【知识点解析】一元二次方程知识卡片大全

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2(二次）的方程，叫做一元二次方程(quadraticequationinoneunknown).一元二次方程的一般形式是一元二次方程定义一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整式方程；（2）只有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2，且系数不为0.注意：对于二次项的系数含有字母的方程，需要对方程进行分类讨论，辨明方程类型。直接开方法一般地，对于方程直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求—元二次方程解的方

法叫做直接开平方法.（1）当

时，根据平方根的意义，方程

有两个不相等的实数根（2）当

时，方程

有两个相等的实数根（3）当

时，因为对任意实数x，，所以方程无实数根.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：其中是二次项，a为二次项系数；是一次项，b为一次项系数；

c

是常数项注意（1）确定一元二次方程的项和系数时，必须先将方程化为一般形式；（2）指出一元二次方程的项和系数时，要带上系数前面的符号。配方法—般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成

的形式，那么就有：配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.

（1）当

时，方程

有两个不相等的实数根

；（2）当

时，方程

有两个不相等的实数根

；（3）当

时，因为对任意实数x，都有,所以方程

无实

数根.配方法的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步聚（1）移项：将方程中含有未知数的项移到方程的左边，将常数项移到方程的

右边.（2）二次项系数化为1：若二次项的系数不为1，则在方程两边同时除以二次

项的系数，将二次项的系数化为1.（3）配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，将方程的左边配成一

个完全平方式.（4）开平方：如果方程右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的解；

如果方程右边是一个负数，那么原方程无实数根.配方法的一般步骤公式法解一元二次方程步骤一元二次方程化成的形式a=？，b=？，c=？求套公式求解无实数根是否一元二次方程求根公式一元二次方程的求根公式：（1）当时，（2）当时，方程无实数根适合因式分解法求解方程的形式（1）形如的一元二次方程，可将方程的左边因式分解，得

，解得：.（2）形如的一元二次方程，可将方程的左边因式分解，得

，解得：.

（3）形如的一元二次方程，可将方程的左边因式分解，

得

，解得：.谈谈因式分解法解方程的依据

用因式分解法解一元二次方程时，我们先将左边化为两个一次因式的乘积，右边是0的形式.如（x+1）（x-1）=0；然后由乘积等于零，得到两个因式中至少有一个等于零，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程（x+1）=0和（x-1）=0来解.

这里方程变形的依据，实际上还是关于等式的性质：两数乘积等于零，必须且只需其中至少有一个乘数等于零.也就是说，当且仅当a=0或b=0时，ab=0.证明如下：

设a、b是两个实数，如果a=0或b=0，因为零乘以任何数都等于零，所以ab=0；

反过来，如果ab=0,那么必有a=0或b=0.我们不难用反证法证明这个结论.事实上，假设结论不成立，即a≠0且b≠0，这时必有ab≠0,与已知以ab=0矛盾，所以假设不成立，即a=0或b=0.一元二次方程根的判别式

一般地，式子

叫做一元二次方程

根的判别式，

通常用希腊字母

表示它，即

—元二次方程根的情况判断“”

方程

的根的情况有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根注意：一元二次方程有实根包括一元二次方程有两个不等的实数根和有两个等的实数根两种情况，此时

，不要漏掉等号.2.求字母系数的取值范围根的判别式应用类型1.不解方程，判断方程的解的情况 3.求解字母系数的值5.求解方程的整数解4.证明一元二次方程根的情况

一元二次方程根的判别式的应用（1）应用判别式分析一元二次方程根的情况：①先将方程化为一元二次方程的一般形式，明确方程各项的系数，确定出a，b，c的值，注意不要漏掉各项系数的符号；②计算判别式，判断方程根的情况.（2）根据判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围：①将方程整理为一般形式后，确定含字母系数的方程的二次项系数、一次项系数和常数项；②根据方程根的情况，确定判别式的取值范围，可求出字母系数的取值范围.注意：一元二次方程有实根包括一元二次方程有两个不等的实数根和有两个等的实数根两种情况，此时△≥0，不要漏掉等号.一元二次方程的根与系数关系一元二次方程的根与系数关系数学语言若的两个根为，则.文字语言一元二次方程的两个根之和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两个根之积等于常数项与二次项系数比.使用条件（1）方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；（2）方程有实数根，即.总要结论（1）若的两个根为，则.（2）以实数为两个根的二次项系数为1的一元二次方程是.

根与系数的关系重要代数式变形与一元二次方程的两次根相关的代数式变形：（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

列一元二次方程解应用题的一般步骤常见实际问题的数量关系及表示方法一元二次方程一元二次方程知识结构图一元二次方程解法分析

公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的方法，因此在解方程时，我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法求解，若不行，再考虑公式法或配方法求解方程.

方程中含有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若没有发现合适的方法时，再进行去括号并整理成一般形式，选取合理的方法求解.一元二次方程的解

概念使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代人一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根.注意：若一元二次方程有解，则解一定有两个.拓展：关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a+b+c=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为x=1.（2）a-b+c=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为x=-1（3）c=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为x=0.因式分解法解一元二次方程1.因式分解法：先对方程ax2+bx+c=0（a≠0）的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）移项：将方程化为一般形式；（2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；（3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.注意:不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如x（x-1）=x，若约去x，则会导致丢掉x=0这个根.一元二次方程解法的比较方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的定义（ax+b）2=n（a≠0，n≥0）型方程.开平方求解迅速、准