数值分析教学课件：7-5 数值微分

第七章微积分的数值计算方法NumericalValueAnalysis

7.5数值微分1

7.5数值微分公式先看一个实例:已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万)年份1900191019201930194019501960197019801990人口76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4试计算美国20世纪的(相对)年增长率2一、插值型求导公式--------(1)3对(1)式两边求导,有--------(2)4--------(2)--------(3)(2)式称为插值型求导公式,(3)式为相应产生的误差由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插值型求导公式5二、低阶插值型求导公式1.两点公式6--------(4)--------(5)(4)(5)式称为带余项的两点求导公式即精度1阶72.三点公式89--------(6)--------(7)--------(8)(6)(7)(8)式称为带余项的三点求导公式其中(7)式又称为中点公式,其精度稍高在分段求导公式中有着重要的地位精度2阶103.五点公式--------(9)11组(9)称为带余项的五点求导公式精度4阶综合考虑上述三种公式,可知五点公式的精度最高可发现且并且当步长h越小时,误差会越小但是不是h越小公式越好呢?12因此实际应用中步长h不要取得太小13两点公式和三点公式的比较图14三、低阶插值型求导公式的分段构造由于高次插值的Runge现象,数值微分一般采用分段低次插值公式,常见的就是分段两点、三点和五点公式1.分段两点求导公式对于任取的相邻两点由两点公式有--------(10)称(10)式为分段两点公式152.分段三点求导公式对于任取的相邻三点由三点公式,有--------(11)称(11)式为分段三点公式16--------(12)3.分段五点求导公式由五点公式17例:回到实例(美国人口)190019101920193019401950196019701980199076.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4解:则先用精度较高的分段五点公式求出节点处的导数值求增长率必须先求导数

x'=21.50813.45816.15811.90812.26725.00027.63323.07522.69228.358r=dx/dt/x=0.02830.01460.01520.00970.00930.01660.01540.01130.01000.011318将节点处的增长率作三次样条插值节点处增长率的值每年增长率曲线图年份增长率19000.028319010.025519020.023019350.008219360.008119370.008319530.017219540.017219790.010019800.010019810.010919890.011119900.011319四、样条求导公式Lagrange插值型求导公式构造比较简单但由于误差的原因，只能求出节点处的导数其缺点显而易见--------(13)20Hermite插值21假设节点是等距的，则其中由于-----(14)22因此基本方程组(三对角方程组)为加上第一类边界条件----(15)23----(16)上式再对x求导,得----(17)24从而---------(18)---------(19)(18)、(19)式组合(16)、(17)式统称为样条求导公式样条求导公式的优点:可以求非节点处的1~2阶导数精度较高样条求导公式的缺点:要求预知边界条件要解三对角方程组比较复杂25五、样条求导公式的简化介绍两种常用的简化方法:首先用三点或五点公式求出节点处的导数这种方法不但避免解三对角方程组也不必预知边界条件(2)采用先求节点处导数