初中八年级几何(上)

八年级上册RJ

第H^一章三角形

11.1与三角形有关的线段教材知识全解知识点一三角形及其有关概念.三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段苜尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。如图11-1-1所示，顶点式A,B,C的三角形，记作ABC,读作“三角形ABC”。.三角形的有关概念及其表示法⑴顶点：点A,点B,点C称为三角形ABC的三个顶点。如图11-1-1所示，顶点即为三角形两边的公共点。（2）边：组成三角形的三条线段称为三角形的边。如图11-1-1所示，AABC有三条边AB,BC,ACo（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角。如图11-1-1所示，BAC,ABC,ACB是△的三个内角。详解：⑴三角形的表示方法中“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排，BPAABC,ABAC,AACB,ABCA,ACAB,ACBA为同一个三角形。⑵角的两边为射线，三角形的三条边为线段。⑶三角形每两条边所组成的角角三角形的内角。三角形一边及另一边延长线所组成的角叫做三角形的外角。⑷由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边叫做这个角的对边。同理，这个角也叫做这条边的对角。例如：图11-1-1中，A的对边是BC（经常也用a表示），B的对边是AC（经常也用b表示），C的对边是AB（经常也用c表示）；AB的对角C,BC的对角，AC的对角。例1图1-1-2中有几个三角形，将它们分别表示出来，并指出它们的顶点和边。

知识点二三角形的分类三角形分类有两种方法：⑴按角分类；⑵按边分类。⑴按角分类三角形⑵按边分类三角形详解：⑴锐角三角形指所有内角都是锐角的三角形；直角三角形指有一个内角是直角的三角形；钝角三角形指有一个内角是钝角的三角形。（2）等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形；等边三角形是指三条边逗相等的三角形（等边三角形是等腰三角形的一个特例）例2设M表示宜角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰宜角三角形，则下列四个选项中，能表示它们之间关系的是（）知识点三三角形的三边关系1.定理：三角形两边的和大于第三边。如图11-1-3所示，上述内容可表示为a+b>c,b+c>a,a+c>b。理论根据：两点之间线段最短。.推论：由a+b“，根据不等式的性质，得c-b<a,即三角形两边的差小于第三边。.利用三角形三边的关系，在已知两边的三角形中，可以确定第三遍的取值范围，以及判断任意三边线短能否构成三角形。详解：⑴三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，如图n-1-3所示,在Z\ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,则有a+b>c,b+c>a,a+c>b三个不等式同时成立，即三角形三边的长a,b,c满足上面所给的三个不等式。⑵长度为a,b,c的三条线段能构成三角形，则这三条线段应同时满足a+b>c,b+c>a,a+c>b,也就是说线段a,b,c任意两条线段长之和大于第三条线段时，以a,b,c三条线段为边才能构成三角形。若有一个不成立，则长度为a,b,c的三条线段不能构成三角形。⑶在具体应用这一定理，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段的长度之和大于第三条线段长，即可判定这三条线段能够成一个三角形，例如长度为3,4,5的线段，5>4>3,4和3这两条线段是较短的，而3+4>5,所以三条线段能够成是三角形。又如长度为1,2,4的三条线段不能构成三角形，因为较短的两条线段长度之和为1+2=3,小于较长的线段长度。⑷三角形两边的差小于第三边，同上所述，三角形任意两边之差小于第三边,故同时满足4ABC三边a,b,c的不等式也应有二个：a>c-b,b>a-c,c>b-a.⑸定理及推论是构成三角形的三遍的性质，也是三条线单能否构成三角形的判定依据。例3以下列各组线段的长为边能构成三角形的是 （）A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cmC.l2cm,5cm,6cmD.2cm,3cm,6cm知识点四三角形的三条重要线段.三角形的高三角形的高：从三角形一个顶点向它的对•边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。如图11-1-4所示。详解：⑴高的叙述方法:①AD是aABC的高；②ADBC,垂足为D；③D点在BC上，且BDA=CDA=90°.⑵钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高。锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于一点，如图11-1-5①所示；直角三角形两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部,它们的交点时直角顶点，如图11-1-5②所示；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，但三条高所在直线相交于三角形外一点，如图11-1-5③所示。⑶推论方法：如图11-1-5①所示，因为AD是AABC中BC边上的高（已知），所以ADBC于D（或ADB=ADC=90°）«逆向：因为ADBC于D（或ADB=ADC=90°）（已知），所以AD是4ABC中BC边上的高（高的定义）。⑷高的画法：可根据高的定义，利用三角形作直角。注意：⑴三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线。⑵在钝角三角形中，画钝角两边的高时，先要延长边，然后再画垂线段。.三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。详解：推理方法：如图11-1-6所示，因为AD为AABC中BC边上的中线（已知），所以BD=DC=BC,或BC=2BD=2DC,或D为BC的中点。逆向：因为BD=DC（或BD=DC=BC,或2BD=2DC=BC,或BD=DC=BC,或2BD=2DC=BC,或D为BC的中点）（已知），所以线段AD为4ABC中BC边上的种N（中线定义）。

注意：⑴三角形的三条中线是三角线段。⑵三条中线都在三角形内部且交于一点。⑶一条中线把三角形的面积平分。.三角形的重心三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。详解：⑴如图11-1-7,在△ABC中，中线AD、BE、CF相交于点O,则点O叫做4ABC的重心。⑵三角形的重心将三角形的每条中线都分成1:2的两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点剧烈的2倍。⑶取一块质地均匀的三角形木板，用手指向上顶住木板三条中线的交点，木板会保持平衡。

这个平衡点就是这块三角形目标的重心。.三角形的角平分线三角形的角平分线：三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。详解：⑴推理方法：如图11-1-8所示。因为AD是AABC的角平分线（已知）。所以==8人。逆向：因为=（=BAC,=BAC）（已知），所以线段AD是4ABC的角平分线（角平分线定义）⑵角平分线画法：三角形的角平分线的画法和角平分线的画法相同，可以用侧角器。注意：⑴一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，相交于一点。⑵三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。例4如图11-1-9所小，完成卜列问题。（DAD是4ABC的角平分线，则=⑵AE是△ABC的中线，则= =（3）AF是△ABC的高，则= =90°

知识点五三角形的稳定性三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。详解：如图11-1-10所示，在生产、生活中见到的起重机、屋顶钢架、镜框反面等都是三角形形状，而活动挂架、放缩尺却是四边形的形状，你知道这是为什么吗？起重机、屋顶钢架、镜框反面都是利用了二角形的稳定性，而活动挂架、放缩尺是利用了四

边形的不稳定性。三角形的的稳定性是三角形特有的性质，而四边形具有不稳定性。例5如图11-1-11所示，工人师傅砌门时常用末条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是.经典例题全解题型一三角形中边与角的识别例1如图11-1-12所示。_边的对角。_边的对角。三个内角是⑴图中共有个三角形，它们是；⑵以AD为边的三角形有.(3)C分别为AAEC,AADC,AABC中(4)AED是,的内角；⑸△AED的三条边是 点拔三角形必须同时满足两个条件：⑴三条线段不共线；⑵三条线段首尾顺次相接。每条边对角是三角形的内角。题型二根据三角形的三边关系求边长。例2已知等腰三角形的两边为9cm和4cm,求此三角形的周长。点拔遇到有关等腰三角形的问题，要注意运用分类讨论的思想全面考虑问题，还应注意综合运用相关知识，力求准确、合理、做到不重、不漏。11.2 与三角形有关的角教材知识全解知识点一三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°。几何表达式：在AABC中，A+B+C=180°详解：三角形内角和定理的证明有多种，现举例几种常见的思路。⑴如图11-2-1所示，延长BC到E,作CD〃AB。因为AB〃CD（已作），所以N1=NA（两直线平行，内错角相等），ZB=Z2（两直线平行，同位角相等）。又因为NACB+N1+N2=18O°（平角定义）所以NACB+NA+NB=180°（等量代换）。⑵如图11-2-2所示，在BC边上任取一点D,作DE〃AB,交AC于点E,作DF〃AC,交AB于F.

因为DF〃AC（已作），所以N1=NC（两直线平行，同位角相等），N2=NDEC（两直线平行，内错角相等）。因为DE〃AB（已作），所以N3=NB,ZDEC=ZA（两直线平行，同位角相等）。所以NA=N2（等量代换）。又因为Nl+N2+N3=180°（平角定义），所以NA+NB+/C=180°（等量代换）。⑶如图11-2-3所示，已知ABC,过顶点A作直线AD〃BC,由平行线的性质得N1=/B,Z2=ZC（两直线平行，内错角相等）。因为N1+NBAC+/2=18O°（平角定义），所以/B+NBAC+NC=180°（等量代换），即三角形三个内角的和等于180°。⑷如图11-2-4所示，过点A作直线，过点B作直线〃，过点C作直线〃.

因为〃.（已作），所以N1=N2（两直线平行，内错角相等），同理N3=N4.又因为〃（已作），所以N5+Nl+N6+/4=180°（两直线平行，同旁内角互补）所以N5+N2+N6+/3=180°（等量代换）又因为/2+N2=NACB,所以NBAC+NABC+NACB=180°（等量代换）拓展：⑴已知三角形两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角，或已知各角之间关系，利用三角形内角和定理可求各角。⑵三角形内角和定理的证明是通过平行线将三角形的内角进行替换，证明思路可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角等几方面进行思考。⑶因为三角形内角和为180°,所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。例1己知三角形三个内角的度数之比为1:3:5,求这三个内角的度数。知识点二直角三角形的表示方法及其性质表示方法：通常我们用符号””表示，直角三角形ABC可以写出“ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，其余两条边叫做直角边。如图11-2-5所示。

性质：1.直角三角形的两个锐角互余。在ABC中，ZC=90",则NA+NB=90。»2.有两个角互余的三角形是直角三角形。在R_tZ\ABC中，NA+NB=90°,则AABC为直角三角形，且NC=90°.例2如图11-2-6所示，DF_LAB与F,NA=40°,ACJ_BD于C,求ND的度数。知识点三三角形的外角及其性质1.三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。详解：如图11-2-7所示，NACD的两边中的一边是△ABC的一边AC,另一边是BC的延长线，所以NACD是AABC的一个外角。⑴三角形外角的特点：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形另一边的延长线。⑵三角形的一个顶点处有两个外角，它们是一对对顶角。2.三角形外角的性质⑴三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。⑵三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。详解：如图11-2-7所示，ZACD=ZB+ZA,ZACD>ZB,ZACD>ZA.⑴理由如下：因为NA+NB+NACD=180°（三角形内角和等于180°）,所以NACD>NB,NACD>NA,即三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。拓展：在三角形的每一个顶点处都有两个外角（它们是一对对顶角），从每个顶角处取出一个外角，这三个外角的和称为三角形外角和，三角形的外角的性质是：三角形的外角和等于360°三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几个方面应用：①已知外角与和它不相邻两个内角中的一个，求另一个内角；②可证一个叫等于另两个角的和；③经常利用它作为中间关系证明两个角相等。例3如图H-2-8所示，在AABC中，NB=NC,D在BA的延长线上，ZDAC=110°,求NB的度数。

经典例题全解题型一利用三角形的内角和定理判定三角形的形状例1适合下列条件饿AABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。⑴NA=80°,ZB=25°;⑵NA:NB:NC=1:2:3;(3)ZA=ZB=ZC点拔本题主要运用了三角形内角和定理，列方程解几何计算题是用代数方法解几何题的常用方法之一。题型二运用三角形内角和定理求与三角形有关的角度例2如图11-2-9所示，在4ABC中，ZB=63°,ZC=51°,AD是BC边上的高。AE是NBAC的平分线，求NDAE的大小。

点拔若已知三角形中两个内角的度数，可根据三角形内角和定理求出第三个内角的大小。题型三三角形外角性质的应用例3如图11-2-10,BC_LED与O,ZA=27°,ZD=20°,求NB和NACB。点拔求角时，一般可以吧所求角看作是某一个三角形的内角进行分析，如果在图中发现了内角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑用三角形外角性质，这些结合起来,问题就容易解决了。11.3多边形及其内角和教材知识全解知识点一多边形的有关概念.多边形在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形，如三角形、四边形、•••,三角形是最简单的多边形。.多边形的内角、外角、对角线⑴内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。⑵外角：多变形的边与它的邻边延长线组成的角叫做多边形的外角。⑶对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。①从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把这个多边形分成（n-2）个三角形；②n边形共有条对角线。.凸多边形画出多边形的任何•条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同•侧，那么这样的多边形叫做凸多边形。.正多边形在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。详解：1.理解多边形的概念时要注意以下几点：⑴多边形是由“不在同一直线上”的线段首尾顺次相连组成的图形：⑵多边形必须是“平面图形”（3）n为大于或等于3的正整数，有几条边就叫做几边形；⑷如图11-3-1所示的图形也是多边形，它称为凹多边形，现阶段研究的是如图11-3-2所示的凸多边形，即把多边形的任意•边向两边延长，其他各边都在这条边所在直线的同•侧。.多边形的边数、顶点数及角的个数相等。.三角形没有对角线。.正多边形必须满足定义中的两个条件，缺一不可。如：各边都相等的多边形不一定是正多边形（如菱形）：各角都相等的多边形不一定是正多边形（如矩形）。例1填空⑴从八边形的一个顶点出发的对角线将八边形分成个三角形；⑵七边形共有条对角线；⑶.从正六边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将正六边形分成个三角形，正六边形共有条对角线。知识点二多边形的内角和N边形的内角和：n边形内角和等于（n-2）・180°。详解：1.多边形内角和的证明方法：⑴如图11-3-3①所示，在n边形内任取一点，并把这个点与各顶点连接薪艾，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n•180°,在减去一个周角，即得到n边形的内角和为（n-2）•180°。⑵如图11-3-3②所示，过n边形的一个顶点连对角线，可以得到（n-3）条对角线，并且将n边形分成（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的内角和恰好是n边形的内角和，等于（n-2）•180°«⑶如图11-3-3③所示，在n边形的一边上取一点与各顶点相连，得到（n-1）个三角形，n边形内角和等于这（n-1）个三角形的内角和减去咋所取点处的一个平角，即（n-1）-180°..正n边形的各个内角都相等，其度数为。.利用多边形的内角和公式可以解决一下两类问题：⑴已知多边形的内角和，求其边数；⑵已知多边形的边数，求其内角和。例2 一个多边形的内角和是1260°,求它的边数。知识点三多边形的外角和.在多边形每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。.多边形的外角和等于360°。详解：1.多边形的外角和的证明方法：多边形的每一个内角与和它相邻的外I啊哦是邻补角，所以n边形的内角和加外角和等于n•180°-(n-2)•180°=360°..n边形的外角和与边数无关，总是等于360。。.正n边形的各个外角都相等，度数为。.求正多边形每个内角的度数时，有时借助外角会更简便。.外角和定理的应用：⑴已知外角度数求正多边形边数；⑵已知正多边形边数求外角度数。例3.⑴一个多边形的每个外角都是45°,求它的边数；⑵某多边形的内角和与外角和共1080°,求多边形的边数。经典例题全解题型一求多边形的边数与角度例1在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求多边形的边数。点拔每个内角都有一个相邻的外角，没对相邻的内角与外角的和都是180°,因为各个内角都相等，所以所有的外角也都相等。题型二求对角线的条数例2已知一个多边形的内角和与外角和的比是2:1,求这个多边形对角线的条数。点拔n边形一共有条对角线，其中n是多边形的边数。题型三综合应用例3如图11-34,求N1+N2+N3+N4+N5+/6+N7的大小。点拔求这类不规则多边形的各角之和的问题常常通过连接两点把要求的角的度数和转化为规则多边形的内角和。第十二章全等三角形全等三角形教材知识全解知识点一全等形全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。详解：⑴全等形关注的是两个图形的形状和大小，而与图形所在位置无关。⑵判断两个图形是否全等，只要将它们叠合在一起，若完全重合，则两个图形是全等形：否则就不是。⑶判断图形全等需要两个要素：①形状相同；②大小相等。两者缺一不可。例1如图12-1-1,观察图中各个图形，指出其中全等的图形。补图知识点二全等三角形.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点骄纵对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。.全等三角形的表示：两个三角形“全等”，用符号“二”来表示，读作“全等于"。如图12-1-2,Z\ABC与△全等。记作△ABC@Z\ABC,读作4AB全等于△A'BC。补图例2.已知：如图12-1-3(1),ZXABC平移后得到ADEF：如图12-1-3(2),Z^AOB沿直线L翻折后得到△COD；如图12-1-3(3),4ABC绕点A旋转后得到AADE,则4ABC—△DEF,AAOB ACOD,AABC AADEo补图知识点三全等变换全等变换是指只改变图形的位置，而不变图形的形状和大小的改变。详解：课本上出现了下面三组变化的图形，这三组图形各自代表不同的变换方式，其变换前后的两个全等三角形全等。⑴平移：如图12-14①，将AABC沿着BC方向平移一段距离后到达4DEF的位置，平移前后两个三角形全等，这种变换称为平移变换。⑵翻折：如图12-14②，将AABC沿着BC翻折得到ADBC,翻折前后的两个三角形全等,这种变换称为翻折变换。⑶旋转：如图12-14③，将AABC绕点A逆时针旋转180°后得到AAED,旋转前后的两个三角形全等，这种变换称为旋转变换。补图经过图形的变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来，在上面这三种变换中，变换前后的两个图形扔然全等，这三种变换也称为全等变换。例3.如图12-1-5,AABC与4DEF全等，问经过怎样的图形变换，可使这两个三角形重合？补图知识点四对应顶点、对应边、对应角对应顶点，对应边，对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。如图12-1-6所示，Z^ABC与4DEF全等，记作AABC会Z\DEF,其中点A和D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边；NA和ND,ZB和NE,NC和NF是对应角。补图详解：寻找对应边和对应角的常用方法：对应角：①对应边所对的角是对应角；②两条对应边所夹的角是对应角：③有公共角，公共角一定是对应角；④有对顶角，对顶角一定是对应角；⑤一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角。对应边：①对应角所对的边是对应边；②两个对应角所夹的边是对应边；③有公共边公共边一定是对应边：④一对最长的边是对应边一对最短的边是对应边。例4如图12-1-7,AACB^ABDA,AC和BD对应，BC和AD对应，写出其他的对应边及对应角。补图知识点五全等二角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。详解：由于全等三角形是两个能够完全重合的三角形，因此它们的对应边、对应角也能完全重合，所以全等三角形的已知的条件是两个三角形全等。在全等三角形的这两条性质中，已知的条件是两个三角形全等，得到的结论是对应边相等和对应角相等，因此在今后的证明过程中，要证明两条线段线段相等或两个三角相等，常常通过证明两个三角形全等来实现。由于全等的两个三角形能够完全重合，因此这两个三角形对应边上的中线、高、对应角的平分线也能重合，因此也应该相等，同样道理，全等三角形的周长和面积显然也相等。例5如图12-1-8所示，AADF^ACBE,且点E,B,D,F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并加以说明。补图点拔可以初步判断AD和BC的位置关系式平行，欲说明AD〃BC,需说明N3=/4,要说明N3=N4,利用三角形外角性质可以证明。经典例题全解题型一运用全等三角形的性质求角度及线段长例1如图12-1-9,B,E、C、F在同一直线上，ZXABC空△DEF,ZA=75°,ZB=60°,BE=5,求NF的度数与CF的长。补图点拔在应用全等三角形的性质时根据需要选取对应边、对应角，同时要结合三角形的内角和进行计算。题型二利用全等变换解决几何问题例2如图12-1-10所示，图中是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到ADEF。如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为.补图点拔根据全等三角形的面积相等，将求阴影部分面积转化为求梯形ABEH的面积。例3如图12-1-11所示，z^ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△»£€：,且NACB=90°。(1)AABC和4DEC是否全等？若全等，指出对应边和对应角。(2)直线AB、DE有怎样的位置关系？补图点拔旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变。12.2三角形全等的判定教材知识全解知识点一三角形全等的判定方法一一一边边边三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。详解：1.满足三角三边六个条件中的一个或两个对应相等，不能保证三角形全等。按下列给出的条件画三角形：⑴一条边茶馆是4cm；⑵一个角是50°；⑶两个分别是50°、60°：⑷一条边长是3cm,一个角是60°。发现每个小题所画的三角形可以大小不同，形状不同。比如⑴中边长为4cm的三角形可以是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形多种情况，因此他们不可能全等。由此我们可以得出结论：满足三角形三边三角六个条件中的一个或两个对应相等，不能保证两个三角形全等。.探究(利用“SSS”尺规作图作出全等三角形)。已知：AABC,求作：△A'B'C,使AB=AB,'BC=BC,A'C'=AC.具体作法：⑴画线段BC'=BC；⑵分别以B,C,为圆心，线段AB,AC为半径画弧，两弧交于点A，；⑶连接AB、A'C'o则△ABC即为所求作的三角形。如图12-2-1.补图得出结论：如果三角形的三边确定了，三角三饿形状和大小也就确定了，这就是三角形的稳定性。.应用说明。⑴思路：判定两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边对应相等。⑵书写格式：如.应用说明⑴思路：判定两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边对应相等。⑵书写格式：如在AABC中和8'C’中，AB=AB,BC=夕C,AC=4。。/.△ABCBABc,⑶注意事项：有的题目可以直接从题中和图中找到全等的条件，而有些题目的一知条件隐含在题设和图形之中，如;公共边、公共角、对顶角等，解题时一定要认真读图，准确把握题意，找准所需条件。.三对对应角相等不能说明两个三角形全等。如图1222,在AABCfHAADE中，DE〃BC,由平行线的性质，可知:NADE=NB,ZAED=NC,ZA=ZA,但是4ABC和AADE不全等。所以有三对角对应相等的两个三角形不一定全等。补图例1如图12-2-3,点E、F在BC上，AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C在同一直线上,求证;△ABF/ZXDCE。补图知识点二三角形全等的判定方法二——边角边两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）o详解：1.探究（利用“SAS尺规作图作出全等三角形"）。已知：AABC,求作：△A'8'C',是A'8=AB,ZA=ZA,AC=AC.作法：⑴作NDA'E=NA；⑵在射线Ad上截取A8=AB,在射线Ae上截取Ac=ac；⑶连接5c'.则4ABC即为所求作的三角形。如图12-2-4.补图所作出的△A夕C和^ABC形状、大小完全相同。得出结论：如果三角形的两边以及这两边的夹角确定了，三角形的形状和大小也就确定了。.应用说明。（D“SAS”是指判定两个三角形全等的条件时两条边及这两条边的夹角对应相等，其中的夹角是指两条已知边的夹角，而不是其中一边的对角。⑵在列举两个三角形全等时，要按照“边-角-边”的顺序排列条件，这样能突出两边、夹角对应相等。⑶书写格式：如图12-2-5所示，在ZkABC和△A6C中，补图+补资料⑷判断两个三角形全等的思路如下表：已知条件可选择的判定方法寻找对应相等或两边的夹角对应相等两边对应相等 SSS或SAS 第三边对应相等或两边的夹角对应相等一边一角（非对角）对应相等SAS 已知角的另一条边对应相等.如果两边一角中，角不是两边的夹角，则不能判定这两个三角形全等。反例：如图12-2-6,在AABC和4ABD中，ZB=ZB,AB=AB,AC=AD,但是在AABC和△ABD并不全等。补图例2如图12-2-7,在AB=CD,AB〃CD,CE=AF。判断在4ABE和4CDF是否全等，并说明理由。补图知识点三三角形全等的判定方法三、四--角边角、角角边两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。两个角和其中一个叫的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。详解：1.探究（利用“ASA”尺规作图作出全等三角形）。已知:AABC,求作：△ABC,使AB=AB,/A=NA,=ZB.作法：⑴作A8=ab；⑵在A'8的同旁画ndA'8=/a,fiE=ZB,A，D和8'e相交于点则△ABC'即为所求作的三角形。如图12-2-8.补图所作出的△A'8'C'和^abc形状、大小完全相同。这样我们得到三角形全等的判定方法三:三角形的两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。.由角边角公理推导角角边。已知：如图12-2-9,NA=/A'，NB=/8'，BC=B'C,求证：Z\ABC且△A'B,C。补图证明：•••NA=/A,NB=n5'，.•.NC=/C。在AABC和8'C中，nb=NB,BC=c,ZC=ZC,.,.△ABC^A^BC(ASA)«得出结论：两个角和其中一个叫的对边分别相等的两个三角形全等。.应用ASA和AAS证明全等的说明。⑴运用“ASA”证明三角形全等的书写格式：如图12-2-10在ZkABC和△A'8'C中,补图NA=NA,AC=AC,/c=/0。/.△ABC^A^BC(ASA)o运用“AAS”证明三角形全等的书写格式：如图12-2-11,在aABC和4A,8c中，补图NB=N»,/a=/A,aC=A'C。/.△ABC^A^BC(AAS).⑵三角形全等判定方法的选择：已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角分别相等选边：只能选角的另一边(SAS)选角：可选另外两对角中任意一对角(AAS、ASA)一边及它的对角分别相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角(AAS)两边分别相等选边：只能选剩下的一对对应边(SSS)选角：只能选两边的夹角(SAS)两角分别相等只能选边：可选任意一对对应边（AAS、ASA）例3已知：如图：12-2-12,点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O,AB=AC,ZB=ZC,求证：BD=CEo补图知识点四直角三角形全等的判定方法----斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。详解：探究（利用“HL”尺规作图作全等三角形）。已知RtZ\ABC,ZC=90°.画一个 ,使/C=90°,A'8=ab,B'C=BCo作法：⑴画N=90°；⑵在射线CM上截取8C=BC.⑶以点8为圆心，线段AB为半径画弧，交射线C,N于点A；⑷连接AB。则为△A8C即为所求作的三角形。如图,2.2-13.补图得到△48'C'与aabc是全等的。得出结论：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。2.HL应用说明。⑴HL是识别两个直角三角形全等特有的方法，应用此方法时要注意：①要保证两个三角形是直角三角形；②斜边相等；③任意一条直角边对应相等。⑵一般三角形全等的判定方法对判断两个直角三角形法，即SSS,SAS、ASA、AAS.HL。⑶书写格式：如图12-2-14,补图在RtAABC和RtAABC中，ab=AB,BC=BC：.RtAABC^RtAABC（hl）。⑷应用“HL”判定两个直角三角形全等时，耍突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”。例4已知：如图12-2-15所示，AD为AABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于E且有BF=AC,FD=CD。求证:BE±ACo补图经典例题全解题型一运用分析法证明三角形全等例1已知如图12-2-16,点A、E、B、D在同一条直线上，AE=DB,AC=DF,AC/7DF,请探索BC与EF有什么样的位置关系？并说明理由。补图点拔⑴两直线平行是和直角相等联系在一起的，当已知条件中出现平行或者证明平行时，要尽可能向两角相等的方向靠拢。⑵分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、公理，反过来寻找能使结论成立所需的条件，这样一步步的逆求，一直到结论成立的条件与一知条件吻合，即结论一己知。题型二运用“两头凑”法证明三角形全等例2如图12-247,已知：AB=CD,AD=BC,AE=CF.求证：。是AC的中点。补图点拔：“两头凑”的方法是先由已知条件结合已经学过的定义、定理、公理推导，看能推导出什么结论；同时由结论出发，反过来寻找能适结论成立所需的条件，一步步逆推，当正好和已知推导出来的结论相吻合时，问题即可得证。即：一中间条件一结论。题型三全等三角形性质与判定的综合运用例3如图12-2-18,已知BC、EF交于0点，AB〃CD,OA=OD,AE=DF。求证：BF〃CFo补图点拔由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等或两条线段相等常用的方法。题型四三点定形确定全等三角形例4已知，如图12-2-19,AD=BC,AC=BD,求证：ZC=ZD»补图点拔已知条件提供的线段相等一般是对应边相等，这时我们可以将这些线段置于三角形中，如AD与BD在同一个三角形中，这两条线段涉及的三个字母A、B、D确定了AABD,这就是三点定形法。题型五三角形全等于方案设计问题例5如图12-2-20,八年级数学兴趣小组要测量河中浅滩B（可看成一点）与时岸A之间的距离，先在另一岸边确定点C,使C、A、B三点在同一条直线上，再在AC的垂直方向上作线段CD,去CD的中点O,然后过点D作DFLCD,使F,O,A三点在同一直线上，在DF上取一点E,使E,O,B三点也在同一直线上。那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的距离，你能说出同学这样做的根据吗？补图点拔通过三角形全等，将不能直接测量的问题转化成可以测量的问题，是解决实际问题中常用的数学方法。题型六倍长中线构造全等三角形例6如图12-2-21,已知AABC中，AD是中线，AE是4ABD的中线，BA=BD,ZBAD=ZBDA,求证：AC=2AE补图点拔⑴本题也可以连接BF,线证明△ADEgAFBE,然后证明△FBAgAADC.⑵本题将AE延长加倍的好处：如果连接DF,则可得4ABEg△FDE;如果连接BF,则可证明△ADEgAFBE。由全等三角形能得出一些相等的线段和相等的角，从而为问题的最终解决创造条件。题型七截长补短法构造全等三角形例7已知：如图12-2-23,AB〃CD,BE平分NABC,CE平分NBCD。求证：BC=AB+CD。补图点拔⑴截长补短法适合解决形如“a=b+c”型的问题；⑵本题也可以延长BE,交CD的延长线于点E从而达到补短的目的。题型八全等三角形中的开放性问题例8如图12-2-26,AB=AC,AD_LBC于点D,AD=AE,AB平方NDAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。补图点拔像这样给出的条件比较多的题目，尤其是结论具有开放性的题目，应结合图形来分析,根据需耍有选择性地运用条件，保持思路清晰、畅通，直到得出符合题意的结论。题型九三角形全等于动态问题例9⑴如图12-2-27①，在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,过点A在AABC内引一直线L,分别过点B,C作直线L的垂线，垂足分别为D,E,探究BD,CE与DE之间的数量关系，并说明理由。⑵若直线L绕点A旋转至AABC的外部，如图12-2-27①，其他条件不变，BD,CE与DE之间又存在什么样的数量关系？请说明理由。补图点拔解这类题时要善于抓住一下几个特点:⑴变化钱的结论及说理过程对变化后的结论起到至关重要的作用；⑵图形在变化前后，明确哪些关系发生了变化，哪些关系没发生变化，变化钱的等角、等线段变化后还是否存在；⑶几种变化图形之间的说理思路存在内在联系，变化后说理思路都可模拟与借鉴变化之前的结论与过程。变化后的结论有时发生变化，有时不发生变化。12.3角的平分线的性质教材知识全解知识点一角平分线的定义.定义：角平分线是把一个叫分成两个相对的角的射线。.角平分线的尺规作图法（如图12-3-1）：⑴以0为圆心，适当长为半径作弧，交OA、0B于M、M两点；⑵分别以M、N为圆心，以大于31N的长为半径作弧，两弧在NAOB内部交于点C；⑶作射线0C。•••射线OC即为NAOB的平分线。详解：⑴作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作法，尺规作图是常用的方法。⑵尺规最土作角平分线的理论依据：①作法第一步保证了OM=ON；②作法第二步保证了CM=CNo在△OCM和AOCN中，CM=AOCM^AOCN（SSS）o।OC—OCi.,.ZCOM=ZCONo；.OC平分NAOB。例1已知，如图12-3-2所示，点C在直线AB上，过点C作一条直线垂直直线AB（尺规作图）。补图知识点二角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。详解：1.符号语言：已知：如图12-3-4,0P平方NAOB,PD_LOA于点D,PE_LOB于E,那么PD=PE。.角平分线性质的证明：证明：；OP平分NAOB,.\ZAOP=ZBOP.VPD±OA,PE±OB,/.：：PDO=ZPEO=90°.々0E,在aPOD和aPOE中,jNPD0=，的\OP=。凡.'.△POD且△POE（AAS）。/.PD=PEo.应用角平分线性质解题的格式：TOP平方NAOB,PD1OA,PE_LOB（已知）,.•.PD=PE（角的平分线上的点到角的两点的距离相等）。.角平分线性质的左右：由于角平分线性质的结论是两条线段相等，因袭角平分线的性质常用来证明两条线段相等。例2已知：如图12-3-5所示，0D平分NAOB,OA=OB,PM±BD,PN±AD,垂足分别为M,No求证：PM=PN。补图点拔利用角平分线性质定理解决相关线段相等问题比利用三角形全等去解决更直观、根快捷。知识点三角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。详解：⑴用符号语言表示：若P为NAOB内一点，PD1OA,PEJLOB于点E,且PD=PE,则P在NAOB的平分线上。⑵角平分线的判定定理的证明。证明：作射线0P,如图12-3-6.补图VPD±OA,PE1OB,ZODP=ZOEP=90°,在RtAODP和RtAOEP中,陶:黑RtAODP^RtAOEP(HL)。ZPOD=ZPOE,B|JP在NAOB的平分线上。⑶应用角平分线的判定解题的格式：•:PD±OA,PE±OB,PD=PE,AOP平分NAOB。⑷角平分线判定的作用：由于角平分线判定的结论是“某射线是角平分线”，所以利用此结论可以用来证明两个角相等。例3已知：如图12-3-7所示，12-3-7所示，BE=CF,BF±AC与F,CE±AB与E,BF和CE交于点D。求证：AD平分NBAC。补图点拔在有关角平分线的问题中，由角平分线的性质可得相等线段，反之由线段相等得角平分线。而欲证明某个点在一个叫的平分线上，只需过这一点向两边作垂线，在证明该点到角的两边的距离相等即可。这样把证“点在线上”的问题转化为“线段相等”的问题，体现了转化思想。知识点四证明问题命题的一般步骤证明一个几何文字命题时，通常按照以下步骤进行：⑴明确命题中的已知和求证；⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示出已知和求证；⑶经过分析，求出由已知推出求证的途径，写出证明过程。详解：①上面的步骤为证明文字命题的•般步骤，即解决文字命题时，必须先根据题意画出图形，在结合题意，写出已知、求证，然后再进行证明。①证明文字命题时，所画图形应符合题意，并具有代表性和一般性。③证明文字命题时，一定要分清题设和结论。为了方便划分命题中的题设和结论，我们可以将命题写成“如果 •，那么 ”或“若 •，则 ”等形式。④文字命题的证明与一般几何题的证明既有区别又有联系：文字命题的证明都需耍转化为•般几何命题去证明，即文字命题必须先根据题意去画图形，写出已知和求证，然后再按照一般几何命题去证明。一般几何命题证明时，只要按照题意和所给出的图形进行证明即可。此外文字命题在画图时，还需要考试是否存在不同的情形。若有，则需分别画图，在分别进行证明。例4求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等。知识点五三角形平分线的性质三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。详解：⑴三角形角平分线的性质实质上是角的平分线的性质的一种特例。本性质常用来解决三角形中垂线段相等的问题。⑵本条性质的题设是三角形的三条角平分线，而结论有两个：①交于一点：②该点到三条边的距离相等。⑶三角形两个外角的平分线的交点到三边所在直线的距离也都相等，而三角形两个外角平分线的交点共有三个，因此到三角形三边所在的直线距离相等的点共四个。例5如图12-3=9,已知BP、CP是4ABC的外角平分线，则点P必在NBAC的平分线上。补图经典例题全解题型一利用角的平分的性质解决三角形的周长问题例1如图12-3-11,在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD是/BAC的平分线，DE_LAB于E,若AB=10cm,求ADBE的周长。补图点拔本题由条件AD平分NBAC,DC±AC,DELAB,所得到的结论不仅是DC=DE,同时还有AC=AE,ZADC=ZADE,这些结论在以后解题时会经常用到。题型二利用角的平分线的性质求线段的长例2如图12-3-12,在△ABC中，AD平分NBAC,DEJ_AB于E,DF1,AC于F,AABC的面积是36cm，,AB=10cm,AC=8cm,求DE的长。补图点拔本题巧妙地运用了角的平分线的性质，把AABC的面积转化为两个三角形的面积之和,从而将求线段长得问题转化为解方程来解决。题型三利用角的平分线的性质解决方案设计问题例3如图12-3-13,李明计划在张村、李村之间建一家超市。张、李两村坐落在两相交公路内。超市的位置应满足下列条件：⑴使其到两公路的距离相等；⑵为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置。补图点拔角的平分线的实际应用大都与确定位置的问题有关，解决此类问题时，首先要把实际问题转化为角平分线的问题，再通过作图确定位置。解题时要注意：⑴用尺规作图；⑵把符合要求的点都作出来（不要漏解）：⑶如果作图中涉及比例尺的计算，要注意单位的换算。题型四利用角平分线的对称性构造全等三角形例4如图12-3-15,AD是等腰直角三角形4ABC的底角的平分线，ZC=900,求证:AB=AC+CD.补图点拔本题两种证明方法实际上都是利用了角平分线的轴对称性构造全等三角形。例5如图12-3-18,在四边形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分NABC,求证：ZA=ZC=180°。补图点拔构造全等二角形是转化角相等和线段相等的方法之一。第十三章轴对称13.1轴对称教材知识全解知识点一轴对称图形与对称轴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线（成轴）对称。详解：1.常见的轴对称图形。常见的轴对称图形以及它的对称轴。补图除了上述常见的轴对称图形外，例如两条相交且不垂直的直线也是轴对称图形，对称轴是两对顶角的平分线所在的直线。当然，两平行直线、两垂直直线也是轴对称图形。2.轴对称图形是一个图形，它的一部分和另一部分重合。例1图13-1-1中的图形是不是轴对称图形，如果是请你试着画出它们的对称轴。补图知识点二轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点时对应点，叫做对称点。详解：轴对称和轴对称图形的区别与联系。补图注意：如图13-1-3所示，这些图形都是轴对称图形，图中的虚线就是对称轴。补图如图13-1-4所示，每组图中的两个图形都是成轴对称的，图中的虚线就是对称轴。补图例2下列每组左右两个图形成轴对称的是（）补图知识点三两个图形成轴对称和轴对称图形的性质性质内容性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等性质2 若两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线性质3 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线作用：⑴如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么对称点所连线段的垂直平分线就是这两个图形的对称轴。⑵画一只图形的轴对称图形时，应画出已知图形中特殊点的对称点，顺次连接对称点，即可得到它的轴对称图形。⑶由于对于线段、对应角相等，我们可以利用这一性质说明两条线段相等或两个角相等。详解：①轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。②成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形。如图13-1-6所示，ZXABC和关于直线MN对称，此时A和M,B和C和C’分别是对应点，称为对称点。沿直线MN折叠后，A和",B和歹,C和Cr分别重合，则有AB=4万,BC用ZBAC=ZB'A'C1,ZABC= C.NACB=NA'CN'。补图如图13-1-7所示，AABC沿直线AD对折后，AD两旁的部分能够重合，直线AD式4ABC的对称轴，对应线段相等：AB=AC,BD=CD,AD=AD.对应角相等：ZB=ZC,ZBAD=ZCAD,NBDA=/CDA,点B与点C是对称点。例3图13-1-8中的两个四边形关于某直线对称，根据图中提供的条件求x,y。补图点拔解轴对称问题，要注意图形的对应关系，即对应边相等，对应角相等，且对于点所连线段被对称轴垂直平分。知识点四线段垂直平分线的性质.线段的垂直平分线的定义：经过线段中心并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。应用格式:如图13-1-9.①•直线CD垂直平分AB,ACDIAB,AO=OB«补图②•.•直线CDJ_AB与O,且AO=OB,...直线CD垂直平分AB。.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。⑴应用格式：如图13-1-10,；CD垂直平分AB,点P时CD上一点,/.PA=PBo补图⑵作用：可以通过垂直平分线证得两条线段相等。.线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。⑴应用格式：已知线段AB,；PA=PB,.•.点P在线段AB的垂直平分线上。⑵作用：可以由两条段相等证得垂直平分线，例4已知，如图13-1-11,在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE角AC于E点，AB+BC=6,请你求出4BCE的周长。补图知识点五对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴。此法对于轴对称图形同样适用。详解：1.作对称轴的前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形，否则不存在对称轴。两个图形成轴对称时，任找一对对应点，作出连接他们的垂直平分线（对称轴）即可，而对于轴对称图形，由于对称轴不一定唯一，因此要注意选取不同的对应点作出其所有的对称轴。2.根据轴对称图形的这一性质可以得出轴对称图形对称轴的画法，步骤如下：⑴找出轴对称图形的任意一组对应点；⑵连接这组对应点：⑶画出对应点所连线段的垂直平分线。这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴。提示：对于轴对称图形或两个图形的对称轴，它们的对称点有一个共同的规律一一对称点所连线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据。例5如图13-1-12,AABC和4DEF关于某条直线成轴对称，请你作出这条直线。补图经典例题全解题型一作轴对称图形的对称轴例1如图13-1-14所示的图形是轴对称图形，请指出每个图形的对称在的条数。并在各图上画出其对称轴。补图点拔一个轴对称图形可能有1条对称轴，也可能有多条对称轴。题型二轴对称性质在生活中的应用例2当写有数字的纸条垂直于镜面摆放时，如图13-1-16所示:补图（补下列）下面是从镜子中看到的一串数字（上图），它其实是.点拔本题也可以在•张透明的纸上画出这组数据,然后从后面透过纸看到的一组数据就是这组数据。题型三线段垂直平分线的性质与判定例3如图13-1-17所示，在RtZ\ABC中，ZC=90°,BD平分/ABC交AC于D,DE垂直平分AB,若DE=lcm,BD=2cm,求AC的长。补图点拔线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质都具有用来转化相等线段的作用。例4如图13-1-18所示，AD是NBAC的平分线，DE_LAB,DF_LAC,垂足分别为E、F,连接EF与AD交于点G。求证：AD垂直平分EF。补图点拔线段垂直平分线的判定有两种方法：⑴定义法；⑵判定定理。一般用定义法，但利用判定定理较为简单。题型四利用轴对称的性质设计图案例5以给定的图形△△、="（两个圆、两个三角形、两条直线）为构件，构思独特且有意义的轴对称图形。举例：如图13-1-19,左框中是符合要求的一组图形。你还能构思出其他的图形吗？请在右框画出与之不同的一组图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词。补图点拔这是一道考查图案设计能力和空间想象力的趣味数学题，答案不唯一。设计时要联系生活实际，画出符合要求的图形。13.2画轴对称图形教材知识全解知识点一轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形，这种图形变换叫做轴对称变换。轴对称变换的实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等图形。详解：⑴轴对称变换的性质：①对称轴位置发生变化时，得到的图形的位置也会发生变化；②由一个平面图形可以得到它关于一条直线L对称的图形，都是原图形、大小完全一样：③新图形上的每一点，都是原图形上的每一点关于直线L的对称点；④连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。⑵成轴对称的两个图形中的任何一个图形都可以看作是有另一个图形经过轴对称变换得到的，它们是一种相互关系，一个轴对称图形也可以看作是以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展得到的，结合轴对称变换，我们可以得到一些美丽的图案。例1在图13-2-1中依次作出三角形关于直线％、G、1t对称轴的图形。补图知识点二画轴对称图形.几何图形可以看作是由点组成的，分别作出这些点关于对称轴的对称点，连接这些对称点,就能得到原图形的轴对称图形。.由直线、线段或射线组成的图形，作出图形中一些特殊点（能确定图形的点）的对称点，连接这些对称点，就能得到原图形的轴对称图形。详解：作轴对称图形的方法简单归纳如下：⑴找一一在原图形上找到特殊点（如线段的端点）；⑵作一一作各个特殊点关于对称轴的对称点；⑶连一-依次连接各对称点。注意:①找特殊点对作轴对称图形极为市:要，除咸蛋的端点外，线与线的交点也是作图过程中的特殊点；②对称轴上任一点的对称点时它本身。例2如图13-2-3所示，已知AABC和直线MN,求作△4加使^F和4ABC关于直线MN对称。（不要求写作法，只保留作图痕迹）补图知识点三用坐标表示轴时称.关于坐标轴对称的点的坐标的特征：点（x,y）关于x轴对称的点坐标是（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）..在坐标系中作轴对称图形的方法。①计算：计算对称点的坐标；②描点：根据对称点的坐标描点；③连接：依次连接所描各点，得到所要要求作的轴对称图形。详解：⑴两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。⑵两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数。例3在直角坐标系中，已知P（-4a,7）,Q（8,b+2）,根据条件，求出a,b的值。⑴P、Q关于x轴对称；⑵P、Q关于y轴对称。知识点四关于直线x=a或y=b（a,b为常数）对称点（x,y）关于x=a对称的点的坐标为（2a-x,y）,即纵坐标不变，横坐标的和为2a（或横坐标的平均数为a）；点（x,y）关于y=a对称的点的坐标为（x,2b-y）,即横坐标不变，纵坐标的和为2b（或纵坐标的平均数为a）；例4如图13-2-5,请写出aABC中各顶点的坐标。在同一坐标系中画出直线m:x=-l,并作出AABC关于直线m对称的AAWb。若P（a,b）是aABC中AC边上一点，请表示其在缈b中对应点的坐标。补图经典例题全解题型一画轴对称图形例1如图13-2-7所示，网格中有一个四边形和两个三角形。⑴请你画出三个图形关于直线MN对称的图形：⑵将⑴中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴的条数。补图点拔⑴过已知点作对称轴的垂线段，并延长一倍，线段另一端点为对称点；⑵顺次连接对称点得到轴对称图形。

题型二点的坐标对称规律的应用例2⑴已知但A(2,-2),如果点A关于x轴的对称点时B,点B关于y的对称点是C,则C的坐标是()A.(2,2) B.(-2,2) C.(-U) D(-2,-2)⑵设点M(x,y)在第二象限，且IxI=2,IyI=3,则点M关于y轴的对称点的坐标是()A.(2,3) B.(-2,3) C.(-3,2) D.(-3,-2)点拔掌握各象限内点的坐标的符号，并且理解关于坐标轴对称的点的坐标的关系是解决此类问题的关键。类型三平面直角坐标系中的轴对称作图例3AABC在平面直角坐标系中的位置如图13-2-9所示，A,B,C三点在格点上。作出△ABC关于y轴对称的AAi%J并写出点G的坐标。补图点拔关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。作对称点的时候可利用轴对称的性质描点，也可根据对称点的坐标规律先计算后描点。13.3等腰三角形教材知识全解知识点一等腰三角形的有关概念有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。如图13-3-1.补图详解：⑴等腰三角形是特殊的三角形，它的特殊性表现在“有两条边相等”。⑵对于等腰三角形，我们说边或角时，一般都明确指出是腰还是底，是顶角还是底角，若没说明，则必须分类讨论。⑶等腰三角形是以边相等来定义的，相等的两边是腰，另一边是底边，不能认为底边就是最底的边，底边与所处的位置无关。⑷等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角，而底角只能是锐角，不能是直角或钝角。⑸三角形⑸三角形例1根据下列条件求等腰三角形的周长。⑴两条边长分别为2和5；⑵两条边长分别为3和5；知识点二等腰三角形的性质”等边对等角”等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)详解：⑴性质证明：已知AABC,AB=AC,求证：NB=NC。证明：如图13-3-2,过点A作ADXBC于D,在RtAABD和RtAACD中，{AD-AD,.".RtAABD^RtAACD(HL),AZB=ZC.补图(2)“等边对等角”是指在同一个三角形中，如果有两条边相等，则这两条边所对的角也相等,应用时一定要注意“等边对等角”是同一个三角形中，否则不能用该性质。⑶依据三角形内附和定理可以由顶角求底角，或由底角求顶角。⑷应用模式：在AABC中，VAB=AC,/.ZB=ZC.注意：①这是等腰三角形中的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因此更简便。②应用这个性质时，必须在同一个三角形中。例2⑴在AABC中，AB=AC,若NA=50°,则NB；(2)^2△ABC+，AB=AC,若NB=50。，则NA=；⑶若等腰三角形的一个叫为80。，则顶角为；⑷若等腰三角形的一个叫为100°,则顶角为；知识点三等腰三角形的性质2 “三线合一”等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。详解：⑴''三线合一"的证明：已知，13-3-3,在AABC中，AB=AC,AD是NBAC的平分线。求证：AD1BC,BD=DC=;BCo2补图(AB=AC.证明：在AABD和AACD中，(AD-AD.：.AABD^AACD(SSS),.,.BD=DC=-BC,ZADB=ZADC.2VZADB+ZADC=180°,.,.ZADB=ZADC=90°,AAD±BC.⑵“三线合一”的几种应用：如图13-3-3,在AABC中，①若AB=AC,NBAD=/CAD,则AD±BC,BD=CD；②若AB=AC,AD_LBC厕NBAD=NCAD,BD=CD；③若AB=AC,BD=CD厕NBAD=NCAD,AD_LBC；④若NBAD=/CAD,AD_LBC厕AB=AC,BD=CD；⑤若/BAD=NCAD,BD=CD,则AD_LBC,AB=AC；⑥若AD_LBC,BD=CD厕AB=AC,ZBAD=ZCAD.及“AB=AC,NBAD=NCAD,AD，BC,BD=CD”已知其中两个，总能推出其他两个结论是成立的。⑶“三线合一”包含了多层含义：①已知等腰三角形的底边角中线，则它平分顶角且垂直于底边；②已知等腰三角形的顶角平分线，则它垂直平分底边；③已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边、平分顶角。总之，已知等腰三角形的“一线”，则它具有另外“两线”的性质，“三线合一”可以用来证明角相等、线段相等或垂直，其用途非常广泛。⑷等腰三角形是以顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在直线为对称轴的轴时称图形，通常情况只有一条对称轴。例3,如图13-3-4,在aABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，ZB=30°,求：⑴NADC的度数；(2)Z1的度数。补图知识点四等腰三角形的判定.例定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的边也相等(简写成“对角对等边”)。详解：⑴等腰三角形的定义体现了等腰三角形的性质也可以作为等腰三角形的判定方法。⑵“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度数，得到角相等，也可以得到边相等，在运用时要找准“对边”与“对角二⑶等腰三角形的性质”等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”互为逆定理。⑷若将本判定定理这样描述：“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰相等”是错误的，因为在没有判断出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”等名词，只有等腰三角形才用“底角”“腰”这样的术语。例4如图13-3-5,在NA=NB,CE〃DA,CE交于AB于E,ACEB是等腰三角形吗?补图知识点五等边三角形及其性质.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。详解：⑴由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说等腰三角形包括等边三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的一切性质。⑵等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，具有''三线合一”的性质，它的三条边的高、中线及角平分线所在的直线都是它的对称轴。例5如图13-3-6,AABD,AAEC都是等边三角形，BE,CD相交于0。⑴求证：BE=DC；⑵求/BOC的度数。补图知识点六等边三角形的判定等边三角形的判定方法有三种：.三条边都相等时等边三角形。.三个角都相等的三角形是等边三角形。.有一个角是60°的等腰三角形。详解：⑴等边三角形的定义也是等边三角形的一种判定方法。⑵“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”。⑶第三种判定是在等腰三角形的条件下，60。的角不论是顶角还是底角都成立。例6如图13-3-74ABC是等边三角形,D是BC延长线上一点,CE平分NACD,且CE=BD.求证：4DAE为等边三角形。补图知识点七含30°角的直角三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。详解：⑴两个含30。角的全等直角三角形将长直角边重合，可得到一个等边三角形，即可证明这条性质的正确性。⑵应用模式：在RtZ\ABC中，VZC=90°,ZB=30°,.".AC=|aB.⑶该性质时含有30。角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用。⑷这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系。⑸该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切。⑹在有些题目中，若给出的角是15°角，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题。例7如图13-3-8所示，在RtAABC中，ZC=90°,ZBAC=60°,ZBAC的平分线AB长15cm,求BC的长。补图经典例题全解题型一运用等腰三角形性质求线段长例1 已知等腰三角形ABC的周长为50cm,AD是底边上的高，4ABD的周长为40cm,求AD的长。补图点拔等腰三角形三线合一性质应用广泛，而此类几何计算题通常用代数中的方程思想来处理，更加简便。题型二等腰三角形判定的运用例2如图13-3-10,在AABC中，NB和NC的平分线相交于F,过F作DE〃BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,求线段DE的长。补图点拔角平分线、平行线和等腰三角形常常组合在一起考查，①角平分线+平行线一等腰三角形；②角平分线+等腰三角形一平行线；③平行线+等腰三角形一角平分线。题型三等腰三角形的性质与三角形全等知识相结合例3如图13-3-11,AABC中,AB=AC,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE=CF,EF角BC于D,求证：DE=DF.补图点拔本题作辅助线的方法有很多种，都是山中点构造X型的基本图形来解决问题的。如图13-3-13所示，如：过F点作FH〃AB角BC的延长线与H,得到△BDE/Z\HDF。或分别过点E、F两点作BC的垂线，垂足分别为M、N,得到Rt^DEM名RtZXDFN。补图题型四利用含30°角的直角三角形的性质证明线段的倍分问题例4已知：如图13-3-14所示，在aABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AB的垂直平分线EF交BC与F,交AB于E,求证：BF=；FC。补图点拔在利用含30。角的直角三角形的性质时，一定要先证明这个角所在的三角形是直角三角形，此性质是求线段长度和证明线段倍数关系的重要依据。题型五等腰三角形的判定例5如图13-3-15,在等腰直角AABC中，P是斜边BC中点，以P为顶点的直角三角形的两边分别与边AB、AC交于点E、F,连接EF。当NEPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），Z\PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。补图点拔证明一个三角形是等腰三角形，可直接证明有两条边相等，或证明有两个角相等。题型六等边三角形的性质与判定的综合运用例6如图13-3-1,点O是等边aABC内一点，ZAOB=HO°,NBOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD。补图⑴求证：△COD是等边三角形；⑵当a=150°时，试判断AAOB是等腰三角形；⑶探究:当a为多少度时，AAOD是等腰三角形。点拔旋转前后的两个三角形全等，得出4OCD是等边三角形；要判断AAOD的形状，只要找到变化中的不变量，然后利用旋转和全等二角形的性质即可。13.4 课题学习最短路径问题教材知识全解知识点一牧马人饮马最短线路.点A、B分别是直线L异侧的两个点，连接AB,与直线L交于一点P,则点P为直线L上到A、B的距离的和最短的点。.点A、B分别是直线L同侧的两个点，作出点B关于L的对称点5：连接与L交于点C,则点C为直线L到点A、B的距离的和最短的点。详解：（1）如图13-4-1所示，点A、B分别是直线L异侧的两点。补图连接AB,与直线L交于一点，根据''两点之间，线段最短”，可知这个交点到A、B两点的距离之和最短。⑵如图134-2所示，点A、B分别是直线L同侧的两点，作出点B关于L的对称点连接A5',线段AS'与直线L相交于点C,利用轴对称的性质，可得C5JCB。所以点C为直线L上到点A、B的距离的和最短的点。补图我们不妨在直线L上另外任取一点T（如图13-4-3）,连接AC：BC*B'C,根据轴对称的性质可得C'B=5七，,CB=C5’.在△ABC中，AC'+BGAB,所以AC'+BC，>Aff',补图又因为Aff=AC+BC,所以AC'+BCf>AC+BC所以在连接A、万两点的线中，线段AB，最短。例1如图134-4所示，要在河边修建一个水泵站，分别向张庄、李庄送水，水泵站修建在河边什么地方，可使所用的水管最短。补图知识点二造桥选址问题如图