工科数学分析第十章课件

代入原方程,得特点：不显含未知函数y及y,,y(k

1)

.

P(

x)解法：令y(k

)

P

(

n

k

)

.

P,y(

n

)则y(k

1)P

(

n

k

)P(x)的(n-k)阶方程

f

(x,P(x),,P

(n

k

1)(x)).

求得P(x),将y(k

)

P(x)连续积分k次,可得通解.

f

(

x,

y(

k

)

,,

y(

n1)

)一、y(n

)型可降阶的高阶微分方程

0

的通解.

y(

4

)求方程xy(5)解

P(

x),设y(4)代入原方程

xP

P

0,两端积分,得解线性方程,得P

C1

x1y(

5

)

P(

x)P

0）即y(4)

C1

x,221

2C

xy

C

,

,120

6

24

5y

C1x5

C2

x3

C3

x2

C x

C

,原方程通解为

y

d1

x

5

d x

3

d x

2

d x

d2

3

45例1则

y

dP

dy

P

dP

,代入原方程得到新函数P(y)的(n

1)阶方程原方程通解为1ndy

x

C

,n1

(

y,

C

,

,

C

)特点：右端不显含自变量x.解法：设y

P(y)y

P

2

d P

P(

dP

)2

,dy2

dy2dy

dx

dy

,1

n1dx求得其解为

dy

P(

y)

(

y,

C

,

,

C

),二、y(n)

f

(y,y',,y(n1)

)

型解

设

y

P(

y),dy则

y

P

dP

,dydy代入原方程得

y

P

dP

P

2

0,

即

P(

y

dP

P

)

0,dy由y

dP

P

01可得

P

C

y,2原方程通解为y

C

eC1

x

.1dx

dy

C

y,例

2

求方程

yy

y2

0

的通解.§4.1-2二阶线性微分方程解的结构dxdyP(

x)

Q(

x)

y

f

(

x)d

2

y

二阶线性齐次微分方程dx2当f

(x)

0时当

f

(x)

0时二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程1n(

x)

y

P

(

x)

y

f

(

x)n1y(

n)

P

(

x)

y(

n1)

P一、基本概念2阶线性微分方程二、线性微分方程的解的结构问题:y

C1

y1

C2

y2一定是通解吗？1.二阶齐次方程解的结构:y

P(

x)

y

Q(

x)

y

0

(1)e

x，ex

,e2

x

线性无关1，cos2

x, sin2

x

线性相关例如当x

(,

)时特别地:y2

(

x)若在I

上有y1

(x)

常数，则函数y1

(x)与y2

(x)在I

上线性无关.例如y

y

0,y1

cos

x,y2

sin

x,1

tan

x

常数,y且y2y

C1

cos

x

C2

sin

x.2.二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理三、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解---降阶法设y1是方程(1)的一个非零特解，令y2

u(x)y1代入(1)式,

得y

u

(2

y

P(

x)

y

)u

(

y

P(

x)

y

Q(

x)

y

)u

0,1

1

1

1

1

1令v

u,则有即

y

u

(2

y

P(

x)

y

)u

0,1

1

11y

2解得

v

1

e

P

(

x

)dx

,y

21

u

1e

P

(

x

)dx

dx2

y

y1

e

P

(

x

)dx

dx,1

y

2公式1齐次方程通解为21y1

e

P

(

x

)dxdx.y

C1

y1

C2

y1y

v

(2

y

P(

x)

y

)v

01

1

1v的一阶方程2.非齐次线性方程通解求法---常数变易法(3)设对应齐次方程通解为

y

C1

y1

C2

y2设非齐次方程通解为

y

c1

(

x)

y1

c2

(

x)

y2y

c1(x)

y1

c2(

x)

y2

c1

(

x)

y1

c2

(

x)

y2

设

c1(x)

y1

c2(

x)

y2

0y

c1(x)

y1

c2(

x)

y2

c1

(

x)

y1

c2

(

x)

y2(4)将

y,

y,

y

代入方程(2),

得c1(x)

y1

c2(

x)

y2

c1

(

x)(

y1

P(

x)

y1

Q(

x)

y1

)

c2

(

x)(

y2

P(

x)

y2

Q(

x)

y2

)

f

(

x)c1(x)

y1

c2(

x)

y2

f

(

x)(5)1

1

2

2(4),(5)联立方程组

c(

x)

y

c

(

x)

y

f

(

x)c1(

x)

y1

c2(

x)

y2

0

0,y2y1

y2设系数行列式

w(

x)

y11w(

x)则c(x)

y2

f

(x),2c

(

x)

y1

f

(

x)

,w(

x)

y2

f

(

x)

dx,积分可得11w(

x)y1

f

(

x)

dx,c

(

x)

C

22w(

x)c

(

x)

C

非齐次方程通解为2

w(

x)y1

f

(

x)

dx.w(

x)y2

f

(

x)

dx

yy

C

y

C

y

y1

1

2

2 1

y

x

1的通解.y

x

11

x

1

x求方程y

x

1

1

x

1

x解1

0,对应齐次方程两特解分别为y

e

x

,

y

x1

2对应齐方通解为

Y

C1

x

C2e

x

.例

0,x1

x

1

xxy

c1

(

x)

x

c2

(

x)e

x

,设原方程的通解为c(x)，c

(x)应满足方程组1

21

2c(

x)

e

xc

(

x)

x

11

2

xc(

x)

e

x

c

(

x)

0解得

xc

(

x)

xec(

x)

1212

e

xc

(

x)

x

C

c

(

x)

xe

x

C1

1

2

x2

x

1.原方程的通解为y

C1

x

C2e

x四、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；补充内容观察特解y

P(

x)

y

Q(

x)

y

0若P(x)

xQ(x)

0,若1

P(x)

Q(x)

0,若1

P(x)

Q(x)

0,特解y

x;特解y

e

x

;特解y

e

x

.§4.3二阶常系数齐次线性微分方程一、定义1y(

n)

P

y(

n1)

Pn1

y

Pn

y

f

(

x)n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式y

py

qy

0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y

py

qy

f

(

x)二、二阶常系数齐次线性方程解法设y

erx

,将其代入上方程,得(r

2

pr

q)erx

0故有r

2

pr

q

0

erx

0,特征方程,2p2

4q

p

特征根

r1,2

-----特征方程法y

py

qy

0

有两个不相等的实根2p2

p

4q,2p2

p

4q,

r2

y1

e

1

,r

xy2

e

2

,r

x两个线性无关的特解得齐次方程的通解为2e

;2r

xy

C1e

C1r

x(

0)特征根为r11一特解为

y

e

r1

x

,1

2r

r

p

,

有两个相等的实根(

0)得齐次方程的通解为y

(C

1

C2x

)e

;1r

x知

u

0,取u(x)

x,则

y2

xe

,1r

x22设另一特解为

y

u(

x)e1r

x,将y2

，y2

，y2

代入原方程并化简，u

(2r

p)u

(r

2

pr

q)u

0,1

1

1特征根为r1

i,r2

i,1y

e

(i)x

,2y

e

(i)x

,

有一对共轭复根

(

0)重新组合21

1y

1

(

y

y

)x

e

cos

x,22i2

1y

1

(

y2

y

)x

e

sin

x,得齐次方程的通解为y

ex

(C

cosx

C

sinx).1

2特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解

特征方程为

4r

4

0

,r

2解得

r1

r2

2

,故所求通解为

y

(C

C

x)e2

x

.1

2例1

求方程y

4

y

4

y

0

的通解.例2

求方程

y

2

y

5

y

0

的通解.解

特征方程为

2r

5

0

,r

2解得

1

2i

,r1，2故所求通解为y

e

x

(C

cos

2

x

C

sin

2

x).1

2三、n

阶常系数齐次线性方程解法y

P y

0ny(

n)

P

y(

n1)

P1

n11nn1r

P

0特征方程为rn

P

rn1

P特征方程的根通解中的对应项若是k重根r(C

C

x

C

xk1

)erx0

1

k

1若是k重共轭复根

j[(C

C

x

C xk1

)cosx0

1

k1

(D

D

x

D xk1

)sinx]ex0

1

k1注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.y

C1y1

C2

y2

Cn

yn特征根为r1

1,

r2

r3

i,

r4

r5

i,故所求通解为y

C

e

x

(C

C

x)cos

x

(C

C

x)sin

x.1

2

3

4

5解

特征方程为

r

5

r

4

2r

3

2r

2

r

1

0,(r

1)(r

2

1)2

0,

2

y

y

y

0

的通解.例3

求方程y(

5

)

y(

4

)

2

y(

3

)四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:1写出相应的特征方程;求出特征根;根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)23r

2

pr

q

0y

py

qy

0特征根的情况通解的表达式实根r1

r2实根r1

r2复根r1,2

iy

C1er1

x

C2er2

xy

(C1

C2x)er2

xy

ex(C1

cosx

C2

sin

x)思考题求微分方程

yy

y2

y2

ln

y

的通解.思考题解答

y

0,

ln

y,yy

y2

ln

y,

y

y

yxy

,

y

2

ln

y令z

ln

y则z

z

0,ln

y

ln

y,特征根

1x

x通解1z

C

e2

C

eln

y

C1e

x

C

e

x

.2§4.4二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程y

py

qy

f

(

x)对应齐次方程

y

py

qy

0,通解结构常见类型y

Y

y*

,f

(

x)

?Pm

(

x)ex

,Pm

(

x)ex

sinx,方法：待定系数法.Pm

(

x)ex

cosx,问题：如何求特解？m一、

f

(

x)

ex

P

(

x)

型设非齐方程特解为

y*

Q(

x)ex

代入原方程Q

(

x)

(2

p)Q(

x)

(2

p(

x)

P

m

(

x)

p

q

0,(1)

若不是特征方程的根，2可设Q(x)

Qm

(x),y*

Q

(

x)ex

;m(2)若是特征方程的单根，2

p

q

0,2

p

0,y*

xQ

(

x)ex

;m可设Q(x)

xQm

(x),(3)若是特征方程的重根

p

q

0,2可设

Q(

x)

x

2Q

(

x),m2

p

0,y*

x

2Q

(

x)ex

.m综上m*

k

x设

y

x

e

Q

(

x)

,2k

10

不是根是单根,是重根注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地

y

py

qy

Aex是特征方程的重根不是特征方程的根2xe

x

,是特征方程的单根

,2A

x

2ex

,2

pAex

,A

p

qy*

解对应齐次方程通解

3r

2

0,r

2特征方程特征根r1

1，r2

2Y

c1e

x

c

e

2

x

,2

2

是单根设

y*

x(

Ax

B)e

2

x

,A

1

2

,B

12代入方程,得2

Ax

B

2

A

x1于是

y*

x(

x

1)e2

x2

C e2

x

x(

1

x

1)e2

x

.12原方程通解为

y

C

ex例1

求方程y

3

y

2

y

xe2

x

的通解.二、f

(x)

ex[P

(x)cosx

P

(x)sinx]型l

nf

(

x)

ex

[P

cosx

Plsinx]ne

ix

e

ix22i利用

公式]

e

x

[P

Pne

ix

e

ixl2

2i

2

2i

Pn

)e(i)

x

(

Pl

Pn

)e(i)x

(

Pl

P(

x)e(

i)x

P

(

x)e(i)

x

,设

y

py

qy

P(

x)e(i)

x

,y*

xk

Q

e(i)x

,1

m则

y

py

qy

P

(

x)e(i)

x

,y*

xk

Q

e(i)

x

,2

mix

Qme

]

y*

xk

ex[Q

eixm

xk

ex

[R(1)

(

x)cosx

R(

2

)

(

x)sinx],m

mm

m其中R(1)(x),R(2)(x)是m次多项式，m

maxl

,n

i不是根

i是单根k

1,0注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解对应齐方通解作辅助方程

i

是单根,代入上式Y

C1

cos

x

C2

sin

x,y

y

4eix

,故y*

Axeix

,例2

求方程

y

y

4sin

x

的通解.2

Ai

4,

A

2i,

2

x

sin

x

(2

x

cos

x)i,

y*

2ixeix所求非齐方程特解为

y*

2

x

cos

x,

（取虚部）原方程通解为

y

C1

cos

x

C2

sin

x

2

x

cos

x.1求方程y

y

x

cos

2

x

的通解.解

对应齐方通解

Y

C1

cos

x

C2

sin

x,作辅助方程y

y

xe2ix

,

2i

不是特征方程的根

,代入辅助方程

3

A

1设

y*

(

Ax

B)e

2ix

,4

Ai

3B

0

A

1，B

4

i,3

9

y*

(

1

x

4

i)e2ix

,3

9例33所求非齐方程特解为y*

1

x

cos

2x

4

sin

2x,9（取实部）3

91

2原方程通解为

y

C

cos

x

C

sin

x

1

x

cos

2

x

4

sin

2

x.

(

1

x

4

i)(cos

2

x

i

sin

2

x)3

9

1

x

cos

2x

4

sin

2x

(4

cos

2x

1

x

sin

2x)i,3

9

9

3注意Aex

cosx,

Aex

sinx分别是Ae

(i)x

的实部和虚部.求方程y

y

tan

x

的通解.解对应齐方通解

Y

C1

cos

x

C2

sin

x,用常数变易法求非齐方程通解设y

c1

(x)cos

x

c2

(x)sin

x,w(

x)

1,2

2c

(

x)

cos

x

Cc1

(

x)

sin

x

ln

sec

x

tan

x

C1

,原方程通解为y

C1

cos

x

C2

sin

x

cos

x

ln

sec

x

tan

x

.例4三、小结f

(x)

exP

(x),

(可以是复数）my*

xk

exQ

(

x);mf

(

x)

ex

[P

(

x)cosx

P

(

x)sinx],l

ny*

xk

ex[R(1)

(

x)cosx

R(

2)

(

x)sinx];m

m只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.(待定系数法)思考题写出微分方程y

4

y

4

y

6

x2

8e2

x的待定特解的形式.思考题解答设

y

4

y

4

y

6

x的特解为2

*1y2

xy

4

y

4

y

8e设的特解为*2y2

y*1则所求特解为

y*

y*1,2

r

2

4r

4

0

特征根r

2

y*

Ax

2

Bx

C

y*

Dx2e2

x（重根）1

2y*

y*1

y*

Ax22

Bx

C

Dx

2

e

2

x

.§

4.6方程一、

方程nxy

p y

f

(

x)1

n1

p形如xn

y(

n

)

p

xn1

y(

n1)叫

方程.的方程(其中p1

,p2

pn

为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．解法：

方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.22

dt dt

,dx2

xd

2

y

1

d

2

y

dy