建筑力学课件

第九章梁的应力Chapter９.StressAnalysisofBeamArchiteturalMechanics建筑力学第九章梁的应力Chapter９.StressAn

截面的几何性质平面弯曲时梁横截面上的正应力梁横截面上的切应力梁的正应力和切应力强度条件梁的合理截面

§9

梁的应力截面的几何性质§9梁的应力面积矩与形心位置惯性矩、惯性积、极惯性矩平行移轴定理

§9-1截面的几何性质面积矩与形心位置§9-1截面的几何性质

§9-1-1面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)

是面积与它到轴的距离之积。附录dAxyyx§9-1-1面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：(与力二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)附录dAxyyx等厚均质质心：等于形心坐标二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)附录dAxyyx等例1

试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)附录801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)例1试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）附录C2负面积C1xy2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0§9-1-2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：(与转动惯量类似）

是面积与它到轴的距离的平方之积。

附录dAxyyxr二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。§9-1-2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：(与转附录dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果x或y

是对称轴，则Ixy=0附录dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果§9-1-3平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图附录dAxyyxrabCxCyC§9-1-3平行移轴定理一、平行移轴定理：（与注意:C点必须为形心附录注意:C点必须为形心附录例2

求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B

建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。附录AdxyO圆例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法弯曲应力

飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。是中国最大跨度的预应力混凝土简支梁桥。桥全长１７２１ｍ，分跨为１８×５１＋５×６２＋１４×３５(ｍ），最大跨度６２ｍ，梁高２．８５ｍ，高跨比１／２１．７５；混凝土标号Ｒ６０；桥面宽１３ｍ。§9－2梁横截面上的弯曲正应力弯曲应力飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。弯曲应力弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。（轴力以受拉为正，反之为负；剪力以绕隔离体顺时针为正，反之为负）FNBAFQBA梁的弯曲内力MBA弯曲应力弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。F引言弯曲应力1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q

切应力t弯矩M

正应力s引言弯曲应力1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)弯曲应力2、研究方法纵向对称面P1P2例如：平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。弯曲应力PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验

横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

（可由对称性及无限分割法证明）3.推论弯曲应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只A1B1O1O4.几何方程：

弯曲应力abcdABdqrxy)))OO1)A1B1O1O4.几何方程：弯曲应力abcdABdqrx

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。弯曲应力sxsx（三）静力学关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于弯曲应力（对称面）……(3)EIz杆的抗弯刚度。弯曲应力（对称面）……(3)EIz杆（四）最大正应力：弯曲应力……(5)DdDd=abBhH（四）最大正应力：弯曲应力……(5)DdD例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：弯曲应力q=60弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1求曲率半径弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030求曲率半径弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M§9-3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：

切应力与剪力平行；

矩中性轴等距离处，切应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段如图b；

在微段上取一块如图c，平衡弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c§9-3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由切应力互等(Firstmomentofarea)弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+d弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩

(Firstmomentofarea)；弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；二、其它截面梁横截2、几种常见截面的最大弯曲剪应力

弯曲应力Iz为整个截面对z轴之惯性矩(momentofinertiaofanarea)；b

为y点处截面宽度。①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。;»maxAQtf2、几种常见截面的最大弯曲剪应力弯曲应力Iz为整个截面

②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：弯曲应力exyzPQeQeh②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：弯曲应力exyzPQeQ

§9-4梁的强度条件•梁的合理截面弯曲应力§9-4梁的强度条件•梁的合理截面弯曲应力1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。弯曲应力QtsssMt一、梁的正应力和切应力强度条件1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）弯曲应力3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M

较小，而Q较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：弯曲应力4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mxM+Q–+x求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mxy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4弯曲应力画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmMy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T校核强度T字头在上面合理。弯曲应力y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4校核强度T字头在上面合理。弯曲应力y1y2GA1A2A3二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为弯曲应力bh二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于110强度：正应力：剪应力：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面弯曲应力zDzaa强度：正应力：剪应力：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大弯曲应力zD0.8Da12a1z弯曲应力zD0.8Da12a1z工字形截面与框形截面类似。弯曲应力0.8a2a21.6a22a2z工字形截面与框形截面类似。弯曲应力0.8a2a21.6a22

对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：弯曲应力2、根据材料特性选择截面形状sGz弯曲应力2、根据材料特性选择截面形状sGz弯曲应力（二）采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px弯曲应力（二）采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即若为

例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。CL8TU10例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全

例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。CL8TU11例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax解：由题意可知即解：由题意可知即

例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。CL8TU12例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt]=30MPa，许用C截面：B截面：C截面：B截面：

例：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε=6×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，求载荷P的大小。CL8TU13例：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其解：C点的应力C截面的弯矩由得解：C点的应力C截面的弯矩由得

例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？CL8TU14例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应解：C截面下边缘的应力C截面的弯矩应变值解：C截面下边缘的应力C截面的弯矩应变值

例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E=10GPa，求载荷P的大小。CL8TU15例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E解：解：第九章梁的应力Chapter９.StressAnalysisofBeamArchiteturalMechanics建筑力学第九章梁的应力Chapter９.StressAn

截面的几何性质平面弯曲时梁横截面上的正应力梁横截面上的切应力梁的正应力和切应力强度条件梁的合理截面

§9

梁的应力截面的几何性质§9梁的应力面积矩与形心位置惯性矩、惯性积、极惯性矩平行移轴定理

§9-1截面的几何性质面积矩与形心位置§9-1截面的几何性质

§9-1-1面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)

是面积与它到轴的距离之积。附录dAxyyx§9-1-1面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：(与力二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)附录dAxyyx等厚均质质心：等于形心坐标二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)附录dAxyyx等例1

试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)附录801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)例1试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）附录C2负面积C1xy2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0§9-1-2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：(与转动惯量类似）

是面积与它到轴的距离的平方之积。

附录dAxyyxr二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。§9-1-2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：(与转附录dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果x或y

是对称轴，则Ixy=0附录dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果§9-1-3平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图附录dAxyyxrabCxCyC§9-1-3平行移轴定理一、平行移轴定理：（与注意:C点必须为形心附录注意:C点必须为形心附录例2

求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B

建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。附录AdxyO圆例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法弯曲应力

飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。是中国最大跨度的预应力混凝土简支梁桥。桥全长１７２１ｍ，分跨为１８×５１＋５×６２＋１４×３５(ｍ），最大跨度６２ｍ，梁高２．８５ｍ，高跨比１／２１．７５；混凝土标号Ｒ６０；桥面宽１３ｍ。§9－2梁横截面上的弯曲正应力弯曲应力飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。弯曲应力弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。（轴力以受拉为正，反之为负；剪力以绕隔离体顺时针为正，反之为负）FNBAFQBA梁的弯曲内力MBA弯曲应力弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标明正负号。F引言弯曲应力1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q

切应力t弯矩M

正应力s引言弯曲应力1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)弯曲应力2、研究方法纵向对称面P1P2例如：平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。弯曲应力PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验

横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

（可由对称性及无限分割法证明）3.推论弯曲应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只A1B1O1O4.几何方程：

弯曲应力abcdABdqrxy)))OO1)A1B1O1O4.几何方程：弯曲应力abcdABdqrx

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。弯曲应力sxsx（三）静力学关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于弯曲应力（对称面）……(3)EIz杆的抗弯刚度。弯曲应力（对称面）……(3)EIz杆（四）最大正应力：弯曲应力……(5)DdDd=abBhH（四）最大正应力：弯曲应力……(5)DdD例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：弯曲应力q=60弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1求曲率半径弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030求曲率半径弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M§9-3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：

切应力与剪力平行；

矩中性轴等距离处，切应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段如图b；

在微段上取一块如图c，平衡弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c§9-3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由切应力互等(Firstmomentofarea)弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+d弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩

(Firstmomentofarea)；弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；二、其它截面梁横截2、几种常见截面的最大弯曲剪应力

弯曲应力Iz为整个截面对z轴之惯性矩(momentofinertiaofanarea)；b

为y点处截面宽度。①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。;»maxAQtf2、几种常见截面的最大弯曲剪应力弯曲应力Iz为整个截面

②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：弯曲应力exyzPQeQeh②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：弯曲应力exyzPQeQ

§9-4梁的强度条件•梁的合理截面弯曲应力§9-4梁的强度条件•梁的合理截面弯曲应力1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。弯曲应力QtsssMt一、梁的正应力和切应力强度条件1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）弯曲应力3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M

较小，而Q较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：弯曲应力4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mxM+Q–+x求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mxy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4弯曲应力画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmMy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T校核强度T字头在上面合理。弯曲应力y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4校核强度T字头在上面合理。弯曲应力y1y2GA1A2A3二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造