高等数学课件精华版

高等数学课件精华版1一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个2数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数32.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区4称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:53.邻域:3.邻域:64.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常75.绝对值:运算性质:绝对值不等式:5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:8因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念9自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:10定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总11(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo12(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(2)取整函数y=[x]123413有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数14(4)取最值函数yxoyxo(4)取最值函数yxoyxo15在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.在自变量的不同变化范围中,16例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U17高等数学课件精华版18例2解故例2解故19三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-Myxo202．函数的单调性:xyo2．函数的单调性:xyo21xyoxyo223．函数的奇偶性:偶函数yxox-x3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x23奇函数yxox-x奇函数yxox-x244．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.25

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.四26五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数五、小结基本概念函数的概念函数的特性反函数27思考题思考题28思考题解答设则故思考题解答设则故29练习题练习题30高等数学课件精华版31练习题答案练习题答案32高等数学课件精华版33一、基本初等函数1.幂函数一、基本初等函数1.幂函数342.指数函数2.指数函数353.对数函数3.对数函数364.三角函数正弦函数4.三角函数正弦函数37余弦函数余弦函数38正切函数正切函数39余切函数余切函数40正割函数正割函数41余割函数余割函数425.反三角函数5.反三角函数43高等数学课件精华版44高等数学课件精华版45幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角46二、复合函数初等函数1.复合函数定义:二、复合函数初等函数1.复合函数定义:47注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复48例1解例1解49综上所述综上所述50三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数51奇函数,有界函数,奇函数,有界函数,52双曲函数常用公式双曲函数常用公式532.反双曲函数奇函数,2.反双曲函数奇函数,54高等数学课件精华版55奇函数,奇函数,56四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷57思考题思考题58思考题解答不能．思考题解答不能．59一、填空题:练习题一、填空题:练习题60高等数学课件精华版61练习题答案练习题答案62高等数学课件精华版63高等数学课件精华版64“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而65正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形662、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”67二、数列的定义例如二、数列的定义例如68注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次69播放三、数列的极限播放三、数列的极限70问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定71高等数学课件精华版72如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：73几何解释:其中几何解释:其中74数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：75例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数76例3证例3证77例4证例4证78四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界79定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收802.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故81例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.823.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a3.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列83五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,84思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题证明要使只要使从而由得取当时85思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没86从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为从而87练习题练习题88“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而89三、数列的极限三、数列的极限90三、数列的极限三、数列的极限91三、数列的极限三、数列的极限92三、数列的极限三、数列的极限93三、数列的极限三、数列的极限94三、数列的极限三、数列的极限95三、数列的极限三、数列的极限96三、数列的极限三、数列的极限97三、数列的极限三、数列的极限98三、数列的极限三、数列的极限99三、数列的极限三、数列的极限100三、数列的极限三、数列的极限101三、数列的极限三、数列的极限102高等数学课件精华版103播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限104通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接105高等数学课件精华版1062.另两种情形:2.另两种情形:1073.几何解释:3.几何解释:108例1证例1证109二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限110高等数学课件精华版1112.几何解释:注意：2.几何解释:注意：112例2证例3证例2证例3证113例4证函数在点x=1处没有定义.例4证函数在点x=1处没有定义.114例5证例5证1153.单侧极限:例如,3.单侧极限:例如,116左极限右极限左极限右极限117左右极限存在但不相等,例6证左右极限存在但不相等,例6证118三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性119推论3.不等式性质定理(保序性)推论3.不等式性质定理(保序性)120定理(保号性)推论定理(保号性)推论1214.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理122证证123例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任124例7证例7证125二者不相等,二者不相等,126四、小结函数极限的统一定义(见下表)四、小结函数极限的统一定义(见下表)127过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时128思考题思考题129思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.130一、填空题:练习题一、填空题:练习题131高等数学课件精华版132练习题答案练习题答案133一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限134一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限135一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限136一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限137一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限138一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限139一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限140一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限141一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限142高等数学课件精华版143一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.144例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以1452.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性146意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷147注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.148定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证149推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.150二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.151特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很152不是无穷大．无界，不是无穷大．无界，153证证154三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数155意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.156四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点157思考题思考题158思考题解答不能保证.例有思考题解答不能保证.例有159一、填空题:练习题一、填空题:练习题160高等数学课件精华版161练习题答案练习题答案162高等数学课件精华版163一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得164高等数学课件精华版165推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，166二、求极限方法举例例1解二、求极限方法举例例1解167小结:小结:168解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2169解例3(消去零因子法)解例3(消去零因子法)170例4解(无穷小因子分出法)例4解(无穷小因子分出法)171小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以172例5解先变形再求极限.例5解先变形再求极限.173例6解例6解174例7解左右极限存在且相等,例7解左右极限存在且相等,175三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多176思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？思考题在某个过程中，若有177思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．思考题解答没有极限．假设178一、填空题:练习题一、填空题:练习题179二、求下列各极限:二、求下列各极限:180高等数学课件精华版181练习题答案练习题答案182高等数学课件精华版183一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”184定义:定义:185例1解例2解例1解例2解186常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,187二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证188例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替189例4解解错例4解解错190例5解例5解191三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于192思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？193思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时思考题解答不能．例当时都是194练习题练习题195高等数学课件精华版196高等数学课件精华版197练习题答案练习题答案198高等数学课件精华版199高等数学课件精华版200一、函数的连续性1.函数的增量一、函数的连续性1.函数的增量2012.连续的定义2.连续的定义202高等数学课件精华版203例1证由定义2知例1证由定义2知2043.单侧连续定理3.单侧连续定理205例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,2064.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区207例3证例3证208二、函数的间断点二、函数的间断点2091.跳跃间断点例4解1.跳跃间断点例4解2102.可去间断点例52.可去间断点例5211解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则212如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点2133.第二类间断点例6解3.第二类间断点例6解214例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.215狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.216在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断217例8解例8解218三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分219可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx220思考题思考题221思考题解答且思考题解答且222但反之不成立.例但但反之不成立.例但223练习题练习题224高等数学课件精华版225练习题答案练习题答案226高等数学课件精华版227高等数学课件精华版228一、四则运算的连续性定理1例如,一、四则运算的连续性定理1例如,229二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有230定理3证定理3证231将上两步合起来:将上两步合起来:232意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解233例2解同理可得例2解同理可得234定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,235三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连236定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内2371.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定238例3例4解解例3例4解解239四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函240思考题思考题241思考题解答是它的可去间断点思考题解答是它的可去间断点242练习题练习题243高等数学课件精华版244高等数学课件精华版245练习题答案练习题答案246高等数学课件精华版247一、最大值和最小值定理定义:例如,一、最大值和最小值定理定义:例如,248定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大249定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界250二、介值定理定义:二、介值定理定义:251几何解释:几何解释:252几何解释:MBCAmab证由零点定理,几何解释:MBCAmab证由零点定理,253推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值254例2证由零点定理,例2证由零点定理,255三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定256思考题下述命题是否正确？思考题下述命题是否正确？257思考题解答不正确.例函数思考题解答不正确.例函数258练习题练习题259高等数学课件精华版260一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个261数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数2622.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区263称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:2643.邻域:3.邻域:2654.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常2665.绝对值:运算性质:绝对值不等式:5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:267因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念268自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:269定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总270(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo271(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(2)取整函数y=[x]1234272有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数273(4)取最值函数yxoyxo(4)取最值函数yxoyxo274在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.在自变量的不同变化范围中,275例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U276高等数学课件精华版277例2解故例2解故278三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-Myxo2792．函数的单调性:xyo2．函数的单调性:xyo280xyoxyo2813．函数的奇偶性:偶函数yxox-x3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x282奇函数yxox-x奇函数yxox-x2834．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.284

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.四285五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数五、小结基本概念函数的概念函数的特性反函数286思考题思考题287思考题解答设则故思考题解答设则故288练习题练习题289高等数学课件精华版290练习题答案练习题答案291高等数学课件精华版292一、基本初等函数1.幂函数一、基本初等函数1.幂函数2932.指数函数2.指数函数2943.对数函数3.对数函数2954.三角函数正弦函数4.三角函数正弦函数296余弦函数余弦函数297正切函数正切函数298余切函数余切函数299正割函数正割函数300余割函数余割函数3015.反三角函数5.反三角函数302高等数学课件精华版303高等数学课件精华版304幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角305二、复合函数初等函数1.复合函数定义:二、复合函数初等函数1.复合函数定义:306注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复307例1解例1解308综上所述综上所述309三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数310奇函数,有界函数,奇函数,有界函数,311双曲函数常用公式双曲函数常用公式3122.反双曲函数奇函数,2.反双曲函数奇函数,313高等数学课件精华版314奇函数,奇函数,315四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷316思考题思考题317思考题解答不能．思考题解答不能．318一、填空题:练习题一、填空题:练习题319高等数学课件精华版320练习题答案练习题答案321高等数学课件精华版322高等数学课件精华版323“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而324正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形3252、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”326二、数列的定义例如二、数列的定义例如327注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次328播放三、数列的极限播放三、数列的极限329问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定330高等数学课件精华版331如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：332几何解释:其中几何解释:其中333数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：334例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数335例3证例3证336例4证例4证337四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界338定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收3392.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故340例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.3413.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a3.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列342五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,343思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题证明要使只要使从而由得取当时344思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没345从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为从而346练习题练习题347“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而348三、数列的极限三、数列的极限349三、数列的极限三、数列的极限350三、数列的极限三、数列的极限351三、数列的极限三、数列的极限352三、数列的极限三、数列的极限353三、数列的极限三、数列的极限354三、数列的极限三、数列的极限355三、数列的极限三、数列的极限356三、数列的极限三、数列的极限357三、数列的极限三、数列的极限358三、数列的极限三、数列的极限359三、数列的极限三、数列的极限360三、数列的极限三、数列的极限361高等数学课件精华版362播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限363通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接364高等数学课件精华版3652.另两种情形:2.另两种情形:3663.几何解释:3.几何解释:367例1证例1证368二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限369高等数学课件精华版3702.几何解释:注意：2.几何解释:注意：371例2证例3证例2证例3证372例4证函数在点x=1处没有定义.例4证函数在点x=1处没有定义.373例5证例5证3743.单侧极限:例如,3.单侧极限:例如,375左极限右极限左极限右极限376左右极限存在但不相等,例6证左右极限存在但不相等,例6证377三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性378推论3.不等式性质定理(保序性)推论3.不等式性质定理(保序性)379定理(保号性)推论定理(保号性)推论3804.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理381证证382例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任383例7证例7证384二者不相等,二者不相等,385四、小结函数极限的统一定义(见下表)四、小结函数极限的统一定义(见下表)386过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后过程时387思考题思考题388思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.389一、填空题:练习题一、填空题:练习题390高等数学课件精华版391练习题答案练习题答案392一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限393一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限394一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限395一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限396一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限397一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限398一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限399一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限400一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限401高等数学课件精华版402一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.403例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以4042.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性405意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷406注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.407定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证408推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.409二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.410特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很411不是无穷大．无界，不是无穷大．无界，412证证413三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数414意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.415四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点416思考题思考题417思考题解答不能保证.例有思考题解答不能保证.例有418一、填空题:练习题一、填空题:练习题419高等数学课件精华版420练习题答案练习题答案421高等数学课件精华版422一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得423高等数学课件精华版424推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，425二、求极限方法举例例1解二、求极限方法举例例1解426小结:小结:427解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2428解例3(消去零因子法)解例3(消去零因子法)429例4解(无穷小因子分出法)例4解(无穷小因子分出法)430小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以431例5解先变形再求极限.例5解先变形再求极限.432例6解例6解433例7解左右极限存在且相等,例7解左右极限存在且相等,434三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多435思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？思考题在某个过程中，若有436思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．思考题解答没有极限．假设437一、填空题:练习题一、填空题:练习题438二、求下列各极限:二、求下列各极限:439高等数学课件精华版440练习题答案练习题答案441高等数学课件精华版442一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”443定义:定义:444例1解例2解例1解例2解445常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,446二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证447例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替448例4解解错例4解解错449例5解例5解450三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于451思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？452思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时思考题解答不能．例当时都是453练习题练习题454高等数学课件精华版455高等数学课件精华版456练习题答案练习题答案457高等数学课件精华版458高等数学课件精华版459一、函数的连续性1.函数的增量一、函数的连续性1.函数的增量4602.连续的定义2.连续的定义461高等数学课件精华版462例1证由定义2知例1证由定义2知4633.单侧连续定理3.单侧连续定理464例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,4654.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区466例3证例3证467二、函数的间断点二、函数的间断点4681.跳跃间断点例4解1.跳跃间断点例4解4692.可去间断点例52.可去间断点例5470解注意

可去间断点只要改