高中数学第一章坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程课件北师大版

1.1.1平面直角坐标系与曲线方程1.1.1平面直角坐标系与曲线方程1.通过回顾平面直角坐标系,学会借助坐标系研究曲线和方程间的关系.2.了解曲线和方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法.3.能利用已知条件求出曲线方程.1.通过回顾平面直角坐标系,学会借助坐标系研究曲线和方程间的1.平面直角坐标系(1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系,如图所示.在平面直角坐标系中,有序实数对与坐标平面内的点具有一一对应关系,如图所示,对于任意一点P,都有唯一的有序实数对(x,y)与之相对应,这时(x,y)称作点P的坐标,并记为P(x,y),其中,x称为点P的横坐标,y称为点P的纵坐标;反之,对于任意的一个有序实数对(x,y),都有唯一的点与之对应.(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究曲线与方程间的关系.1.平面直角坐标系名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为2.中点坐标公式:在平面直角坐标系中,若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点为M(x,y),则【做一做1-1】

点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P'的坐标为(

).A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4)答案:B名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,P1(x1【做一做1-2】

已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限,则m的取值范围是

.

【做一做1-2】已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限2.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤(5)可以省略.2.曲线与方程【做一做2】

已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长为16,顶点A的轨迹方程可能是(

).解析:因为△ABC的周长为16,|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10.以BC所在的直线为x轴,过BC的中点作BC的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-3,0),C(3,0).答案:B【做一做2】已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC题型一题型二题型三题型一

利用坐标系解决代数问题【例1】

已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0.求:题型一题型二题型三题型一利用坐标系解决代数问题题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三(2)设y-x=b,即y=x+b,b为直线y=x+b在y轴上的截距,如图所示.若直线y=x+b与圆有公共点,则当且仅当直线与圆相切,且切点在第四象限时,b最小.反思选择合适的平面直角坐标系,把代数问题转化为平面几何问题,用坐标法加以解决.题型一题型二题型三(2)设y-x=b,即y=x+b,b为直线题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型二

利用坐标系解决几何问题【例2】

已知等边三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.分析:此题是平面几何中的最值问题,用平面几何法不易解决,考虑用坐标法解决.解:以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,题型一题型二题型三题型二利用坐标系解决几何问题题型一题型二题型三反思1.建立适当的平面直角坐标系,可使计算过程简单,便于化简运算.2.配方法是求最值的重要方法,应灵活运用.题型一题型二题型三反思1.建立适当的平面直角坐标系,可使计算题型一题型二题型三【变式训练2】如图所示,在△ABC中,AO是BC边上的中线.求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).证明:取线段BC所在的直线为x轴,点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设点A的坐标为(b,c),点C的坐标为(a,0),则点B的坐标为(-a,0).可得|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AO|2=b2+c2,|OC|2=a2.∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).题型一题型二题型三【变式训练2】如图所示,在△ABC中,AO题型一题型二题型三题型三

利用坐标系解决实际问题【例3】

我海军某部发现一艘敌舰从离岛屿O正东方向80nmile的B处,沿东西方向向岛屿O驶来.指挥部立即命令在岛屿O正北方向40nmile的A处的我军舰沿直线前往拦截,以东西方向为x轴,南北方向为y轴,岛屿O为坐标原点,建立平面直角坐标系并标出A,B两点.若敌我两舰行驶的速度相同,在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置,并求出该点的坐标.分析:先画出坐标系,标出A,B的位置,再根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标.题型一题型二题型三题型三利用坐标系解决实际问题题型一题型二题型三解:A,B两点如图所示,A(0,40),B(80,0),所以|OA|=40

n

mile,|OB|=80

n

mile.设我军舰直行到点C与敌舰相遇,且点C的坐标为(x,0),所以|OC|=x

n

mile,|BC|=|OB|-|OC|=(80-x)

n

mile.因为敌我两舰速度相同,所以|AC|=|BC|=(80-x)

n

mile.在Rt△AOC中,|OA|2+|OC|2=|AC|2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.所以点C的坐标为(30,0).反思利用坐标系解决实际问题的关键是分析清楚题意,根据题意建立适当的平面直角坐标系或利用已有的平面直角坐标系建立相关点的关系式,从而解决实际问题.题型一题型二题型三解:A,B两点如图所示,A(0,40),B题型一题型二题型三【变式训练3】

台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A地正东40km处.求城市B处于危险区内的时间.解:以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,垂直于直线AB的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则点B的坐标为(40,0),以点B为圆心,30为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=900,台风中心移动到圆B内时,城市B处于危险区,台风中心的移动轨迹为直线y=x,与圆B相交于M,N两点,点B到直线y=x的距离题型一题型二题型三【变式训练3】台风中心从A地以20km123451已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-1,2),(3,0),(5,1),则点D的坐标是(

).A.(9,-1) B.(-3,1) C.(1,3) D.(2,2)答案:C123451已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(123452若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(3,-4),C(1,7),则△ABC的形状是

.

答案:直角三角形

123452若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,4),1234512345123454已知△ABC的三边长a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是

.

答案:垂直

123454已知△ABC的三边长a,b,c满足b2+c2=5123455说明下列方程所表示的曲线:123455说明下列方程所表示的曲线:12345123451.1.1平面直角坐标系与曲线方程1.1.1平面直角坐标系与曲线方程1.通过回顾平面直角坐标系,学会借助坐标系研究曲线和方程间的关系.2.了解曲线和方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法.3.能利用已知条件求出曲线方程.1.通过回顾平面直角坐标系,学会借助坐标系研究曲线和方程间的1.平面直角坐标系(1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系,如图所示.在平面直角坐标系中,有序实数对与坐标平面内的点具有一一对应关系,如图所示,对于任意一点P,都有唯一的有序实数对(x,y)与之相对应,这时(x,y)称作点P的坐标,并记为P(x,y),其中,x称为点P的横坐标,y称为点P的纵坐标;反之,对于任意的一个有序实数对(x,y),都有唯一的点与之对应.(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究曲线与方程间的关系.1.平面直角坐标系名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为2.中点坐标公式:在平面直角坐标系中,若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点为M(x,y),则【做一做1-1】

点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P'的坐标为(

).A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4)答案:B名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,P1(x1【做一做1-2】

已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限,则m的取值范围是

.

【做一做1-2】已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限2.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤(5)可以省略.2.曲线与方程【做一做2】

已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长为16,顶点A的轨迹方程可能是(

).解析:因为△ABC的周长为16,|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10.以BC所在的直线为x轴,过BC的中点作BC的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-3,0),C(3,0).答案:B【做一做2】已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC题型一题型二题型三题型一

利用坐标系解决代数问题【例1】

已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0.求:题型一题型二题型三题型一利用坐标系解决代数问题题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三(2)设y-x=b,即y=x+b,b为直线y=x+b在y轴上的截距,如图所示.若直线y=x+b与圆有公共点,则当且仅当直线与圆相切,且切点在第四象限时,b最小.反思选择合适的平面直角坐标系,把代数问题转化为平面几何问题,用坐标法加以解决.题型一题型二题型三(2)设y-x=b,即y=x+b,b为直线题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型二

利用坐标系解决几何问题【例2】

已知等边三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.分析:此题是平面几何中的最值问题,用平面几何法不易解决,考虑用坐标法解决.解:以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,题型一题型二题型三题型二利用坐标系解决几何问题题型一题型二题型三反思1.建立适当的平面直角坐标系,可使计算过程简单,便于化简运算.2.配方法是求最值的重要方法,应灵活运用.题型一题型二题型三反思1.建立适当的平面直角坐标系,可使计算题型一题型二题型三【变式训练2】如图所示,在△ABC中,AO是BC边上的中线.求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).证明:取线段BC所在的直线为x轴,点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设点A的坐标为(b,c),点C的坐标为(a,0),则点B的坐标为(-a,0).可得|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AO|2=b2+c2,|OC|2=a2.∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).题型一题型二题型三【变式训练2】如图所示,在△ABC中,AO题型一题型二题型三题型三

利用坐标系解决实际问题【例3】

我海军某部发现一艘敌舰从离岛屿O正东方向80nmile的B处,沿东西方向向岛屿O驶来.指挥部立即命令在岛屿O正北方向40nmile的A处的我军舰沿直线前往拦截,以东西方向为x轴,南北方向为y轴,岛屿O为坐标原点,建立平面直角坐标系并标出A,B两点.若敌我两舰行驶的速度相同,在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置,并求出该点的坐标.分析:先画出坐标系,标出A,B的位置,再根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标.题型一题型二题型三题型三利用坐标系解决实际问题题型一题型二题型三解:A,B两点如图所示,A(0,40),B(80,0),所以|OA|=40

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mile,|OB|=80

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mile.设我军舰直行到点C与敌舰相遇,且点C的坐标为(x,0),所以|OC|=x

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mile,|BC|=|OB|-|OC|=(80-x)

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mile.因为敌我两舰速度相同,所以|AC|=|BC|=(80-x)

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mile.在Rt△AOC中,|OA|2+|OC|2=|AC|2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.所以点C的坐标为(30,0).反思利用坐标系解决实际问题的关键是分析清楚题意,根据题意建立适当的平面直角坐标系或利用已有的平面直角坐标系建立相关点的关系式,从而解决实际问题.题型一题型二题型三解:A,B两点如图所示,A(0,40),B题型一