椭圆知识点总结及经典习题

椭圆知识点总结及经典习题椭圆知识点总结及经典习题椭圆知识点总结及经典习题资料仅供参考文件编号：2022年4月椭圆知识点总结及经典习题版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：圆锥曲线与方程--椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。2．标准方程：①焦点在x轴上：（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：或者mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，

记作e（），是圆；e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5．椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质（1）点P在椭圆上，最大角（2）最大距离，最小距离直线与椭圆的位置关系位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；弦长公式：中点弦问题：韦达定理法、点差法例题讲解：一.椭圆定义：１．方程化简的结果是2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一为二．利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.2.椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3．椭圆的焦距为，则=。4．椭圆的一个焦点是，那么。三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为。2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为 4.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。四．焦点三角形1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少的面积的最大值是多少3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．若，求的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆的离心率为，则2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．六、最值问题：1、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。2.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，七、弦长、中点弦问题1、已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．2已知椭圆，(1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程（2）求过点且被平分的弦所在直线的方程；同步测试1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是()A-1<k<1Bk>0Ck≥0Dk>1或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)5.椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________6已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且,求的面积7.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为8.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是9．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长10、椭圆＋=1与椭圆＋=(0)有(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对11、椭圆与（0<k<9）的关系为(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴12.点为椭圆上的动点,为椭圆的左、右焦点,则的最小值为__________,此时点的坐标为________________.感受高考1．分别过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A．(0,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))2．椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是()\f(64\r(3),3) \f(91\r(3),3)\f(16\r(3),3) \f(64,3)3．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()4已知点F，A分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率等于()\f(\r(3)＋1,2) \f(\r(5)－1,2)\f(\r(3)－1,2) \f(\r(5)＋1,2)5．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝eq\f(8,3)；正确结论的个数为()A．3 B．2C．1 D．06．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线7．过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．8若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．9．已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0