【教学课件】环节二 无理数指数幂及其运算性质

指数环节二无理数指数幂及其运算性质复习引入问题1本单元我们的研究目标是构建一个完善的指数幂运算体系，你能说说上节课是借助于哪个知识，对整数指数幂进行了拓展，并确立这节课的目标吗？答案：

探究新知问题2类比初中认识无理数的经验，分析在ax(a＞0)中，当指数x是无理数时，ax还有没有意义？如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．

初中时，首先根据勾股定理用尺规作图，在数轴上找到对应的点（图1），从而明确是一个确定的实数；答案：探究新知然后不断寻找的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），发现这两组数都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是，以此来逐渐逼近的精确值（表1）．1.41.51.411.421.4141.4151.41421.41431.414211.414221.4142131.4142141.41421351.41421361.414213561.414213571.4142135621.414213563……表1探究新知问题2

5x的近似值5y的近似值1.49.5182696931.511.1803398871.419.6726997281.429.8296353281.4149.7351710391.4159.7508518071.41429.7383051741.41439.7398726201.414219.7384619071.414229.7386186431.4142139.7385089271.4142149.7385246011.41421359.7385167641.41421369.7385183321.414213569.7385177051.414213579.7385178611.4142135629.7385177361.4142135639.738517752…………表2探究新知问题2

探究新知

一般地，无理数指数幂(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂(a＞0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．借助计算器（计算机）重复刚才的过程．答案：问题2有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质．（1）（2）

（3）明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？问题3探究新知知识应用解：（1）

；（2）

（3）

例1（1）

；

（2）

；（3）

．计算下列各式（式中字母均是正数）知识应用追问这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？例1（1）

；

（2）

；（3）

．计算下列各式（式中字母均是正数）本例中的指数都为有理数，本题的指数都为无理数，但是它们的运算过程是一致的，都是按照实数指数幂的运算性质进行的．答案：归纳总结问题4(1)回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？(2)回顾本单元的两小节内容，你能梳理画出本单元的研究内容和方法的思维导图吗？答案：（1）在将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程中，我们经历了从“不足近似值”和“过剩近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程．然后在数轴上表示这些“不足近似值”和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂．归纳总结问题4(1)回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？(2)回顾本单元的两小节内容，你能梳理画出本单元的研究内容和方法的思维导图吗？答案：实数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到实数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．归纳总结问题4