式ax+by+c>0平面区域的一般结论22判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法

对于直线ax+by+c=0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax+by+c，所得的符号都相同，故只需在直线ax+by+c=0的某一侧取一特殊点(x0，y0)以ax0+by0+c的正负的情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时常把原点作为此特殊点.方法一、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法对于直线23二元一次不等式表示的平面区域例画出不等式x+4y<4表示的平面区域.Oxy解：先作出边界直线x+4y=4,并画成虚线.

取原点（0，0）代入x+4y-4，因为0+40-4=-4<0

所以原点（0，0）在x+4y-4<0表示的平面区域内，不等式x+4y<4表示的区域如图所示（在直线x+4y=4的左下方）x+4y-4=041x+4y<4二元一次不等式表示的平面区域例画出不等式x+4y<4表示的24判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法

对于直线ax+by+c=0，当a>0时，ax+by+c>0表示这一直线右侧的平面区域，ax+by+c<0表示这一直线左侧的平面区域，当b>0时，ax+by+c>0表示这一直线上方的平面区域，ax+by+c<0表示这一直线下方的平面区域，当a>0时，(当b>0时)结果反之.方法二、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法对于直线25二元一次不等式组表示的平面区域例画出不等式组

表示的平面区域.Oxy35x-y+5=0x+y=0x=3

二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.二元一次不等式组表示的平面区域例画出不等式组Oxy35x-262、线性规划问题

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？分析:设甲乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：2、线性规划问题某工厂用A、B两种配件生产甲27

将上述不等式组表示成平面上的区域，图中阴影部分的坐标为整数的点的集合就代表所有可能的日生产安排，即当点P(x,y)在上述平面区域中时，所有安排的生产任务x、y才有意义.48403yx=4x+2y=8y=3如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）

（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）

（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）

（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）

x将上述不等式组表示成平面上的区域，图中阴影部28

若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？分析：设工厂获得的利润为z，则z=2x+3y上述问题转化为当x,y满足条件并且为非负整数时，z的最大值是多少？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获29如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）

（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）

（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）

（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）把约束条件的整数点坐标全部列举出来代入z=2x+3y可比较算得当x=4,y=2时利润z最大，最大值为z=24+32=14（万元）如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（304840x=4x+2y=8y=3x

当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.考虑z=2x+3y可变形为可以看成x、y的直线方程，斜率为，在y轴上的截距为3y截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.同时坐标x，y应在约束条件所表示的平面区域内.向上平移直线可以容易得到最大截距及相应的x，y值.当x=4，y=2时，得到最大值，z也达到最大值为14万元.4840x=4x+2y=8y=3x当z变化时，31

例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函数，其中x，y满足的平面区域的条件常称为约束条件，由于都是由二元一次不等式组构成的,所以又称为线性约束条件；如：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．线性规划的相关概念例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函数32可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；如（1，2）、（4，2）等.可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；如图中阴影部分中的整数点坐标的集合最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.如点（4，2）或x=4,y=2使得z=2x+3y取得最大值，（4，2）是最优解.线性规划48403yx=4x+2y=8y=3x可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；如（1，33说明：1）约束条件的平面区域就是可行域，可以是封闭多边形，也可以是不封闭的.2）最优解可以只有一个，也可以多个，是有限多的，也可以无限多的.即最优解可以是不唯一.但最大值或最小值只有一个.3）在平移目标函数变形得到直线时，最优解往往在区域的边界（或附近）说明：1）约束条件的平面区域就是可行域，可以是封闭多边形，也34四、基本不等式基本不等式1基本不等式2四、基本不等式基本不等式1基本不等式235

如果把看作是正数a、b的等差中项，把看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

基本不等式

为a、b的算术平均数，为几何平均数，那么两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.如果把看作是正数a、b的等差中项36基本不等式的推广：

若则叫做n个正数的算术平均数，叫做n个正数的几何平均数.n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的推广：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数37利用基本不等式求函数的最值例1、解：∵x>1，∴x-1>0当且仅当，即时的最小值是8。利用基本不等式求函数的最值例1、解：∵x>1，∴x-1>0当38利用基本不等式求函数的最值例2、解：∵0<x<，∴x>0，2-3x>0当且仅当，即时利用基本不等式求函数的最值例2、解：∵0<x<，∴39

利用基本不等式求函数的最值之要领注：积定和最小，和定积最大四种均值关系：

两个正数a,b的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根之间的关系是：求最值的三个条件：（1）正；（2）定；（3）相等利用基本不等式求函数的最值之要领注：积定和最小，和定40

在有些问题中,有时也会遇到相等不成立的情况例如：已知0<x<，求函数

对此,我们可利用函数的性质解决在有些问题中,有时也会遇到相等不成立的情况例如41函数的性质1、函数是奇函数；2、当a>0，b<0时函数在(0，+∞)上是增函数；3、当a<0，b>0时函数在(0，+∞)上是减函数；4、当a>0，b>0时函数在(0，上是减函数；在，+∞)上是增函数；函数的性质1、函数423．绝对值三角不等式

性质1：|a＋b|

___|a|＋|b|. 性质2：|a|－|b|___|a＋b|. 性质3：|a|－|b|___|a－b|___|a|＋|b|.

利用以上性质可证明不等式或求不等式的最值．3．绝对值三角不等式

性质1：|a＋b|__43

4．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

不等式a>0a＝0a<0|x|<a|x|>a

4．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<44绝对值不等式的题型梳理题型一解含绝对值的不等式例1解不等式:（1）|2x+1|>4;(2)|2x+1|+|x-2|>4题型二求含绝对值的函数最值例2函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为___.题型三含绝对值不等式的证明例3已知|A-a|<m/2,|B-b|<m/2,证明不等式|（A+B)-(a+b)|<m绝对值不等式的题型梳理题型一解含绝对值的不等式45不等式的证明证明不等式是数学基本知识的一部分，它的题型丰富多彩。今天我们将通过例题介绍以下多种证明不等式的方法。一、常识性理解的论证

借助生活经验或已知的观点推得一系列的不等式。优点：帮助学生理解不等式的意义，使学生对不等式更直观更深刻理解；缺点：不能代替数学证明。不等式的证明证明不等式是数学基本知识的一部分，它的题型丰富多46二、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。两种形式①作差法：②作商法：几点说明①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；②作差法证题时,通常是进行因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断；③作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等式时常用比商法。二、比较法①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；471、定义利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这种证明方法称为综合法。2、证明思路综合法的证题思路是由因导果，也就是从已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直接推导出所要证的不等式。三、综合法1、定义利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础，再运用不481、定义四、分析法从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方法叫做分析法。2、证明思路分析法的证题思路是执果索因，也就是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种方法在探求不等式的证明思路时是最有效的方法之一。1、定义四、分析法从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成49五、换元法1、定义换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明显的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的取值范围。2、两种形式（1）三角换元对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．（2）增量代换在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简。五、换元法1、定义换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很50六、判别式法1、定义是根据已知或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出判别式所应满足的不等式，从而推出要证的不等式的方法.2、注意考虑二次项系数是否可以为零六、判别式法1、定义是根据已知或构造出来的一元二次方程，2、51七、反证法1、定义从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。2、证明思路反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．原结论词大于（>）小于（<）都是都不是至少n个至多n个反设词不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一个是至多n-1个至少n+1个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意p，使…恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个p，使…不成立七、反证法1、定义从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证521、定义八、放缩法欲证不等式A≤B，可通过适当放大或缩小，借助一个(或多个)中间量C作比较，使得A≤C与C≤B同时成立，由不等式的传递性知A≤B显然成立，这种方法叫做放缩法。2、证明思路利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败。1、定义八、放缩法欲证不等式A≤B，可通过适当放大或缩小，借532、证明思路九、构造函数法1、定义根据函数的单调性证明不等式的方法.（1）构造函数（2）探讨函数的单调性（3）利用单调性证明不等式2、证明思路九、构造函数法1、定义根据函数的单调性证明不等式54谢谢观赏！！！谢谢观赏！！！55习题讲解绝对值不等式的解法1、已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．习题讲解绝对值不等式的解法1、已知函数f(x)＝|x＋a|＋56

57高中数学必修五一元一次不等式复习完美课件58高中数学必修五一元一次不等式复习完美课件59高中数学必修五一元一次不等式复习完美课件60高中数学必修五一元一次不等式复习完美课件61高中数学必修五一元一次不等式复习完美课件62不等式复习不等式复习63考纲解读1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序。考纲解读1、不等关系643、二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组;（3）会从实际情况中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。4、基本不等式：(a+b)/2≥√ab(a,b≥0)（1）了解基本不等式的证明过程;（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题;3、二元一次不等式组与简单线性规划问题655、含绝对值的不等式（1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式;①|a+b|≤|a|+|b|;②|a－b|≤|a－c|+|c－b|;（2）会利用绝对值的几何意义来解以下类型的不等式;|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x－a|+|x－b|≥c.6、不等式的证明（1）会用不等式①和②证明一些简单问题，能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值。（2）了解证明不等式的基本方法；比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法、数学归纳法。5、含绝对值的不等式66含绝对值的不等式及其解法知识结构不等关系与不等式二元一次不等式(组)与简单线性规划问题基本不等式----最大值最小值不等式的证明不等式一元二次不等式及其解法基本性质简单线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域求范围问题比较大小问题含绝对值的不等式及其解法知识结构不等关系与不等式二元一次不等67

从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点.基本事实作差比较法一、不等式的基本性质从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们68不等式的性质性质1如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b说明：此性质可称为不等式的自反性性质2如果a>b,b>c,那么a>c.说明：此性质可称为不等式的传递性。性质3如果a>b,那么a+c>b+c说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.不等式的性质性质1如果a>b,那么b<a;如果b<a,69性质4如果a>b,c>0,那么ac>bc;说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.如果a>b,c<0,那么ac<bc.性质5如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.性质4如果a>b,c>0,那么ac>bc;说明：此性质可70性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.性质7如果a>b>0,那么an>bn(nN,n2);说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;说明：71性质8如果a>b>0,那么(nN,n2);说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.

性质9如果a>b>0,那么如果b<a<0,那么如果b<0<a,那么返回

性质8如果a>b>0,那么72比较大小问题

比较大小问题73二、一元二次不等式及其解法二、一元二次不等式及其解法74初中知识回顾一元一次不等式的解法ax+b>0当a=0,b>0时，不等式的解集为R当a=0,b<0时，不等式的解集为φ当a>0时，不等式的解集为{x|x>}当a<0时，不等式的解集为{x|x<}(其中a，b为常数，x为未知数）初中知识回顾一元一次不等式的解法ax+b>0当a=0,b>075定义：一元二次不等式的解集如何求呢？

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.如关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0

其中a，b，c是常数.定义：一元二次不等式的解集如何求呢？我们把只含有一个76结论一般地，如果对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0)有两个不等的根x1=

，x2=一元二次不等式的解法其中当△=b2-4ac>0时结论一般地，如果对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>77ax2+bx+c<0(a>0)的解集为ax2+bx+c>0(a>0)的解集为大于符号取两边小于符号取中间x2x1yxOyxOx2x1ax2+bx+c<0(a>0)的解集为ax2+bx+c>078一元二次不等式解法小结φφR一元二次不等式解法小结φφR79例1.解下列一元二次不等式1）x2-3x+2>03）-2x2+3x+202）x2-x+1<0例1.解下列一元二次不等式1）x2-3x+2>03）-2x80

在平面直角坐标系中，x-y=6表示一条直线，平面内的所有的点被直线x-y=6分成三部分：1)在直线x-y=6上的点；2)在直线x-y=6左上方的区域内的点；3)在直线x-y=6右下方的区域内的点.Oxy66x-y=61、二元一次不等式表示的区域在平面直角坐标系中，81

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线l的左上方；反过来，直线l左上方点的坐标都满足不等式x-y<6.

因此在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的平面区域；直线x-y=6叫做这两个区域的边界.66x-y<6Oxyx-y>6x-y=6在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为82

二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域，为表示区域不包括边界，我们把直线画成虚线；平面区域的一般结论：

二元一次不等式ax+by+c≥0在平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.ax+by+c>0Oxyax+by+c≥0二元一次不等式ax+by+c>0平面区域的一般结论83判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法

对于直线ax+by+c=0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax+by+c，所得的符号都相同，故只需在直线ax+by+c=0的某一侧取一特殊点(x0，y0)以ax0+by0+c的正负的情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时常把原点作为此特殊点.方法一、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法对于直线84二元一次不等式表示的平面区域例画出不等式x+4y<4表示的平面区域.Oxy解：先作出边界直线x+4y=4,并画成虚线.

取原点（0，0）代入x+4y-4，因为0+40-4=-4<0

所以原点（0，0）在x+4y-4<0表示的平面区域内，不等式x+4y<4表示的区域如图所示（在直线x+4y=4的左下方）x+4y-4=041x+4y<4二元一次不等式表示的平面区域例画出不等式x+4y<4表示的85判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法

对于直线ax+by+c=0，当a>0时，ax+by+c>0表示这一直线右侧的平面区域，ax+by+c<0表示这一直线左侧的平面区域，当b>0时，ax+by+c>0表示这一直线上方的平面区域，ax+by+c<0表示这一直线下方的平面区域，当a>0时，(当b>0时)结果反之.方法二、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法对于直线86二元一次不等式组表示的平面区域例画出不等式组

表示的平面区域.Oxy35x-y+5=0x+y=0x=3

二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.二元一次不等式组表示的平面区域例画出不等式组Oxy35x-872、线性规划问题

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？分析:设甲乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：2、线性规划问题某工厂用A、B两种配件生产甲88

将上述不等式组表示成平面上的区域，图中阴影部分的坐标为整数的点的集合就代表所有可能的日生产安排，即当点P(x,y)在上述平面区域中时，所有安排的生产任务x、y才有意义.48403yx=4x+2y=8y=3如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）

（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）

（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）

（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）

x将上述不等式组表示成平面上的区域，图中阴影部89

若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？分析：设工厂获得的利润为z，则z=2x+3y上述问题转化为当x,y满足条件并且为非负整数时，z的最大值是多少？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获90如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）

（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）

（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）

（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）把约束条件的整数点坐标全部列举出来代入z=2x+3y可比较算得当x=4,y=2时利润z最大，最大值为z=24+32=14（万元）如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（914840x=4x+2y=8y=3x

当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.考虑z=2x+3y可变形为可以看成x、y的直线方程，斜率为，在y轴上的截距为3y截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.同时坐标x，y应在约束条件所表示的平面区域内.向上平移直线可以容易得到最大截距及相应的x，y值.当x=4，y=2时，得到最大值，z也达到最大值为14万元.4840x=4x+2y=8y=3x当z变化时，92

例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函数，其中x，y满足的平面区域的条件常称为约束条件，由于都是由二元一次不等式组构成的,所以又称为线性约束条件；如：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．线性规划的相关概念例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函数93可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；如（1，2）、（4，2）等.可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；如图中阴影部分中的整数点坐标的集合最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.如点（4，2）或x=4,y=2使得z=2x+3y取得最大值，（4，2）是最优解.线性规划48403yx=4x+2y=8y=3x可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；如（1，94说明：1）约束条件的平面区域就是可行域，可以是封闭多边形，也可以是不封闭的.2）最优解可以只有一个，也可以多个，是有限多的，也可以无限多的.即最优解可以是不唯一.但最大值或最小值只有一个.3）在平移目标函数变形得到直线时，最优解往往在区域的边界（或附近）说明：1）约束条件的平面区域就是可行域，可以是封闭多边形，也95四、基本不等式基本不等式1基本不等式2四、基本不等式基本不等式1基本不等式296

如果把看作是正数a、b的等差中项，把看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

基本不等式

为a、b的算术平均数，为几何平均数，那么两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.如果把看作是正数a、b的等差中项97基本不等式的推广：

若则叫做n个正数的算术平均数，叫做n个正数的几何平均数.n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的推广：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数98利用基本不等式求函数的最值例1、解：∵x>1，∴x-1>0当且仅当，即时的最小值是8。利用基本不等式求函数的最值例1、解：∵x>1，∴x-1>0当99利用基本不等式求函数的最值例2、解：∵0<x<，∴x>0，2-3x>0当且仅当，即时利用基本不等式求函数的最值例2、解：∵0<x<，∴100

利用基本不等式求函数的最值之要领注：积定和最小，和定积最大四种均值关系：

两个正数a,b的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根之间的关系是：求最值的三个条件：（1）正；（2）定；（3）相等利用基本不等式求函数的最值之要领注：积定和最小，和定101

在有些问题中,有时也会遇到相等不成立的情况例如：已知0<x<，求函数

对此,我们可利用函数的性质解决在有些问题中,有时也会遇到相等不成立的情况例如102函数的性质1、函数是奇函数；2、当a>0，b<0时函数在(0，+∞)上是增函数；3、当a<0，b>0时函数在(0，+∞)上是减函数；4、当a>0，b>0时函数在(0，上是减函数；在，+∞)上是增函数；函数的性质1、函数1033．绝对值三角不等式

性质1：|a＋b|

___|a|＋|b|. 性质2：|a|－|b|___|a＋b|. 性质3：|a|－|b|___|a－b|___|a|＋|b|.

利用以上性质可证明不等式或求不等式的最值．3．绝对值三角不等式

性质1：|a＋b|__104

4．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

不等式a>0a＝0a<0|x|<a|x|>a

4．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<105绝对值不等式的题型梳理题型一解含绝对值的不等式例1解不等式:（1）|2x+1|>4;(2)|2x+1|+|x-2|>4题型二求含绝对值的函数最值例2函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为___.题型三含绝对值不等式的证明例3已知|A-a|<m/2,|B-b|<m/2,证明不等式|（A+B)-(a+b)|<m绝对值不等式的题型梳理题型一解含绝对值的不等式106不等式的证明证明不等式是数学基本知识的一部分，它的题型丰富多彩。今天我们将通过例题介绍以下多种证明不等式的方法。一、常识性理解的论证

借助生活经验或已知的观点推得一系列的不等式。优点：帮助学生理解不等式的意义，使学生对不等式更直观更深刻理解；缺点：不能代替数学证明。不等式的证明证明不等式是数学基本知识的一部分，它的题型丰富多107二、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。两种形式①作差法：②作商法：几点说明①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；②作差法证题时,通常是进行因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数