《信号与系统》第二章连续时间系统的时域分析课件

第2章连续时间系统的时域分析2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子2.3LTI因果系统的零输入响应2.4LTI因果系统的零状态响应2.5卷积及其性质2.6LTI因果系统的全响应及其分解第2章连续时间系统的时域分析2.1LTI系统的数学模2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解2.1.1建立LTI系统的数学模型建立系统模型的方法1.输入输出描述法连续时间LTI系统————常系数线性微分方程离散时间LTI系统————常系数线性差分方程2.状态变量描述法2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解2.1.1例2.1-1如图2.1-1所示的RLC串联电路，e(t)为激励信号，响应为i(t)，试写出其微分方程。

解这是有两个独立动态元件的二阶系统，利用KVL定理列回路方程，可得图2.1-1RLC串联电路例2.1-1如图2.1-1所示的RLC串联电路，e(t)一般有n个独立的动态元件组成的系统就是n阶系统(或n个一次线性微分方程组)。一般电路系统的阶数等于独立的uC(t)与iL(t)的个数之和，其中独立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含电源)表示；独立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含电源)表示。一般有n个独立的动态元件组成的系统就例2.1-2如下图所示电路，判断系统阶数。

解(1)R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)，uC2(t)=uR2(t)，有两个独立的uC(t)，所以该系统是二阶系统。(2)uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)，是通过其它uC(t)表示的，是非独立的uC(t)；但uC2(t)≠uC3(t)，有两个独立的uC(t)，所以该系统也是二阶系统。

例2.1-2如下图所示电路，判断系统阶数。2.1.2系统微分方程求解——经典法

一般n阶LTI系统的微分方程为

初始条件为{y(0+),y′(0+),…,yn-1(0+)}。由上式可得系统的特征方程为αn+a1αn-1+...+an-1α+an=0

(α-α1)(α-α2)...(α-αn)=0

(2.1-1)由特征方程可求得特征根。2.1.2系统微分方程求解——经典法假设特征根均为单根α1、α2、...、αn，由其得到通解yh(t)的一般形式(2.1-2)式中αi为特征根。假设特征根均为单根α1、α2、...微分方程特解的形式与激励形式相同，如表2-1所示，代入原方程中得到具体系数。微分方程的解由通解与特解两部分组成，即完全解为(2.1-3)由n个初始条件{y(0+),y′(0+),...,yn-1(0+)}确定n个Ci系数。微分方程特解的形式与激励形式相同，表2-1典型激励对应的特解表2-1典型激励对应的特解2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子2.2.1用算子符号表示微分方程

n阶LTI系统的数学模型是n阶常系数线性微分方程。将方程中的微、积分运算用算子符号p与1/p表示，可得到算子方程。

微分算子积分算子

2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子2.2.这样，例2.1-1电路的微分方程可以表示为p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)式(1.6-6)的n阶线性微分方程可以用算子表示为

a0pny(t)+a1pn-1y(t)+...+an-1

py(t)+any(t)

=b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+...+bm-1

pf(t)+bmf(t)

(2.2-4)这样，例2.1-1电路的微分方程可以表示为算子方程中的每一项表示的是运算关系，不是代数运算。模仿代数运算，还可以将上式简化为(a0pn+a1pn-1+...+an-1p+an)y(t)

=(b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm)f(t)(2.2-5)若再令D(p)=a0pn+a1pn-1+...+an-1p+ao(2.2-6a)N(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm

(2.2-6b)算子方程中的每一项表示的是运算关系，不是代数运算。模仿代则称D(p)、N(p)为算子多项式，式(2.2-5)可进一步简写为D(p)y(t)=N(p)f(t)(2.2-7)式(2.2-7)是n阶线性微分方程的算子方程。在这里，我们利用了提取公因子的代数运算规则。式(2.2-7)还可以进一步改写为(2.2-8)则称D(p)、N(p)为算子多项式式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系，分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系，而不是两个多项式相除的简单代数关系。算子表示的是微、积分运算，因此代数运算规则不能简单照套，下面具体讨论算子的运算规则。式中分母多项式D(p)表示对输出y((1)可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。(p+a)(p+b)x=［p2+(a+b)p+ab］x(2.2-9)

这样例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)还可以表示为(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(1)可进行类似代数运算的因式分解或因式相(2)算子方程左、右两端的算子符号p不能随便消去。由，解出x=y+C而不是x=y，两者相差一个任意常数C，所以不能由px=py得到x=y，即px=py，但x≠y。这一结论可推广到一般的算子方程：D(p)x=D(p)y，但x≠y

(2)算子方程左、右两端的算(3)p、1/p位置不能互换。因为所以

(2.2-10)而

形式上先“除”后“乘”即先积分后微分的运算次序，算子可消去；形式上先“乘”后“除”即先微分后积分的运算次序，算子不可消去。

(3)p、1/p位置不能互换。因

2.2.2用算子电路建立系统数学模型

先将电路中所有动态元件用算子符号表示，得到算子电路；再利用广义的电路定律，建立系统的算子方程；最后将算子方程转换为微分方程。

电感的算子表示可由其电压电流关系得到，因为

(2.2-12)式中,Lp是电感算子符号，可以理解为广义的电感感抗值，

式(2.2-12)可以理解为广义欧姆定律。2.2.2用算子电路建立系统数学模型(2.2-12

同理，由电容上的电压电流关系得到(2.2-13)式中,

1/Cp是电容算子符号，可以理解为广义的电容容抗值，

式(2.2-13)也可以理解为广义欧姆定律。(2.2-13)式中,1/C例2.2-1如图2.1-1所示RLC串联电路，输入为e(t)，输出为电流i(t),用算子法列出算子方程与微分方程。

解

将图2.1-1中的电感、电容用算子符号表示，得到算子电路如图2.2-1所示，利用广义的KVL,列出算子方程式两边同时作微分运算（“前乘”p），得算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)图2.2-1例2.2-1的算子电路由上面的算子方程写出微分方程为例2.2-1如图2.1-1所示RLC串联电路，克莱姆法则有n个未知数n个方程的线性方程组

设

为未知数系数构成的行列式。

为D的第j列的系数列换为方程组右端的常数项所得。如果

，则方程组有唯一解

克莱姆法则例2.2-2

如图2.2-2(a)电路，f(t)为激励信号，响应为i2(t)，试用算子法求其算子方程与微分方程。

解将图2.2-2(a)中的电感用算子符号表示如图2.2-2(b)所示，利用广义网孔法列出两个算子方程(3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t)

-pi1(t)+(p+3)i2(t)=0

图2.2-2例2.2-2电路与算子电路

例2.2-2如图2.2-2(a)电路，f(利用克莱姆法则，解出(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程为也可以写成y″(t)+5y′(t)+1.5y(t)=0.5f′(t)利用克莱姆法则，解出

例2.2-3如图2.2-3(a)所示电路输入为e(t)，输出为i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程与微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2Ω，R2=1Ω，C=1F。图2.2-3例2.2-3电路与算子电路例2.2-3如图2.2-3(a)解将图2.2-3中的电感、电容分别用算子符号表示如图2.2-3(b)所示，利用广义网孔法,列算子方程组解将图2.2-3中的电感、电容分为避免在运算过程中出现p/p因子，可先在上面的方程组两边同时作微分运算,即“前乘”p（当分子分母同时出现p时可约），得到

(p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t)

-i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0

为避免在运算过程中出现p/p因子，利用克莱姆法则，解出利用克莱姆法则，解出由式(2.2-6)与(2.2-7)，可得(2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t)微分方程为由式(2.2-6)与(2.2-7)，可得用相同的方法，可以得到微分方程为用相同的方法，可以得到微分方程为2.2.3传输（转移）算子H(p)我们定义传输（转移）算子H(p)为(2.2-14)这样，系统的输出可以表示为y(t)=H(p)f(t)(2.2-15)2.2.3传输（转移）算子H(p)我们定义传输（转移）例2.2-4求例2.2-1激励为e(t)，响应为i(t)的系统传输算子H(p)。

解

例2.2-1的算子方程为(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)则由

得到

例2.2-4求例2.2-1激励为e例2.2-5求例2.2-2激励为f(t)，响应为i2(t)的系统传输算子H(p)。

解

例2.2-2的算子方程为(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)则由得到例2.2-5求例2.2-2激励为例2.2-6求例2.2-3激励为f(t)，响应为i1(t)时的系统传输算子H1(p)；激励为f(t)，响应为i2(t)时的系统传输算子H2(p)。

解

由可得例2.2-6求例2.2-3激励为f由H(p)的定义，系统传输算子的分母多项式是系统的特征多项式。它仅与系统的结构、参数有关，与激励以及激励加入的端口无关。同一系统，系统的结构、参数一定，无论激励以及激励加入的端口如何改变，其传输算子的分母多项式都不会改变。《信号与系统》第二章连续时间系统的时域分析课件2.3LTI因果系统的零输入响应2.3.1零输入响应

零输入响应与激励无关，数学模型是齐次微分方程。f(t)=0，算子方程为D(p)y(t)=0式中D(p)是系统的特征多项式，D(p)=0是特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，称为系统的特征根。2.3LTI因果系统的零输入响应2.3.1零输入响由系统的特征方程p-λ=0，得特征根p=λ，其解（零输入响应）的一般形式为y(t)=y(0-)eλt

t>0

(2.3-3)由式(2.3-3)可知，此时解的一般模式取决于特征根λ，而解的系数由初始条件确定。一阶齐次微分方程为(p-λ)y(t)=0

y(0-)

(2.3-2)由系统的特征方程p-λ=0，得

由p2+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)=0，得到二阶系统的两个特征根λ1、λ2。与一阶齐次微分方程相同，二阶齐次微分方程解的模式取决于两个特征根λ1、λ2，其表达式为

(2.3-5)式中,系数C1、C2由两个初始条件y(0-)、y′(0-)确定。二阶齐次微分方程的一般算子形式为(p2+a1p+a0)y(t)=0

y(0-),y′(0-)

(2.3-4)式中,系数C1、C2由两个初始条y(0-)=C1+C2

y′(0-)=λ1C1+λ2C2

(2.3-6)

如果p2+a1p+a0=(p-λ)2=0，特征根相同，则是二阶重根，此时二阶齐次微分方程解的形式为y(t)=C1eλt+C2teλt

t>0(2.3-7)系数C1、C2仍由两个初始条件y(0-),y′(0-)确定y(0-)=C1

y′(0-)=λC1+C2y(0-)=C1+C

式中，y(0),y′(0),y″(0),…，yn-1(0)为第二类标准初始条件。由特征方程D(p)=pn+an-1pn-1+...+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)...(p-λn)=0

得到n个特征根λ1、

λ2、

...、λn，n阶齐次方程解的模式取决于这n个特征根，表达式为(2.3-9)

n个系数C1、C2、...、Cn由n个初始条件y(0)、y′(0)y″(0)、...、yn-1(0)确定。

n阶齐次微分方程的算子形式为(pn+an-1pn-1+...+a1p+a0)y(t)=0

y(0),y′(0)y″(0),...,yn-1(0)

(2.3-8)式中，y(0),y′(0),yy(0)=C1+C2+...+Cn

y′(0)=λ1C1+λ2C2+...+λnCn…

yn-1(0)=λ1n-1C1+λ2n-1

C2+...+λnn-1Cn

可用矩阵形式表示为(2.3-10)(2.3-11)y(0)=C1+C2+...+Cn(2.3-10)(2常数C1、...、Cn可用克莱姆法则解得，或用逆矩阵表示为常数C1、...、Cn可用克莱姆法则解例2.3-1已知系统的传输算子H(p)=

2p/(p+3)(p+4)

，初始条件yzi(0)=1，

，试求系统的零输入响应。

解

特征根λ1=-3,λ2=-4零输入响应形式为yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t

t>0将特征根及初始条件y(0)=1，y′(0)=2代入

1=C1+C2

2=-3C1-4C2

解出C1=6

C2=-5

yzi(t)=6e-3t-5e-4t

t>0例2.3-1已知系统的传输算子H例2.3-2已知电路如下图所示，开关K在t=0时闭合，初始条件i2(0-)=0，i′2(0-)=-1A/s。求零输入响应i2(t)。解

先求e(t)→i2(t)时的H(p)

(p+1)i1-i2=e(t)

-pi1+(p+1)i2=0

例2.3-2已知电路如下图所示，开关K在t=《信号与系统》第二章连续时间系统的时域分析课件解出

代入初始条件

解出代入初始条件2.3.2初始条件标准化全响应初始条件

第一类标准初始条件y(0+)、y′(0+)、...、yn-1(0+)

标准零输入初始条件yzi(0+)、y′zi(0+)、...、yn-1zi(0+)标准零状态初始条件yzs(0+)、y′zs(0+)、...、yn-1zs(0+)

利用电容电压及电感电流一般不会突变，即iL(0-)=iL(0+)、vC(0-)=vC(0+)，以及具体电路方程，可将系统的非标准初始条件转变为标准化初始条件。2.3.2初始条件标准化例2.3-3

已知电路如下图，iL(0-)=1A，vC(0-)=10V，求izi(t)。解D(p)=(p+2)(p+3),λ1=-2,λ2=-3

izi(t)=C1e-2t+C2e-3t

t>0例2.3-3已知电路如下图，iL(0-)=1A，

标准初始条件应为izi(0+)与izi′(0+)，需将非标准的初始条件iL(0-)=1A，vC(0-)=10V标准化，即将iL(0-)、vC(0-)转变为完全响应的初始条件i(0+)、i′(0+)。因为i(t)=iL(t)，并且电感电流一般不会突变，所以有iL(0-)=iL(0+)=i(0+)=1A；而i′(0+)就要由0+电路解出，列0+电路方程为

令t=0+代入上式，得5i(0+)+i’(0+)+vC(0+)=0

将vC(0-)=vC(0+)，且f(t)=0代入上式，有5+10+i’(0+)=0由上式解得标准初始条件为i(0+)=1A及i’(0+)=-15A/s，解出代入izi(t)得到izi(t)=-12e-2t+13e-3t

t>0令t=0+代入上式，得代入izi(t)得到例2.3-4

电路如下图所示，已知iL(0-)=1A，vC(0-)=1V，求i2zi(0+)，i’2zi(0+),i2zi(t)。

解

此题也有非标准化初始条件转化为标准化初始条件的问题。由回路方程组：例2.3-4电路如下图所示，已知iL(0-)=1A，将e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、C参数值代入，得到i’1

(0+)+i1(0+)-i2(0+)=0(A)

-i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0(B)由式(B)，i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0,代入式(A)i’1

(0+)+i1(0+)=0i’1

(0+)=-i1(0+)=-1A/s对式(B)求导-i’1

(0+)+i’2

(0+)+v’C

(0+)=0将e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、因为

，代入上式得到标准化初始条件：与例2.3-2的标准化初始条件相同，解得结果相同，不再重复。因为例2.3-5电路如图2.3-4(a)所示，开关在t=0时，由“1”到“2”。求i(0)，i′(0)及电流i(t)的零输入响应。解图2.3-4(a)是有两个动态元件的二阶系统，其中图2.3-4例2.3-5电路例2.3-5电路如图2.3-4(a)所示，开关在t=0时换路后的算子电路如图2.3-4(b)所示。列网孔算子方程整理将i1(t)=i(t)代入上式，解得换路后的算子电路如图2.3-4(b)所示。列网孔算子方程因是二阶系统，所以

因为所给出的是非标准初始条件，所以要将非标准初始条件转化为标准初始条件。初始值等效电路如图2.3-5所示（电容相当于短路，电感相当于开路）。图2.3-5例2.3-5零输入等效电路因是二阶系统，所以因为所给出的是非标准初始条由图2.3-5可得

由

izi(0+)=C1+C2=-1.2

i′zi

(0+)=-2C1-5C2=2

解出

最后

由图2.3-5可得由izi(0+)=C1+C2=-1.2.4LTI因果系统的零状态响应

2.4.1单位冲激响应h(t)

输入为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应。h(t)由传输算子表示为h(t)=H(p)δ(t)

(2.4-1a)

或记为δ(t)→h(t)(2.4-1b)2.4LTI因果系统的零状态响应2.4.1单位n阶线性系统的传输算子假设H(p)的分母多项式D(p)均为单根，得到将其展开为部分分式之和系数k1~kn由待定系数法确定。一个n阶系统可以分解为n个一阶子系统之和。n阶线性系统的传输算子假设H(p)的分母多项式D(p)均为单在式(2.4-4b)的等式两边同时乘以

(2.4-4a)(2.4-4b)

在式(2.4-4b)的等式两边同时乘以

(2.4-4a)得到了hi(t)

的全微分，即对上式两边同时积分得到了hi(t)的全微分，由于因果系统的hi(0-)=0，因此一阶子系统冲激响应的一般项为(2.4-5)代入式(2.4-3b)，得到n阶系统的单位冲激响应为(2.4-6)由于因果系统的hi(0-)=0，因此例2.4-1求例2.2-2系统单位冲激响应h(t)。

解

例2.2-2的传输函数由待定系数法分解为利用式(2.4-5)，可得h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)例2.4-1求例2.2-2系统单位冲激响应h(t)。利例2.4-2如下图所示电路，输入为电流源i(t)，输出为电容电压vC(t)，试求系统的冲激响应h(t)。

解

由广义KCL列算子节点方程例2.4-2如下图所示电路，输入为电流源i(t表2-2H(p)所对应的h(t)表2-2H(p)所对应的h(t)2.4.2系统的零状态响应yzs(t)

系统的初始状态（储能）为零时的响应。根据LTI系统的时不变性δ(t-τ)→h(t-τ)根据LTI系统的比例性f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)利用LTI系统的积分特性f(t)分解为冲激信号之和，yzs(t)为冲激响应之和

2.4.2系统的零状态响应yzs(t)根据LTI系是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。积分变量为τ，t仅是参变量，计算时按常数处理。卷积计算步骤

第一步，变量转换，将f(t)变为f(τ)，h(t)变为h(t-τ)；第二步，将f(τ)与h(t-τ)两个函数相乘；第三步，确定积分上、下限，也就是找到f(τ)h(t-τ)相乘后的非零值区；最后，对f(τ)h(t-τ)积分得出零状态响应yzs(t)。是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。例2.4-3

如下图所示电路，已知激励f(t)=u(t)，用时域法求i(t)。

解

(pL+R)i(t)=f(t)

例2.4-3如下图所示电路，已知激励f(t)=u(t)2.5卷积及其性质

2.5.1卷积卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数f1(t)与f2(t)相卷积后成为第三个相同自变量t的函数y(t)。(2.5-1)2.5卷积及其性质2.5.1卷积(2.5-1)

设f1(t)为因果信号，即f1(t)=f1(t)u(t)，而f2(t)不受此限。

设f2(t)为因果信号，即f2(t)=f2(t)u(t)，但f1(t)不受此限。设f1(t)、f2(t)均为有始信号，即f1(t)=f1(t)u(t)，f2(t)=f2(t)u(t)设f1(t)为因果信号，即f1(t)=f1(t)2.5.2任意函数与δ(t)、u(t)卷积

f(t)*δ(t)=f(t)δ(t)是卷积的单位元。

证2.5.2任意函数与δ(t)、u(t)卷积δ(t)是

f(t)*δ(t-t1)=f(t-t1)证任意函数与δ(t-t1)卷积，相当于通过一个延时（移位）器。f(t)*δ(t-t1)=f(t-t1)证任意函数与任意函数与u(t)卷积，相当于信号通过一个积分器。

任意函数与u(t)卷积，相当于信号通过一个积分器。

2.5.3卷积的性质

1.时移f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0)

=f1(t-t0-t1)*f2(t)

=f1(t)*f2(t-t0-t1)

2.5.3卷积的性质2.交换律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)图2.5-3交换律的实用定义2.交换律图2.5-3交换律的实用定义

3.分配律f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)图2.5-4分配律的实用定义3.分配律图2.5-4分配律的实用定义

4.结合律f1(t)*［f2(t)*f3(t)］=［f1(t)*f2(t)］*f3(t)图2.5-5结合律的实用定义4.结合律图2.5-5结合律的实用定义

2.5.4卷积的图解法计算卷积的基本方法可以直观确定积分限、积分条件，并且作图方便。具体步骤

(1)f(t)→f(τ)，函数图形不变，仅t→τ。(2)h(t)→h(t-τ)，它包括两部分运算:①折叠h(t)→h(τ)→h(-τ)；

②移位，t是h(-τ)与h(t-τ)之间的“距离”。(3)将折叠移位后的图形h(t-τ)与f(τ)相乘。(4)求h(t-τ)与f(τ)相乘后其非零值区的积分（面积）。t<0左移t>0右移

2.5.4卷积的图解法t<0左移例2.5-1

f(t)、h(t)如图2.5-6所示，求y(t)=f(t)*h(t)。图2.5-6例2.5-1的f(t)、h(t)例2.5-1f(t)、h(t)如图2.5-6解具体计算如图2.5-7所示。解具体计算如图2.5-7所示。图2.5-7例2.5-1图解法示意图图2.5-7例2.5-1图解法示意图图2.5-7例2.5-1图解法示意图图2.5-7例2.5-1图解法示意图2.5.5卷积的微分、积分性质卷积的微分、积分运算信号的微分、积分运算。(1)微分(2)积分2.5.5卷积的微分、积分性质(2)积分(3)微、积分性。若y(t)=f1(t)*f2(t)

则y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)

其中,i、j取正整数时为导数的阶次；i、j取负整数时为重积分的阶次。特别地,

(3)微、积分性。若利用式(2.5-14)的结果，可由f(t)与h(t)的卷积公式，推出f′(t)与阶跃响应g(t)的卷积公式，即g(t)是系统对单位阶跃信号的零状态响应，简称单位阶跃响应。

利用式(2.5-14)的结果，可由f例2.5-2

f(t)、h(t)如图2.5-6所示，用微、积分性质求

y(t)=f(t)*h(t)。例2.5-2f(t)、h(t)如图2.5-6所示，y(t)=f(t)*h(t)=f′(t)*g(t)

=E［δ(t-1)-δ(t-2)］*

1/2

(1-e-2t)u(t)

=E/2

(1-e-2(t-1))u(t-1)-E/2

(1-e-2(t-2))u(t-2)

=E/2

(1-e-2(t-1))［u(t-1)-u(t-2)］+E/2(e-2(t-2)-e-2(t-1))u(t-2)

E/2

(1-e-2(t-1))1<t<2

E/2(e-2(t-2)-e-2(t-1))t>2

0其它=结果与例2.5-1相同。y(t)=f(t)*h(t)=f′(t)*g(t)=结2.6LTI因果系统的全响应及其分解2.6.1全响应系统的储能系统的激励系统的全响应y(t)=yzi(t)+yzs(t)2.6LTI因果系统的全响应及其分解2.6.1全响例2.6-1已知某线性系统的传输算子

，激励f(t)=u(t)，初始条件y(0-)=1，y’(0-)=2,求系统的全响应y(t)。

解由特征根及初始条件y(0-)=1，y’(0-)=2,求得零输入响应为yzi(t)=(C0+C1t)e-tu(t)

y(0-)=1=C0

y’(0-)=-C0+C1=2,得C1=3

yzi(t)=(1+3t)e-tu(t)例2.6-1已知某线性系统的传输算子传输算子得

h(t)=e-tu(t)零状态响应

yzs(t)=f(t)*h(t)=u(t)*e-tu(t)利用例2.4-3的结果yzs(t)=(1-e-t)u(t)全响应y(t)=yzi(t)+yzs(t)

=(1+3t)e-tu(t)+(1-e-t)u(t)

=(1+3te-t)u(t)传输算子得h(t)=e

2.6.2全响应及其分解从响应与系统或激励的关系

自然（由）响应

由系统特征根决定模式的响应定义为自然（由）响应；

受（强）迫响应

与激励模式相同的响应定义为受（强）迫响应。

零输入响应是自然（由）响应；零状态响应是既有受（强）迫响应，也有自然（由）响应。2.6.2全响应及其分解从响应随时间t趋于无穷是否消失瞬态响应

响应中随着时间增长而消失的部分。例如e-tu(t)。稳态响应响应中随时间增长不会消失的部分。例如3sinωt·u(t)、u(t)。从响应随时间t趋于无穷是否消失例2.6-2

试指出例2.4-3各响应分量。

解

i(t)=(1-e-t)u(t)=u(t)-e-tu(t)

受迫、稳态

自然、瞬态零状态响应即例2.4-3响应i(t)是零状态响应，其中的e-tu(t)是自然（由）响应、瞬态响应；u(t)是受（强）迫响应、稳态响应。例2.6-2试指出例2.4-3各响应分量。受迫、稳例2.6-3

试指出例2.6-1各响应分量

解

y(t)=(1+3t)e-tu(t)+(1-e-t)u(t)=(1+3te-t)u(t)

零输入响应零状态响应受迫、稳态

自然、瞬态

即例2.6-1全响应y(t)中的零输入响应yzi(t)=(1+3t)e-tu(t)零状态响应yzs(t)=(1-e-t)u(t)

u(t)是受（强）迫响应、稳态响应；3te-tu(t)是自然（由）响应、瞬态响应。例2.6-3试指出例2.6-1各响应分量零输入响应零第2章连续时间系统的时域分析2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子2.3LTI因果系统的零输入响应2.4LTI因果系统的零状态响应2.5卷积及其性质2.6LTI因果系统的全响应及其分解第2章连续时间系统的时域分析2.1LTI系统的数学模2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解2.1.1建立LTI系统的数学模型建立系统模型的方法1.输入输出描述法连续时间LTI系统————常系数线性微分方程离散时间LTI系统————常系数线性差分方程2.状态变量描述法2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解2.1.1例2.1-1如图2.1-1所示的RLC串联电路，e(t)为激励信号，响应为i(t)，试写出其微分方程。

解这是有两个独立动态元件的二阶系统，利用KVL定理列回路方程，可得图2.1-1RLC串联电路例2.1-1如图2.1-1所示的RLC串联电路，e(t)一般有n个独立的动态元件组成的系统就是n阶系统(或n个一次线性微分方程组)。一般电路系统的阶数等于独立的uC(t)与iL(t)的个数之和，其中独立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含电源)表示；独立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含电源)表示。一般有n个独立的动态元件组成的系统就例2.1-2如下图所示电路，判断系统阶数。

解(1)R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)，uC2(t)=uR2(t)，有两个独立的uC(t)，所以该系统是二阶系统。(2)uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)，是通过其它uC(t)表示的，是非独立的uC(t)；但uC2(t)≠uC3(t)，有两个独立的uC(t)，所以该系统也是二阶系统。

例2.1-2如下图所示电路，判断系统阶数。2.1.2系统微分方程求解——经典法

一般n阶LTI系统的微分方程为

初始条件为{y(0+),y′(0+),…,yn-1(0+)}。由上式可得系统的特征方程为αn+a1αn-1+...+an-1α+an=0

(α-α1)(α-α2)...(α-αn)=0

(2.1-1)由特征方程可求得特征根。2.1.2系统微分方程求解——经典法假设特征根均为单根α1、α2、...、αn，由其得到通解yh(t)的一般形式(2.1-2)式中αi为特征根。假设特征根均为单根α1、α2、...微分方程特解的形式与激励形式相同，如表2-1所示，代入原方程中得到具体系数。微分方程的解由通解与特解两部分组成，即完全解为(2.1-3)由n个初始条件{y(0+),y′(0+),...,yn-1(0+)}确定n个Ci系数。微分方程特解的形式与激励形式相同，表2-1典型激励对应的特解表2-1典型激励对应的特解2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子2.2.1用算子符号表示微分方程

n阶LTI系统的数学模型是n阶常系数线性微分方程。将方程中的微、积分运算用算子符号p与1/p表示，可得到算子方程。

微分算子积分算子

2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子2.2.这样，例2.1-1电路的微分方程可以表示为p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)式(1.6-6)的n阶线性微分方程可以用算子表示为

a0pny(t)+a1pn-1y(t)+...+an-1

py(t)+any(t)

=b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+...+bm-1

pf(t)+bmf(t)

(2.2-4)这样，例2.1-1电路的微分方程可以表示为算子方程中的每一项表示的是运算关系，不是代数运算。模仿代数运算，还可以将上式简化为(a0pn+a1pn-1+...+an-1p+an)y(t)

=(b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm)f(t)(2.2-5)若再令D(p)=a0pn+a1pn-1+...+an-1p+ao(2.2-6a)N(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm

(2.2-6b)算子方程中的每一项表示的是运算关系，不是代数运算。模仿代则称D(p)、N(p)为算子多项式，式(2.2-5)可进一步简写为D(p)y(t)=N(p)f(t)(2.2-7)式(2.2-7)是n阶线性微分方程的算子方程。在这里，我们利用了提取公因子的代数运算规则。式(2.2-7)还可以进一步改写为(2.2-8)则称D(p)、N(p)为算子多项式式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系，分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系，而不是两个多项式相除的简单代数关系。算子表示的是微、积分运算，因此代数运算规则不能简单照套，下面具体讨论算子的运算规则。式中分母多项式D(p)表示对输出y((1)可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。(p+a)(p+b)x=［p2+(a+b)p+ab］x(2.2-9)

这样例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)还可以表示为(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(1)可进行类似代数运算的因式分解或因式相(2)算子方程左、右两端的算子符号p不能随便消去。由，解出x=y+C而不是x=y，两者相差一个任意常数C，所以不能由px=py得到x=y，即px=py，但x≠y。这一结论可推广到一般的算子方程：D(p)x=D(p)y，但x≠y

(2)算子方程左、右两端的算(3)p、1/p位置不能互换。因为所以

(2.2-10)而

形式上先“除”后“乘”即先积分后微分的运算次序，算子可消去；形式上先“乘”后“除”即先微分后积分的运算次序，算子不可消去。

(3)p、1/p位置不能互换。因

2.2.2用算子电路建立系统数学模型

先将电路中所有动态元件用算子符号表示，得到算子电路；再利用广义的电路定律，建立系统的算子方程；最后将算子方程转换为微分方程。

电感的算子表示可由其电压电流关系得到，因为

(2.2-12)式中,Lp是电感算子符号，可以理解为广义的电感感抗值，

式(2.2-12)可以理解为广义欧姆定律。2.2.2用算子电路建立系统数学模型(2.2-12

同理，由电容上的电压电流关系得到(2.2-13)式中,

1/Cp是电容算子符号，可以理解为广义的电容容抗值，

式(2.2-13)也可以理解为广义欧姆定律。(2.2-13)式中,1/C例2.2-1如图2.1-1所示RLC串联电路，输入为e(t)，输出为电流i(t),用算子法列出算子方程与微分方程。

解

将图2.1-1中的电感、电容用算子符号表示，得到算子电路如图2.2-1所示，利用广义的KVL,列出算子方程式两边同时作微分运算（“前乘”p），得算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)图2.2-1例2.2-1的算子电路由上面的算子方程写出微分方程为例2.2-1如图2.1-1所示RLC串联电路，克莱姆法则有n个未知数n个方程的线性方程组

设

为未知数系数构成的行列式。

为D的第j列的系数列换为方程组右端的常数项所得。如果

，则方程组有唯一解

克莱姆法则例2.2-2

如图2.2-2(a)电路，f(t)为激励信号，响应为i2(t)，试用算子法求其算子方程与微分方程。

解将图2.2-2(a)中的电感用算子符号表示如图2.2-2(b)所示，利用广义网孔法列出两个算子方程(3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t)

-pi1(t)+(p+3)i2(t)=0

图2.2-2例2.2-2电路与算子电路

例2.2-2如图2.2-2(a)电路，f(利用克莱姆法则，解出(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程为也可以写成y″(t)+5y′(t)+1.5y(t)=0.5f′(t)利用克莱姆法则，解出

例2.2-3如图2.2-3(a)所示电路输入为e(t)，输出为i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程与微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2Ω，R2=1Ω，C=1F。图2.2-3例2.2-3电路与算子电路例2.2-3如图2.2-3(a)解将图2.2-3中的电感、电容分别用算子符号表示如图2.2-3(b)所示，利用广义网孔法,列算子方程组解将图2.2-3中的电感、电容分为避免在运算过程中出现p/p因子，可先在上面的方程组两边同时作微分运算,即“前乘”p（当分子分母同时出现p时可约），得到

(p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t)

-i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0

为避免在运算过程中出现p/p因子，利用克莱姆法则，解出利用克莱姆法则，解出由式(2.2-6)与(2.2-7)，可得(2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t)微分方程为由式(2.2-6)与(2.2-7)，可得用相同的方法，可以得到微分方程为用相同的方法，可以得到微分方程为2.2.3传输（转移）算子H(p)我们定义传输（转移）算子H(p)为(2.2-14)这样，系统的输出可以表示为y(t)=H(p)f(t)(2.2-15)2.2.3传输（转移）算子H(p)我们定义传输（转移）例2.2-4求例2.2-1激励为e(t)，响应为i(t)的系统传输算子H(p)。

解

例2.2-1的算子方程为(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)则由