【教学课件】环节二 函数y=Asin(ωx+φ)（二）

函数y=Asin(ωx＋φ)环节二函数y=Asin(ωx＋φ)（二）整体感知问题1回顾上一节的学习，研究了函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的哪些问题？是按照怎样的思路展开研究的？答案：研究了参数φ与ω的变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．研究思路：控制变量——特殊到一般——利用信息技术探究规律——借助参数的实际意义和图象上点的坐标变化解释规律——获得一般化结论．1．探索A（A＞0）对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响新知探究问题2类比参数φ，ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的研究思路，你计划如何研究参数A的变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响？以小组为单位，写出研究思路，并写出研究报告．探究思路：（1）为了研究方便，不妨设φ=

，ω=2（控制变量）．（2）A取一组特殊值，例如取A=1，A=2，利用信息技术做出它们的图象，观察它们图象的关系．（3）结合筒车模型，借助A的实际意义和函数图象上点的坐标变化解释所得到的结论．（4）改变A的取值，重复上述研究过程，写出获得的结论．（5）归纳一般结论．1．探索A（A＞0）对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响新知探究研究报告：参数A（A>0）对y＝Asin(ωx＋φ)的图象影响的研究报告控制变量利用信息技术，作出当A=1，A=2时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

初步结论

用A的实际意义和函数图象上点的坐标变化解释结论φ=，ω=2函数y＝2sin(2x＋)图象是函数y＝sin(2x＋)图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到的．A的实际意义是筒车的半径．设射线O1Q1与以O1为圆心，2为半径的圆交于点T1，如果单位圆上以Q1为起点的动点，以ω=2的转速经过xs到达圆周上点P，那么点P的纵坐标为sin(2x＋)；相应地，点T1在以O1为圆心，2为半径的圆上运动到点T，点T的纵坐标为2sin(2x＋)．参数A（A>0）对y＝Asin(ωx＋φ)的图象影响的研究报告用A的实际意义和函数图象上点的坐标变化解释结论A取，3，时，重复研究过程，得到的结论一般性结论研究成员、时间新知探究研究报告：这样，设K(x，y)是函数y=sin(2x+)图象上的一点，那么N(x，2y)就是函数y＝2sin(2x＋)图象上的相应点．这也就说明，把函数y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），就得到y＝2sin(2x＋)的图象．同理，当A＝，3，时，对应的函数y＝Asin(2x＋)图象可以分别看作函数y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标为缩短原来的倍、伸长为原来的3倍、缩短为原来的倍（横坐标不变）得到的．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的．从图象上可以看出，y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A．新知探究2．探索A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响问题3根据以上的研究结果，函数y＝sinx的图象可以经过怎样的图象变换过程得到y＝2sin(2x＋

)的图象？说明其变换过程，并借助信息技术进行试验验证．答案：方法1：先把y＝sinx的图象向左平移

个单位长度，得到y＝sin(x＋

)；然后把曲线上各点的横坐标缩短为原来的

倍（纵坐标不变），得到y＝sin(2x＋

)；最后把曲线上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到

y＝2sin(2x＋

)的图象．然后把曲线上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到y＝2sin2x，新知探究2．探索A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响最后把曲线上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到

y＝2sin(2x＋

)的图象．方法2：先把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的

倍（纵坐标不变），得到y＝sin2x；然后将曲线向左平移

个单位长度，得到y＝sin(2x＋

)；方法3：先把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的

倍（纵坐标不变），得到y＝sin2x；最后将曲线向左平移

个单位长度，得到y＝2sin(2x＋

)的图象．新知探究2．探索A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响追问你能用筒车模型解释一下方法2中平移单位为什么是，而不是吗？答案：此时ω=2，在单位圆上，设动点M以Q0为起点（此时φ=0），到达圆周上点P的时间为x1s，那么以Q1为起点（此时φ=），到达圆周上点P的时间为（x1－）s，所以y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin(2x＋)的图象．新知探究2．探索A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响问题4由特殊到一般，你能总结一下从函数y＝sinx的图象出发，通过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法吗？请你写出来．结论：方法1：一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线上所有点向左（或右）平移|φ|个单位长度，得到y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的

倍（纵坐标不变），得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．新知探究2．探索A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响方法2：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的

倍（纵坐标不变），得到y＝sinωx的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．然后把曲线上各点向左（或右）平移|

|个单位长度，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；新知探究3．技能初建例1画出函数y＝2sin(3x－

)的简图．解：图象变换法：如图，先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线上所有点向右平移

个长度单位得到y＝sin(x－)的图象；然后把曲线上各点的横坐标缩短为原来的

倍（纵坐标不变）得到y＝sin(3x－)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝2sin(3x－)的图象．新知探究3．技能初建追问1类比正弦函数简图的画法，你能用“五点法”画出这个函数的简图吗？解：五点作图法：第一步，先画出函数在一个周期（T＝

）内的图象．令X＝3x－

=0，

，π，

，2π．列表：X

0π2πxy020－20新知探究3．技能初建第二步，将函数在一个周期内的图象拓展在整个定义域内．描点画图：新知探究3．技能初建追问2对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图，有几种作法？分别是什么？答案：两种方法：图象变换法；五点作图法．新知探究3．技能初建例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动5min后离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）．新知探究3．技能初建追问：结合摩天轮的运动过程，可以选择哪种函数模型来刻画这个实际问题？为什么？答案：摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数模型来刻画．新知探究3．技能初建解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．（1）设t＝0min时，游客甲位于点P（0，－55），以OP为终边的角为

；根据摩天轮转一周大约需要30min，

可知座舱转动的角速度约为

rad／min，由题意可得（2）当t＝5时，

．新知探究3．技能初建（3）甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则

．

经过tmin后甲距离地面的高度为

，

点B相对于点A始终落后

rad，此时乙距离地面的高度为

，

则甲、乙距离地面的高度差

，

利用

，可得

．当

（或

），即

（或

）时，h的最大值为

m．归纳小结问题5（1）关于函数y＝Asin(ωx＋φ)图象，本节课又研究了哪些内容？请在上节课的基础上完善本单元的知识结构图．（2）回顾函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的研究过程，你能总结一下它的研究思路吗？（3）本单元通过数学建模研究了一般的匀速圆周运动这一实际问题，你能据此总结一下数学建模的一般过程吗？答案：

（1）本单元知识结构图：归纳小结现实世界中的匀速圆周运动函数y＝Asin(ωx＋φ)的简单应用函数y＝Asin(ωx＋φ)参数A，ω，φ对函数y＝Asi