自动控制理论习题课三

自动控制理论习题课三自动控制理论习题课三推导实验三中校正装置的传递函数【解】R1

R3

R2

//(

R4

ZC

)C(s)R(s)

1

R4Cs

1Cs

Cs长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITYZ1

R4

ZC

R4自动控制理论习题课三R2

(R4Cs

1)Z2

R2

//(

R4

ZC

)

2

4R2

Z1R2

Z1

(R

R

)Cs

1(R2

R4

)Cs

12

3(R

R

R3

R4

R2

R4

)Cs

R3

R2Z3

R3

R2

//(

R4

ZC

)

C(s)

Z3

(R2

R3

R3

R4

R2

R4

)Cs

R3

R2R(s)

R1R

2R

360

1031R1(R2

R4

)Cs

R1C

5106R

R

180

1032

3R

10

1034C(s)

(R

R

R

R4

R

R4

)Cs

R

R

(R

2R4

)Cs

2长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITYR(s)2R(R

R4

)Cs

2R

2[(R

R4

)Cs

1]

(180

103

2

10

103

)

5106

s

2

s

22(0.95s1)

0.5s

10.95s

12[(180

103

)

5106

s

1]自动控制理论习题课三【6—3

】设单位反馈系统的开环传递函数为（1）计算校正前系统的剪切频率和相角

。（2）串联传递函数为的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角。（3）串联传递函数为的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角

。（4）

串联超前校正和串联滞后校正的不同作用s(s2

4s

6)6G(s)

0.2s

1

s

1

G

(s)

c100s

110s

1G

(s)

c【解】（1）6

3j(

12

2

j1)G(j)

1

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三

11A()

2

3

22

1

26

1

c

0.944rad

/

s

90

arctan

0.7387

90

36.45

53.55长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY612c1

c23c

180

()

180

90

arctan自动控制理论习题课三（2）加入串联超前校正后G(s)G

(s)

s

1s(

1

s2

2

s

1)(0.2s

1)6

3c

1.46rad

/

s6

s

1s(s2

4s

6)

0.2s

1cL()

0

90

arctan1.51

arctan1.46

arctan

0.292

90

56.49

55.59

16.28

72.82长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY4ccc

arctan

arctan

0.2c6

2c

180

()

180

90

arctan自动控制理论习题课三（3）加入串联滞后校正后1

26

3s(10s

16 10s

1

s(s2

4s

6)

100s

1G(s)G

(s)

2s

s

1)(100s

1)cL()

0c

0.13rad

/

s

90

arctan

0.087

arctan1.3

arctan13

90

4.97

52.43

85.6

51.86

arctan10c

arctan100c4cc6

2c

180

()

180

90

arctan（4）串联超前校正使系统的相角频率增大；串联滞后校正使系统的相角增加，剪切基本不变，剪切频率减少有利于改进系统的

性能。长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论 习题课三【6—7】单位反馈系统如图6—T—2所示。系统的输入和输出均为转角，单位为（°）。对系统进行超前校正，使满足相角

大于45°，在单位斜坡输入（单位为（°）s-1

）下的稳态误差为1°/15,剪切频率小于7.5s-1。【解】

G(s)

K1s(s

1)1K1s(s

1)

KvK

lim

sG(s)

lim

ss0

s0v1K

K

15

1

1

1esr1K

1515s(s

1)G(s)

画出未校正时系统开环传递函数的BODE图长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三c1

c2长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY10

lg

1自动控制理论习题课三20

lg

K1

40[lgc1

lg1]c2

5.67rad

/

s0

180

(c1)

180

90

arctanc1

90

arctan

3.87

90

75.51

14.490

0

45

14.49

9.49

40

1

sinm

1

0.643

0.2171

0.6431

sinm40lg

lg

10

lg

1

10

lg

4.6

6.63c211

mc1

5.67

0.217

2.64rad

/

s15

3.87rad

/

sc1

2

1

12.17rad/

s0.082s

1长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITYs

112.171

1

s

12

1

s1

1

s

1G

(s)

1

2.64

0.38s

1c自动控制理论习题课三s(s

1)(0.082s

1)长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY15(0.38s

1)G(s)

Gs

(s)Gc

(s)

校正后的开环传递函数c

2

5.67rad

/

s

arctan

0.082c2

180

(c2

)

180

90

arctan

0.38c2

arctanc2

90

arctan

2.15

arctan

5.67

arctan

0.465

90

60.06

80.00

24.94

45.12满足性能指标要求！自动控制理论习题课三【6—8

】设单位反馈系统的开环传递函数为设计一串联滞后校正装置以满足下列要求：系统开环增益K=8;相角 不小于40°。s(s

1)(0.2s

1)G(s)

K【解】8j(

j1)(

j0.21)G(

j)

画出未校正时系统开环传递函数的BODE图20

lg

K

40[lgc1

lg1]K

8

2 2

2.828rad

/

sc1

0

180

(c1)

180

90

arctanc1

arctan

0.2c1

9.92

0长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三20

lg长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITYc2c1自动控制理论习题课三2

40

15

552

180

(c2

)

180

90

arctanc2

arctan

0.2c2

55arctan2c

arctan

0.22c

35

35arctanc

2

c

21

0.2

0.2c2c2

0.71.2c2c

221

0.2确定系数βc

2

0.55rad

/

s20

lg

20

lg

K

20[lg1

lgc2

]

20

lg

8

20

lg

0.55

14.5450.558取

162长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITYc

2

4

1

1

0.14rad

/

s1

1

0.00875rad

/

s自动控制理论习题课三114

.29

s

17

.14

s

1s

10

.008751

0

.14

1

s

1s

112

1

s

1cG

(

s

)

1G(s)

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY8 7.14s

1 8(7.14s

1)s(s

1)(0.2s

1)

114.29s

1

s(s

1)(0.2s

1)(114.29s

1)校正后的开环传递函数c2

0.55rad

/

s

180

(c2

)

180

90

arctan

7.14c2

arctanc2

arctan

0.2c2

arctan114.29c2

90

arctan

3.927

arctan

0.55

arctan

0.11

arctan

62.8595

90

75.71

28.81

6.28

89.09

41.53

40满足性能指标要求！自动控制理论习题课三【6—10

】设单位反馈系统的开环传递函数为10

60设计一串联校正装置，使系统满足下例性能指标：斜坡输入信号为1s-1时，稳态误差不大于1/126系统的开环增益不变3相角 不小于30°，剪切频率为20s-1。126s(

1

s

1)(

1

s

1)G(s)

【解】

12610

60126s(

1

s

1)(

1

s

1)K

lim

sG(s)

lim

ss0

s0v1vsrK

126e

1

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三10220

lg

K

20[lg10

lg1]

40[lgc

lg10]

20

lg

cc

10K

1260

35.5(

G(

j)

1

c

32.5rad

/

s)10

60c

arctan

cc

180

()

180

90

arctan

90

arctan

3.55

arctan

0.592

90

74.28

30.63

14.91分析：如果采用超前校正，剪切频率不能满足要求，且其相频特性在剪切频率附近急剧下降，不能达到校正的目的。如果采用滞后校正，因对校正后的剪切频率有要求10

60

arctan

c2c

2

1

180

(

)

c2

180

90

arctan

90

arctan

2

arctan

0.3333

90

63.43

18.43

8.14相角

不能满足要求，故采用滞后—超前校正长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三超前校正环节的确定m

c因要求校正后的剪切频率为：但此时对应的相角 为：c

20rad

/

s

8.14因此需要超前校正装置提供的超前相角为：m

(30

8.14

)

12.14

34

1

sinm

＝1

sin

34＝1

0.56

0.2821

sin

341

sinm0.282

10.62

10

201m1

0.562

m

/

20

/0.282

37.66

0.282

2

0.027s

1

0.1s

1

1

s

1

1

s

1

c2G

(s)

1附加一放大倍数为的放大器c

2K

1

3.546长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三滞后校正环节附加放大器在处滞后校正引起的滞后足够小1/

20lg

Kc

2超前校正20lg

Lo

(c)

Ls

(c)

20lg

15.97

5.5

11

21.47dB＝11.8841

0.2cT1

1

T1

0.2

20

0.25T1

2.97G

(s)

11c1T

s

10.25s

12.97s

1Ts

10.1s

1

0.25s

1

0.282G

(s)

0.282

0.027s

1

2.97s

1

1cs(长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY

1

60s

1)(0.027s

1)(0.297s

1)126(0.25s

1)G(s)

Gs(s)Gc

(s)

校正网络传递函数校正后开环传递函数自动控制理论习题课三验证：c

20rad

/

s

90

arctan5

arctan0.333

arctan0.54

arctan59.4

90

78.6918.42

28.37

89.04

32.86

30长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY180

(c)c

cc60

180

90

arctanc

arctan0.25

arctan0.027

arctan2.97自动控制理论习题课三【7—1

】试求图7—T—1

所示非线性的描述函数【解一】（a）aa)

K

0

A

sin

t

Ky

(t

)

K

A

sin

t

(

K

0

K

)

aA

sin

t101A0

A1

0A

A

a

2

1

A

aA2

a

a

K1

A

(

K

0

K1

)

Aarcsin00K

A

sin

t

sin

tdt1B

2y

(t

)

sin

tdt

2

[

(

K1

A

sin

t

K

0

a

K1a

)

sin

tdt

K

0

A

sin

t

sin

tdt]0

aK0K1a

aK0b)0

t

t

t

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三其描述函数为A

aa

aA

A

A

a

2

(

K

0

K1

)

arcsin1

21N

(

A)

B1

KA（b）0y

(t

)

K00

t

t

t

A

sin

t0A0

A1

0A

aA

Aa

a

a

2

0K

A

sin

t

sin

tdt01B

22

K

0

A

2

arcsin1

A

y

(t

)

sin

tdt

2

A

aa

aA

AK

0

arcsin

A

a

2

1

N

(

A)

B1

2A

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY2自动控制理论 习题课三【解二】（a）可以看成是饱和特性和死区特性的并联a

a1

(

a

)

2

]Aa

aA

A

2

K1

[

arcsinA

AN

(

A)

N1

(

A)

N

2

(

A)

a

2

1

A

aA

A

A1

(

a

)

2

]A02

K1

(

K

0

K1

)arcsin

2[arcsin2

K a

a（b）可以看成是死区特性和带死区的继电器特性的并联A

a长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITYA

Aa

a1

(

a

)

2

]AAa

aA

A

2

K

0

[

arcsinA1

(

a

)

2

]

4

M

1

(

a

)

2AN

(

A)

N1

(

A)

N

2

(

A)

a

2

1

(

a

)

2

]

4

K

0

a0a

aA

AAA2

K

2[

arcsin2

K

0

2

arcsin1

A

2自动控制理论 习题课三【7—4】设系统如图7—T—3

所示，其中继电器非线性特性a=0。用谐波平衡分析法分析系统是否存在自持振荡？如存在，试求出自持振荡的基波振幅和频率的近似值。【解】当a=0时是理想继电器，其描述函数为N

(

A)

4M

A1

AN

(

A)

4M

0N

(

A)1A

0

A

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY1

N

(

A)自动控制理论习题课三10(2

2

)j

(2

1)(2

4)30(2

1)(2

4)10j(

j1)(

j

2)G(

j)

10(2

2

)j

(2

1)(2

4)30(2

1)(2

4)1

A

G(

j)

N

(

A)

4M

0(2

1)(2

4)10(2

2

)

A

304M

(2

1)(2

4)长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY

A

4M 2

1.4142rad

/

s30

(2

1)(2

4)

2.124

303.14

(2

1)(2

4)振荡基波频率振幅自动控制理论 习题课三【7—5】设系统如图7—T—3

所示，其中继电器非线性特性

a=0.1。用谐波平衡分析法分析系统是否存在自持振荡？和题7—4的结果进行比较,死区影响。【解】当a=0.1时是带死区的继电器特性，其描述函数为N

(

A)

1

A

a

24MA1

N

(

A)

24M1

a

AA

A

a

N

(

A)1

A

N

(

A)1长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三回转点坐标为A

2a

1.4142

0.1

0.14142

a

3.14

0.1

0.1572M

2

1N

(

A)1maxG(

j)与实轴的交点坐标为30

5(2

1)(2

4)

3

1.6730(2

1)(2

4)ReG(

j)

2

有交点存在,存在自持振荡!

531

A

a

24M

1

N

(

A)A

2

A

1.74

A1

1.22稳定的自持振荡长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论 习题课三可见,死区的存在使自持振荡的幅度减少,当死区宽度进一步增加时可以彻底消除自持振荡.

a

ReG(

j)

52M3N

(

A)1max即a

52

3

1.06长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY3

3

3.1410a

10

不会出现自持振荡现象!!自动控制理论 习题课三【7—9】设控制系统如图7—T—6

所示，已知初始条件及系统参数为 试绘制出未加输出微分反馈时的系统相轨迹图。e

(0)

2

,

e(0)

0

,

T

0.5

s

,

K

0

8

,

a

0.5s(Ts

1)长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY

E(s)

1【解】线性部分的传递函数为Y(s)C(s)

1s(Ts

1)Te

e

y(t)Y(s)x2

x1x1

e自动控制理论习题课三

2x1

x22

2T

Tx

1

x

1

y(t)

2x

2y(t)(1)当e>a=0.5时，y(t)=K0a=4x1

x22

2

2x

2x

2y(t)

2x

8

2

x22dx1dx

2x

82

2x

8

(2)当|e|<a=0.5时，y(t)=K0x11

2x2

2x2

2y(t)

2x2

16x1x

xdx2

2x2

8x1

dx1

x216x2

2

x1(3)当e<-a=-0.5时，y(t)=K0a=-4x2

2x2

2y(t)

2x2

8x1

x2dx2

2x2

8

dx1

x22

82x

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三12

21123x241

2

3

43

0

2

10x13

6

23

6

14

4

0

23

2

6

3

10

6143

4

1

230

2

3

103

4

6注意所设变量和初始条件长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论 习题课三【7—10】系统同题7—9

，试绘制出加入输出微分反馈时的相轨迹图，并

输出微分反馈的作用。【解】线性部分的传递函数为x1

x22

22T

Tx

1

x

1

y(t)

2x

2y(t)(1)当e

K1c

e

K1e

x1

K1x2

0.5dx21

2x

x

2x2

8

dx1x282

2x

(2)当x2

2x2

2y(t)

2x2

8|

e

K1c||

e

K1e||

x1

K1x2

|

0.5x1

x2221

8(x

K

x

)

(2

8K

)x

8x1

1

2

1

2

2x

2x

2y(t)

2x长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三dx2

(2

8K1)x2

8x1

dx1

x21212

8K181x

8

x

8

x（取K1=2)e

K1c

e

K1e

x1

K1x2

0.5x1

x2(3)当2

2

2x

2x

2y(t)

2x

8dx2

2x2

8

dx1

x282

长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY2x

自动控制理论习题课三12

2112341

2

3

43

0

2

10x13

6

23

6

14

4

0

23

2

6

3

10

6143

4

1

230

2

3

103

4

6反馈的作用是减少了调整时间！长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论 习题课三【7—15】设系统如图7—T—11所示，试用谐波平衡分析法分析

参数T对系统自持振荡的影响。若Ｔ=0.25s，求出振荡的振幅和频率。【解】变换为典型的非线性系统分析的形式G(s)

10(s

1)(1Ts)s3长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三非线性的描述函数为4Ma

164M

a

2N

(

A)

A1

A

1

216

A1

A

j

A2

j

A2

116161616A1N

(

A)

A

A

1

21

j

1

21

A

j

A2

N

(

A)

161

j

A

a

1

jN

(

A)

16A

10(1T2)310(T

1)2G(

j)

10(

j1)(1

Tj)

(

j)3

j

j16长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三当满足16minIm[G(

j)]

即不会产生自持振荡3Tdd

Im[G(

j)]

0

16203

3minIm[G(

j)]

T

0.138长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY

320

2T

33

不会产生自持振荡自动控制理论习题课三当Ｔ=0.25s>0.138s会产生自持振荡12.5

10(1

0.252)2

3

jG(

j)

161

AN

(

A)

16

j

A

1

21

1

1

2162310(1

0.252)

16

A

12.5

A

12

.4对应稳定自振

2

.2

1

22.22

16

1

2

1

A12.5

AA2

1

13.161612.5

2002.22

15.1976A2

113.162A

13.2长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三【8—2】求下列变换式所对应的Z变换。【解】（1）s(s

a)(1)

F(s)

a(2)F(s)

s22(s

3)1s2

(s

a)(3)

F(s)

(s

1)(s

1)(4)F(s)

s s

as(s

a)aF(s)

1

1(z

1)(z

eaT

)z(1

eaT

)zz

eaTzF(z)

z

1s22

(s

)(s

)(2)F(s)

ssT

zz2

z

eT

1(s

)(s

)

z

eR

lim

(s

)

1长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY自动控制理论习题课三2

z

eTsTz

1

zsR

lim(s)

2(s

)(s

)

z

e

1

zz(eT2(z

eT

)(z

eT

)

eT

)F(z)

R

R

1z1

22

z

eT

2

z

eTss

a(3)

F(s)

1

1

1

1 1

1

1a

2s2

(s

a)

a

s2Tz

1

z

1

ae

aT

)]

z[(aT

1

e

aT

)

z

(1

e

aTa

2

(

z

1)2

(

z

e

aT

)F

(

z

)

a

(

z

1)2a2

a2zz

1

a

2

z

e

aT2

1s

1

s

2(s

3)(s

1)(s

2)(4)

F(s)

z(z

eT

2e2T

)(z

eT

)(z

e2T

)长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITY2z

zz

e2TF(z)

z

eT自动控制理论习题课三【8—3】求下列各式的Z反变换。z

az(1)

F(z)

2z(2z

1)2z(1

eaT

)(2)

F(z)

z(z

1)(z

2)(3)

F(z)

(4)F(z)

(z

1)(1

eaT

)【解】（1）nz

nz

a

lim(

z

a)[(

z

a) ]

(a)z

af

(nT

)

Re

s[F

(

z)

z

n

1

]2(2z

1)2z(2)

F(z)

有一个两重极点]

n(0.5)n长安大学电子与控制CHANG’AN

UNIVERSITYzn2(z

0.5)2f

(nT)

1[(z

0.5)2lim(2

1)!

z0.5

dz21d

21自动控制理论习题课三(z

1)(z

2)(3