可靠性概论-统计算例

统计的算例华东理工大学机械与动力一、英国数学家

·在1763年（Thomas

Bayes）的一篇论文中，首先提出了这个定理。实际上就是计算"条件概率"的公式。所谓"条件概率"（Conditional

probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。定理根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B

发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以二、全概率公式全概率公式它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。推断的含义把P(A)称为"先验概率"（Priorprobability），即在B事件发生之前，

对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior

probability），即在B事件发生之后，

对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。所以，条件概率可以理解成下面的式子：后验概率

＝

先验概率

ｘ调整因子这就是

推断的含义。

先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。【例子】水果糖问题第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有

30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？解

水果糖问题假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，

把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。解

水果糖问题再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知

E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。

把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。根据条件概率公式，得到解

水果糖问题已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，【例】水果糖问题

这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。公式考虑一个实验样本，由相互独立的子集Bj所组成；其中对于任意一个事件A，包含有事件Bj

。P

Bi

Aj

jP

A

Bi

P(Bi

)

P

A

Bi

P(Bi)P

AP

A

B

P

B

nj

1例1一种某如下记录：概率为95%，非问题的试剂，经临床试验有试验结果是阳性的试验结果是的概率为95%。现用这种试剂在某社区进行

普查，设该社区为0.5%，问断他是否患有反应为阳性时，该如何判？例1

解设A表示“反应为阳性”的事件，B表示“被者患

”的事件，则B1

B

,

B2

B构成一个完备事件群，由题意知P

A

B1

0.95,P

A

B2

1

P

A

B2

1

0.95

0.05,P

B1

0.005,P

B2

0.995.例1

解由公式易得：类似可得：的可能性很小，需要到由上可知，

患医院做进一步检查。1

111

1

2

2P

A

B

P

B

P

B

A

P

A

B

P

B

P

A

B

P

B

0.95

0.0050.95

0.005

0.05

0.995

0.087

8.7%.P

B2

A

0.913

91.3%.例题2

在儿童智商（IQ）测验在儿童智商（IQ）测验中，假定智商

X～N(θ,100)，其中θ为被测试儿童智商的真值（换而言之，如果对这个儿童做大量类似而又独立的这种测试，他的平均分数为θ）；例题2

在儿童智商（IQ）测验又假设θ的先验分布为N(100,225)，易知其

x

~

N

x,

2

,后验分布其中（n=1）；

x

r

2

2

2

2

2

x

r

2

4

100

9

x13

13

100

225

8,322

,

400

9x

,213

8,32.100

225例题2

在儿童智商（IQ）测验若这个儿童测试的得分为x=115，则由上述公式算的μ(x)=110.39，故此儿童智商的真值θ的后验分布

x

~

N

110.39,8,392

,从而θ的95%

区间为(

x1.96,

x1.96)

94.07,

126.69.例题2如果不用先验信息，仅用抽样信息，则按照经典方法，由X~N(θ,100)和该儿童测试得分

x=115，求得θ的置信水平为0.95的置信区间为，115

10

1.96

,

115

10

1.96

95.4

,

134.6.两个方法计算区间不同，而且意义不同，经典方法不能说“θ落入区间（95.4,

134.6）中

的概率为0.95”，也不能说“此区间盖住θ的概率为0.95”，在

下，这个区间还能有什么用？这就是经典置信区间常受到批评的原因。例题

3

食物一次郊游活动中发生食物的研究数据，参加郊游的320人中有304个回答了问卷。在食用的食物中，土豆沙拉和蟹肉被怀疑有问题（表3）。仅考虑怀疑最有问题的土豆沙拉。希望检验假设土豆沙拉和得病没有关系。食物配置吃蟹肉没有吃蟹肉土豆沙拉吃了没有吃吃了没有吃得病1204220没得病80312423例题

3

解：记p1=P（得病|吃了土豆沙拉）和p2=P（得病|没有吃了土豆沙拉）。X1表示在n1个吃土豆沙拉中得病的人数，X2

表示

n2

个没有吃土豆沙拉的人中得病的人数，则可认为X1和X2服从二项分布：X

i

~

B

ni

,

pi

i

1,

2

.例题

3

解：检验土豆沙拉和得病没有没有关系等价检验假设H0：p1=p2.取p1和p2的先验分布为Be

(i

,i

)(i

1,2),

11

122

22

21222220pdp

.则θ=p1-p2的后验密度为

X1

,

X

2

1

1X

1n

X

1n

X

1X

1

p1

p1

p例题

3

解：在本例中，样本量比较大，用近法计算后验分布。易知θ的后验分布渐进趋于正态分布N(a,b2)，其中1212,n1

n2nna

p

1

p2

,b2

p1(1

p1

)

p2

(1

p2

)p

X1

,p

X

2

.区间为：因此θ的100（1-α）%的a

bz

a

bz22例题

3

解：其中，zα/2位标准正态的上α/2分位数。对于食用了蟹肉的人来说，X1=120,

n1=200,X2=4,

n2=35,因此99%

区间为（0.337,

0.635）。而对没有食用蟹肉的人来说，X1=22,

n2=46,X2=0,

n2=23，因此99%

区间为（0.307,

0.650）。在这两种情况下，假设θ=0都是落在99%区间外面，因此有很强的

否定了零假设。例题4

彩电彩色电视机密度函数为其中：θ〉0是彩电的平均

。服从指数分布Exp(1/θ)，其f

x

1e

x

I

(x)(0,)例题4

彩电现从一批彩电中随机抽取n台进行

试验，试验到第r（1≤r≤n）台失效时为止，其失效时间为t1≤t2≤

…≤tn,

其它n-r台彩电直至试验停止（tr）时还没有失效，这样的试验称为定数截尾

试验，所得样本（t1,…,tr

）称为截尾样本。例题4

解假定θ的先验分布为逆伽玛分布г-1(α,β)，求这批彩电的平均

及其解设被抽取的n台彩电的下限。为X1,…,Xn,令X(1)≤…

≤X(n)为其次序统计量，记rt1=X(1),…,tr=X(r),可知T

tj

(n

r)trj

1是θ的充分统计量，例题4

解且给定θ时，2T/θ~χ2r

,故T的密度函数为2θ的先验密度和后验密度如下：g

t

ttr

1e(0,)

,

I

(t)

, (

0).

rr

t

(),0,

1e

I(t

)

r

(r

)r

1e

I0,

(

).

例题4

解显然，θ的后验分布为逆伽玛分布г-1(r+α,t+β).若取后验期望估计作为θ的

估计，则有

E

t

tr

1例4

具体算例设有13142台彩电

试验的数据，共计5369812台时，此外还有9240台彩电进行了三年现场

试验。总共进行了5547810台时试验。这些试验整理，彩电平均有250台失效，由先验数据不低于30000小时，它的10%的分位数θ0。1，大约11250小时。例4

具体算例其中第一个方程式由先验分布为逆伽马分布的数学期望E(θ)=β/(α-1)确定。

11250由此列出如下的两个方程：

1

30000.

d

0.1.

0例4

具体算例在计算机上解方程组，得α=1.956,

β=2.868。得到先验分布θ~г-1(1.956,2.868),后验分布θ|t~г-1(r+1.956,t+2.868)。例4

具体算例现随机抽取100台彩电，在规定条件下进行400小时

试验，没有一台失效，这时总的试验时间为t=100*400=40000（小时），r=0。可知彩电的平均

的

估计为2868

40000

44841(h)

tr

11.956

1例4

具体算例θ的1-η=0.9，

下限为

2,f

2t

L

1.956,

2868,t

40000,

r

0,

f

2r

3.912.例4

具体算例

2f2

t

2

40000

2868

7.645L

11215

小时.接近45000小时