土木建筑工程学院-大一线性代数教案

3.1空间直角坐标系与向量轴，当右手的四个手指从正向

x轴转向正向y

轴时，大拇指的指向就是

z

轴的正向.一、空间直角坐标系z三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住

zyxox轴:横轴；y轴：纵轴；z轴：竖轴oxyz符合右手系.oxyzoxyz不符合右手系.Ⅶxyoz空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧyoz面zox面xoy面卦限坐标IⅡ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷx＋

－

－

＋

＋

－

－＋y＋

＋

－

－

＋

＋

－—z＋

＋

＋

＋

－

－

－—点的坐标的符号规定空间的点M

11

有序数组(x,

y,

z)xoP(

x,0,0)yQ(0,

y,0)R(0,0,

z)A(

x,

y,0)B(0,

y,

z)C(

x,o,

z)特殊点的表示:

坐标轴上的点P,

Q

,

R,坐标面上的点A,

B,

C,

原点O(0,0,0)z.M

(

x,

y,

z)x

,y

,z称为点M

的坐标.例在O—xyz坐标系中表示以下三个点：xyM1(1,

2,

3),M2(-1,

2,

3),

M3(1,

2,-3).zO123.M1xyO2-12xyzO12-33z3.M.M二、向量的概念向量：既有大小又有方向的量.向量的表示：a

或ABABa以A为起点，B为终点的有向线段.向量的模：向量的大小.

||

a

||

或

||AB||（模又称为长度或范数）.单位向量：模为1的向量.零向量：模为0的向量.0相等向量：大小相等且方向相同的向量.b负向量：大小相等但方向相反的向量.

a

aa向量：不考虑起点位置的向量.aaxyo向径：空间直角坐标系中任一点

P与原点构成的向量.OPzP三、向量的线性运算1.向量的分量：把向量a作平行移动，使其起点与原点重合。设其终点A的坐标为(a1,a2,a3),则称a1,a2,a3为向量aOA

的分量或坐标，记为

a

=(a1,

a2,

a3).axyzoAa1a2a32.

向量的线性运算定义设

=(a1,a2,a3),

=(b1,b2,b3),

+

=

(a1

+b1,

a2

+b2,

a3+

b3),k

•

=(ka1,

ka2,

ka3

).

+

称为加法，k

•

称为数乘.加法与数乘统称为线性运算.

-

=

+（-

）=

(a1-b1,

a2-b2,

a3-

b3).

=

a1

=b1,

a2=b2,a3=b3.3.线性运算满足的运算规律(1)

+

=

+

;(2)

(

+)

+

=

+(

+);

+

0

=

;

+(-

)

=

0

;1

=

;k(l

)

=

(kl)

;k(

+)

=

k

+k

;(k+l)

=

k

+l

.例

已知两点A(a1

,a2

,a3

),B(b1

,b2

,b3

)，求AB的坐标.

AB

OB

OA

(b1

a1

,b2

a2

,b3

a3

)4.基向量与线性表出i

(1,0,0),

j

(0,1,0),

k

(0,0,1)单位向量

i

,

j

,

k

称为基向量.a

=(a1,

a2,

a3)=(a1,

0,0)+(0,

a2,

0)+(0,

0,

a3)

a1i

a2

j

a3k称

a

可由i

,

j

,

k

线性表出。a1i

称为向量a在x轴上的分向量。xyzjkOi

向量

a

与b

可平行移动到同一条直线上时,称向量

a与b

平行,又称向量a

与b

共线,记作

a

//b当b

//a

且a

0时,

存在

R

,

使b

a

.

则称向量b

可由向量

线性表出.a四、向量在轴上的投影1.

空间两向量的夹角的概念：a

0,b

0,向量

a

与向量

b

的夹角

b,a

ba,

(0

)类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与

之间任意取值.ba2.

空间一点在轴上的投影uAA过点A作轴u

的垂直平面，交点A

即为点

A在轴u

上的投影.uoAA'BB'3.

向量在轴上的投影过空间点A,B作平面与轴u垂直，与轴u相交于A’,B’,向量AB

在轴u上的投影定义为uPrj

AB

||A’B’||,

A’B’与u同向

-||A’B’||,

A’B’与u反向向量在轴上的投影有以下两个性质：(1)向量

AB

在轴u

上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Pr

ju

AB

||

AB

||

cosuBBu证Pr

ju

ABPr

ju

AB||

AB

||

cosBAA由性质1容易看出：投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；2(1) 0

,(2)

,

投影为负；2(3)

,2投影为正；uabc（2）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.Pr

ju

(a1

a2

)

Pr

jua1

Pr

jua2.AABBCC（可推广到有限多个）ua1a2利用勾股定理从图中可得oxyza12aa3A向量OA的坐标a1,

a2,

a3分别是

OA

在三个坐标轴上的投影.1

2

31

2

3(ka

)2

(ka

)2

(ka

)2||OA||

a2

a2

a2||kOA|||

k

|

a

2

a

2

a

21

2

3|

k

|

||OA||设M1

(x1

,y1

,z1

)、M2

(x2

,y2

,z2

)为空间两点x中，使用勾股定y

理知zoM1PNQRM2d

M1

M2

?1

2在直角M

NM及直角M1

PNd

22

2

2

M1

P

PN

NM2

,空间上两点间距离公式12

x1

,

M

P

x12PN

y

y

,2NM

z2

z1

,d

M

P

2

PN

2

NM

21

222

22

1

2

1

2

1x

x

y

y

z

z

.M1

M2

空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为M(

x,

y,

z)

,

O(0,0,0)d

OM

x2

y2

z2

.xyzoM1PNQRM21.平行四边形法则PAOA'AOOA

OB

OP,OP

是以OA,OB为边的平行四边形的对角线.平行四边形法则也可表示为三角形法则:OB

AP

,

OA

AP

OP

.

BABBB'OA

OB

OA

OB

OA例.非零向量单位化.设向量a

0,a,1||

a

||令

ea则1||

a

|||

||

a

||||

ea

|||||

a

||

11||

a

||ea

是与a同方向的单位向量.例解

b

b

3a

化简a

b

5

521

3a

2

5a

b

5

b

b

1

2

5

1

(1

3)a

1

5

5

b22a b

.

5

例

证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.证

设DE是中位线，DE

=

DA

+

AE=

1

BA

+

1

AC2

21=

2

(BA

+

AC)1=

2

BC.ABCED例

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证AMMCBM

MDAD

AM

MDMC

BMBCAD

与BC

平行且相等,结论得证.ABCDMab例

求证以M1

(4,3,1)、M2

(7,1,2)、M3

(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：M

2

(7

4)2

(1

3)2

(2

1)2

14,1

M22M2

M3

(5

7)2

(2

1)2

(3

2)2

6,(4

5)2

(3

2)2

(1

3)2

6,2M3

M1

M2

M3

M3

M1

,原结论成立.例

设P

在x轴上，它到P1

(0,

2,3)的距离为到点P2

(0,1,1)的距离的两倍，求点P

的坐标.解因为P

在x

轴上，设P点坐标为(x,0,0),1PP

x2

22

322PP

x2

12

12

x2

11,x2

2,

PP1

2

PP2

,

x2

11

2

x2

2

x

1,所求点为

(1,0,0),

(1,0,0).例

设Pi

(

xi,

yi

,

zi（)

i=1，2），则分有向线段P1

P2

成比例

（即P1

P

PP2

）的点的坐标为

z},

x,

y2

y,

z22

,{

x

x1

,

y

y1

,

z

z1

}

{

x2x

x1

(

x2

x)

y)

y

y1

y2

,2y

y1

(

y2z

z1

(z

z)1

z

z1

z2

,1

2

0,P1P与PP2反向，P位于P1P2外部.注

11

1P与P

PP2同向，

位于

P

；1

1

0,

zz21.

yy21,

z

,

y

P

为有向线段P1

P2

的定比分点.P

为中点时，2

,y

y1

y2

,2z

z1

z2

.20

,0

,0

.xyoM1M2六、向量的模与方向余弦非零向量a

与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.a,

k

,a,

j

,

,

i

,

aza

2

a

2

a

21

2

3a1cos

a

2

a

2

a

21

2

3a2cos

a

2

a

2

a

21

2

3a3cos

cos

cos

cos

称为向量a

的方向余弦.由图示可知xyzoM2M1a1方向余弦的特征cos2

cos2

cos2

1特殊地：单位向量的方向余弦为aea

a

{cos

,

cos

,

cos

}.1a

2

a

2

a

22

3a3a1cos

a

2

a

2

a

21

2

3a2cos

a

2

a

2

a

21

2

3cos

例

已知两点A(3,0,4),B(4,方向角.2,3)，求AB的方向余弦和解3

,4

,2cos

1

,2cos

1

,2

,2cos

3

2

.例

求平行于向量

6i

7

j

6k

的单位向a量的分解式.解所求向量有两个，一个与a

同向，一个反向|

|

62

72

(6)2

11,aa0a|

a

|

11

11

11i

j

k

,

6

7

6

或0aa

|

a

|

11

11

117

6

6

j

k

.i设有向量P1

P2，已知||

P1P2

||

2，它与

x轴和

y轴的夹角分别为

和3

41

，如果

P

的坐标为

(1,0,3)，求P2

的坐标.解设向量P1

P2

的方向角为

、

、2cos2

cos2