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金融风险管理第九章波动率9.1本章主要内容波动率(历史数据)隐含波动率（期权价格）波动率估计模型指数加权移动平均模型自回归条件异方差模型ARCH广义自回归异方差模型GARCH9.1波动率的定义某个变量的波动率定义为该变量在单位时间内连续复利收益率的标准差；假设Si是某个变量在第i天的取值，那么日波动率就可以表示为ln(Si

/Si-1)的标准差；时间周期为T的波动率为ln(ST

/S0)的标准差当波动率被用来期权定价时，时间单位选一年；当用于风险控制时，时间单位选天。T的单位和波动率的时间单位要统一。隐含波动率在给期权定价的多个参数变量中，那个不能被直接观察到的参数称为隐含波动率由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与5个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率

标的资产股票价格满足几何Brown运动，无风险利率为r，敲定价为，到期日为的式看涨期权定价公式：VIX指数:S&P500的隐含波动率的计算(图9.1)9.3历史数据估算波动率汇率的日变化率是否服从正态分布？表9-2价格变化百分比变化大于1,2,…,6个标准差的天数占全部观察日的比例SD=0.756%：日价格比率变化的标准差标准差信数现实世界(%)正态模型(%)>1SD25.0431.73>2SD5.274.55>3SD1.340.27>4SD0.290.01>5SD0.080.00>6SD0.030.00表格数据显示：价格变化百分比未必服从正态分布，可能是某些肥尾分布图9-2正态分布与某肥尾分布密度函数的比较扫描业界事例9-2正态分布的替代分布：幂律幂律：某随机变量v,表示个人收入，城市的规模，网页访问量等。当数x较大时，有

Prob(v>x)=Kx

-α其中，K和α为常数。Prob(v>x)=Kx–αLn[Prob(v>x)]=

LnK-αLnx扫描图9-3扫描9-4EWMA模型的特点：1.计算简单，在前一天波动率预测值基础上更新一下即可得到第二天波动率预测值2.λ衡量波动率对最新市场价格百分比变化的敏感度3.Morgan(1994)研究表明，λ=0.94常见扫描9-5扫描图9-59.10.1波动率期

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