线性代数第三章

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法

§3.2

§3.3公元前1世纪,《九章算术》:

初等行变换,相当于高斯消元法

《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。它在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题。该书经多次增补,成书时间已不可考,但据估算最迟在公元一世纪已有了现传本。许多人曾为它作过注释，其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽(公元263年)、李淳风(公元656年)等人。共九章:方田,粟米,衰分,少广,商功,均输,盈不足,方程,勾股

§3.2

§3.317世纪后期,德国数学家莱布尼茨:

含两个未知量三个方程的线性组

18世纪上半叶,英国数学家麦克劳林:

具有二、三、四个未知量的线性方程组得到了现在称为克拉默法则的结果瑞士数学家克拉默不久也发表了这个法则第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法一.线性方程组的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)设A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,x=x1x2…xn,则（3。1）式可记为：Ax=b.§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn为(3.1)的系数矩阵

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21对换变换倍乘变换倍加变换阶梯形方程组第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0阶梯形

(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最简形

或写成向量形式由此可得原方程组的通解：

x=5c+12c2c

,其中c为任意数.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0无解有唯一解有无数解2

3

41

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法例1.设有线性方程组问为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解:对其增广矩阵[A,b]作初等行变换,化为阶梯形.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)当0且3时,方程组有唯一解;(2)当=0时,方程组无解;(3)当=3时,方程组有无穷多解.此时111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法101

101120000令x3=c,则x1x2x3(c为任意实数).1

11=c120+由此可得原方程组的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程组化为x1

x3=1x2

x3

=

2第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(3.2)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1

+x2

+…+xn

=0定理3.1.Amnx=0有非零解r(A)<n.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组二.齐次线性方程组的解的性质

A

=0A(k)=k(A)=0.性质1.若,都是Ax=0的解向量,则+也是Ax=0的解向量.A

=0,A

=0A(+)=A+A=0.性质2.若是Ax=0的解向量,kR,则k也是Ax=0的解向量.综上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,则k1

+k2也是Ax=0的解向量.三.基础解系

齐次线性方程组Ax=0的解空间的极大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.若1,2,…,s是Ax=0的一个基础解系,则Ax=0的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks为常数.结构式通解§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组例3.求的基础解系与通解.解:初等行变换该方程组的基础解系可取为通解为§3.3非齐次线性方程组第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组一.非齐次线性方程组的相容性

定理3.4.设ARmn,bRm,则(3)当秩([A,b])=秩(A)<n时,Ax=b有无穷多解,且通解中含有n秩(A)

个自由未知量.(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);(2)当秩([A,b])=秩(A)=n时,Ax=b有唯一解;