2022年高考数学【二轮复习微专题之数学文化】以数学史为背景的数学试题赏析

【原创】【试题研究】以数学史为背景的数学试题赏析引言翻开近些年的高考数学试题和全国各地的高考模拟试题，其中有很多以数学史为背景的数学试题.细细品读这些试题可以发现其独具匠心、立意深远、韵味无穷，它们既渗透了数学文化和数学思想，又兼顾考查学生的认知、理解、迁移能力,蕴含着命题人的人文情怀.它们真正体现着以数学史为载体，以考查能力和学生的综合素质为目的的命题趋势.引例源于数学史料，兼顾现代数学分支——估算与算法1（2015年全国新课标I理容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内:?”在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆)8尺，米堆的5?”11.623，估算出堆放斛的米约有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解：由l

1r8得圆锥底面的半径r16

16，所以米堆的体积1 41 V= r

12565

320

3，所以堆放的米有320

1.6222斛，故选B4 3 4 9 9 9赏析：这是一道融入数学史和现代数学估算为一体的新颖试题，将圆锥的体积公式和单位换算结合，既考查学生的基础知识又考查学生的运算能力，同时兼顾考查了学生的理解能力、分析问题能力，属于中等难度试题.变式1（2016年湖北七市联考理）《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，13312000斛(1丈=10尺，l尺=103斛≈1.62立方尺，≈3)，则圆柱底圆周长约为A.l丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺D.486尺解rhVr2h20001.623r2所以r281，即r3尺，所以圆柱底面圆周长为r54尺，即圆柱底面圆周长54尺，故选B.2（2014年湖北理）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家ft囷盖”置面周长L与高h，计算其体积V的近似公式Vh.它实际上是将圆锥体积公式36中的圆周率3.V近似取为( )h相当于将圆锥体积公式中的7522

25

C.157

D.1577 8 50 113解：由题意知

2L2h

1r2h2

L2

1r2，因为Lr，代入得

25，故

75 3 75 3 8赏析：《算数书》是中国现已发现的最古的一部算书，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年.本题以信息题的形式，考查学生阅读理解能力，属于中等难度题.316V92（2012年湖北理）开立圆术”曰：置316V9给出了已知球的体积d的一个近似公式d

。人们还用过一些32V300V332V300V3157316V9316V921V311D. 21V311

B. d

C. d解：V

R3,2Rd

，设选项中常数为a，则=6b；A中代入得343 34=69=3.375，B选项中代入=61=3，C选项代入得=6157=314，D中代入16 2 300得=611=3.142857，故最接近的是D，故选D.21例3（2015年全国新课标II理）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=

开始bA.0 B.2 C.4D.14解：输入a14,b18，ab且ab，

是 a>

是 a≠否

否输出ab18144a14,b4进入下一个循序；ab且

a=ab b=ba 结束aa14410,a10,b4进入下一个循环；ab且ab,a1046,a6,b4进入下一个循环；ab且aa642,a2,b4进入下一个循环；ab且ab,b422,a2,b2进入下一个循环；ab，输出的a2B.赏析：《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来,是一个实,不定分析基础。基于数学史实，兼顾现代数学分支——数列与推理41937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n）；如果n21(即1)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如初始正6.现在请你研究：如果n2，则按照上述规则施行变换（注可以多次出现）后的第8为 .如果对正整数n(首项）按照上述规则施行变换（可以多次出现）81，则n的所有可能的取值为 .解如果n21

2,a2

1，a3

4，a4

2，a 1，a5

4，a7

2，a 18（2）用树形图反推项数八、七、六、五、四、三、二、一 a 32a 64

128 1a 8a 16

3 2

2115 4 a1a 1a 2a 4 a 5a 101 208 7 6

2 a3 1 a 1

2

4a

1a212 5 4 2

a 8a2

16所以n2,3,16,20,21,128.6个赏析：本题涉及“谷角猜想”，它的证明已经有无数数学家和数学爱好者尝试过,,.有人向数论学家保尔·厄尔多斯Erdos）,问题无能为力的现象,他回答说：数学还没有准备好回答这样的问题.这个猜想至今无人证明,也无人推翻.3（湖北高考）已知数列

m（m为正整数），n 1 a n,当

，则所有可能的取值a n n

n1,当an

为奇数时，

a 1 m6是 .解法11若a5

为奇数，依递推式1a6

3a5

1，则a5

0a为偶5数，即a 252若a4

为奇数，依递推式23a4

1得a4

1，矛盾，故a3 4

为偶数，即a 443若a为奇数，依4a3

1得a3

1，则a2

不可能是奇数，得a2

2,a41又若a3

为偶数，得a 83如果a2

为奇数，由83a2

1得a2

无正整数解，故a2

164当a2

16时，若a1

为奇数，由163a1

1得a1

5；若a1

为偶数，则a1

32答案：4，5，32解法2：树形图，在此不再赘述.例5（2016年黄冈元月调研）圆周率和自然对数的底e是数学中非常重要的两个常数.对和e的研究，在数学史上具有突出的地位.下面是有关和e的两个优美表达式：=22446682 1 3 3 5 5 7 7e 21 2

2 41 4

4 6 6 81 8

2 1 3 3 5 5 7 7根据等式上述等式，2

1项

221 1项23项2 321

=4；此外，e3 3 221

也可以看作是无穷多项的连乘之积，其中第411项e 2第2项e 4第3项

4

,

和e ，1 1

2 3

3 3

100

100那么100 .e100

=22446682n项为

2n

和e 的2 1 3

3 5 5 7 7

2n1

100

100底数都相等，即100，其中101

100

100101

e100

1001 101

，所以100e

100127 128101100127(101)128

100例6 公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V与它的直径（D）的立方成正”，此即VkD3，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公VkD3中的常数k称为立圆率”或玉积率类似地对于等边圆（轴截面是正方形的圆柱正方体也可利用公式VkD3求体（在等边圆柱中表示底面圆的直径在正方体中表示棱长假设运用此体积公式求得（直径为a等边圆（底面圆的直径为a（棱长为a的玉积率分别为kkk1 2 3

kkk1 2 3（ ）A．A．: :

B．::

C．2:3:D．::14 6 6 4 6 4解： 4 4 a3

a2 V R3 a3k

VR2a a a3,k 1 3 3 2

1 6 2 2 4 2 4 Va3,k3

1 V3

a3k3

1，即kkk1 2 3

: :1，故选D.6 4赏析赏析：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,是一部划时代的著作，是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响.本题通过信息题的给出“玉积率”的概念，需要学生理解、迁移并应用，属于简单题.年湖北理）Cr都n换成分数1n形，称为莱布尼茨三角. 从莱布尼茨三角形可以看出n1Crr11nxn1nCr ，其中= .xn1令an11113 12 30 601nC21n1C2，则liman n

n1 n11解：第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中脚下”xr1莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即11a 1

1 1

根据第一问所推出的结论只需在原式基n 3C02

4C13

24

nCn3n1

nCn2n础上增加一项 1 ，则由每一行中的任一数都等于脚下”两数的和，结nCn1n合给出的数表可逐次向上求和为1

，故a

1

，从而lima

lim1

21 1。

n 2 nCn1nx n

x2 nCn1 2 n 赏析：本题取材于数学史中著名的莱布尼兹三角形，与中国古代的杨辉三角形遥相呼应，本题主要考查学生的信息处理能力和类比归纳及推理能力.4如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端14如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端12,,如n1 2 2 2 3 6 3 4 12(1)第6行第2个数（从左往右数）。1=1+1,1=1+1,1=1+1，则：解：（1）第六行第一个数是1，第二个数设为a

，那么1+a

1，所以6a 111；

6,2

6 6,2 56,2

5 6 30（2）观察发现：将杨辉三角形中的每一个Cr都换成 1

，就得到莱布尼兹n n1Crnn33个数字是C2n1

，那么莱布尼兹调和三角形的第n3行第3个数字是1 2nC2n1

nn1n28（2013）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,第nn1

1n21记第n个k边形数为Nn,k

2 2 23,以下列出了部分k边形中的第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)

n2 n,1 2 21 正方形数 N(n,4)n2,五边形数 N(n,5)

n2 n,3 2 23 六边形数 N(n,6)2n2n,可以推测Nk的表达式，由此计算N10,24 解：结合以上的公式发现如下规律：第n个k边形数

n,k

(k3)的表达式是关于n的二次函数（不含常数项），且二次项系数为k2；2（2）每一个k边形数的第一个数都是1；22故有N22

k2

k n22

，所以N

1021021000n,k 2

2

10,24 2赏析：毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立，认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序；由此他们提出了“美是和谐”的观点，认为音乐的和谐是由高低长短轻重不同的音调按照一定的数量上的比例组成，“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。”这是古希腊艺术辩证法思想的萌芽，也包含着艺术中“寓整齐于变化”的普遍原则。这是一道富有数学文化底蕴的试题，将古代数学文明与现代数学的合情推理的交汇融合，考查学生观察、类比、猜想和推理能力，具有较好的区分度，属中等难度题.5我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，入33的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15.如图所示1,2,3，n2填入nn个方格中，使得每行、每列、n阶幻方.记n的和为Nn

，如图三阶幻方记为N3

=15，那么N12

的值为A.869 B.870C.871 D.875解：由幻方的定义可知，每行、每列、每条对角线上的数的和相等.1+144144N 151239

45,所以

=1+2++144

2 =870，故选B.3 3 3 12 12 12取材数学史，结合现代数学分支——复数、三角与统计例年湖北八校联考）欧拉公eixcosxisinx（i为虚数单位）是由瑞著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第象限 D．第四象限解e2icos2isin2(cos2,sin2)2

2cos20,sin20，点(cos2,sin2)在第二象限，故选B．赏析：欧拉公式eixcosxisinx把三角函数，指数函数联系在一起，是复变函数，得到10五个数e,i,1,0联系在一起，可以说是数学中最“美”的公式之一。6现定义eicosisin，其中ieR，且实数指数幂的运算性质对eiaC0cos5C2cos3sin2C4cossin4，5 5 5bC1cos4sinC3cos2sin3C5sin4