全国初中数学联赛试题及答案(2020年整理)x课件

学海无

涯

学海无涯1学海无

涯

学海无涯2学海无

涯

学海无涯3学海无

涯

学海无涯4学海无

涯

学海无涯5学海无

涯学海无涯6学海无

涯

学海无涯7学海无

涯

学海无涯8学海无

涯

学海无涯9学海无

涯

学海无涯10学海无

涯

学海无涯11学海无

涯

学海无涯12学海无

涯

学海无涯13学海无

涯

学海无涯14学海无

涯

学海无涯15学海无

涯

学海无涯16学海无

涯

学海无涯17学海无

涯

学海无涯18学海无

涯

学海无涯19学海无

涯

学海无涯20学海无

涯

学海无涯21学海无

涯

学海无涯22学海无

涯

学海无涯23学海无

涯

学海无涯24学海无

涯

学海无涯25学海无

涯２００６年全国初中数学联赛决赛试卷

学海无涯２００６年全国初中数学联赛决赛试卷26学海无

涯

２００６年全国初中数学联赛决赛试卷答案学海无涯２００６年全国初中数学联赛决赛试卷答案27学海无

涯

学海无涯28学海无

涯

学海无涯29学海无

涯

学海无涯30学海无

涯

学海无涯31学海无

涯２００７年全国初中数学联赛决赛试卷

学海无涯２００７年全国初中数学联赛决赛试卷32学海无

涯

学海无涯33学海无

涯

学海无涯34学海无

涯

学海无涯35学海无

涯

XXXX

年全国初中数学联合竞赛第一试答案学海无涯XXXX年全国初中数学联合竞赛第一试答案36

学海无

涯XXXX

年全国初中数学联合竞赛第二试学海无涯37学海无

涯XXXX

年全国初中数学联合竞赛第二试答案

学海无涯XXXX年全国初中数学联合竞赛第二试答案38学海无

涯

XXXX

年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分

42

分，每小题

7

分）1．设a

7

1，则3a3

12a2

6a

12

（））A．24 B．

25 C．4

7

10 D．47

12在△ABC

中，最大角∠A

是最小角∠C

的两倍，且

AB＝7，AC＝8，则

BC＝（A．

7

2 B．

10 C． 105 D．7

3用[x]

表示不大于

x

的最大整数，则方程

x2

2[x]

3

0

的解的个数为（

）A．1 B．

2 C．

3 D．

44．设正方形

ABCD的中心为点

O，在以五个点

A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）A．

3 B．1437C．12D．475．如图，在矩形

ABCD

中，AB＝3，BC＝2，以

BC

为直径在矩形内作半圆，自点

A

作半圆的切线

AE，则sin

CBE＝（ ）A．63B．23C．D．1 103 106．设n

是大于

1909的正整数，使得

n

1909

为完全平方数的n

的个数是（ ）A．3 B．

42009

nC．

5 D．

6二、填空题（本题满分

28分，每小题

7

分）已知t

是实数，若a,b

是关于

x

的一元二次方程

x2

2x

t

1

0的两个非负实根，则(a2

1)(b2

1)

的最小值是

．设

D

是△ABC

的边

AB

上的一点，作

DE//BC

交

AC

于点

E，作

DF//AC

交

BC

于点

F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m

和n

，则四边形

DECF

的面积为

．3．如果实数

a、b

满足条件a2

b2

1，|1

2a

b

|

2a

1

b2

a2

，则

a

+b=

．4．已知

a、b

是正整数，且满足2(b15

a15

)

是整数，则这样的有序数对（a，b）共有__对．DABCE学海无涯XXXX年全国初中数学联合竞赛试题第一39EFQ

PHNMACBFEI1I2DAC学海无

涯第二试

（A）一、（本题满分

20

分）已知二次函数

y

x2

bx

c

(c

0)

的图象与

x

轴的交点分别为

A、B，与

y

轴的交点为

C．设△ABC

的外接圆的圆心为点

P．证明：⊙P

与

y

轴的另一个交点为定点．如果

AB

恰好为⊙P

的直径且S△ABC＝2

，求b

和c

的值．二、（本题满分

25

分）设

CD是直角三角形

ABC的斜边

AD上的高，

I

、IB分别是△ADC、△BDC

的内心，AC＝3，BC＝4，求I

I

．1 2 1

2三、（本题满分

25

分）已知a,b,c

为正数，满足如下两个条件：a

b

c

32 ①ca

abb

c

a c

a

ba

b

c

1

②4bc证明：以

a

,

b,

c

为三边长可构成一个直角三角形．

第二试

（B）一、（本题满分

20

分）题目和解答与（A）卷第一题相同．二、（本题满分

25

分）已知△ABC

中，∠ACB＝90°，AB

边上的高线

CH

与△ABC的两条内角平分线

AM、BN分别交于

P、Q

两点．PM、QN的中点分别为

E、F．求证：EF∥AB．三、（本题满分

25

分）题目和解答与（A）卷第三题相同．XXXX

年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试：

ACCBDB； -3，2

mn，-1，-7EFHNMACBFEI1I2DAC学海无涯三、（40FEI1I2DBAC学海无

涯第二试

（A）一、解：（1）易求得点C

的坐标为(0,

c)

，设A(x1,

0)

，

B(x2

,

0)

，则

x1

x2

b

，

x1x2

c

．设⊙P

与

y

轴的另一个交点为

D，由于

AB、CD

是⊙P

的两条相交弦，它们的交点为点

O，所以

OA×OB＝OC×OD，则OD

OA

OB

x1x2

c

1．OC

c

c因为c

0

，所以点C

在

y

轴的负半轴上，从而点

D在

y

轴的正半轴上，所以点

D为定点，它的坐标为（0，1）．（2）因为

AB⊥CD，如果

AB恰好为⊙P

的直径，则

C、D

关于点

O对称，所以点C

的坐标为(0,

1)

，即c

1

．又AB

x

x

(x

x)2

4x

x

(b)2

4c

b2

4

，1 2 1 2 1

21 12 2△ABC所以

S

AB

OC

b2

4

1

2

，解得b

23

．二、解：作I1

E⊥AB于

E，

I2

F⊥AB于

F．在直角三角形

ABC

中，AC＝3，BC＝4，

AB

=AC2

+

BC2

5

．AC2 9又

CD⊥AB，由射影定理可得A

D

=AB

5165

，故BD

=

AB

AD

，5CD

= AC2

AD2

12

．1 12 5因为I

E

为直角三角形

ACD的内切圆的半径，所以I

E

＝

1

(AD

CD

AC)

3

．1连接

D

I1

、D

I2

，则

D

I1

、D

I2

分别是∠ADC

和∠BDC

的平分线，所以∠

I1

DC＝∠

I1

DA＝∠

I2

DC＝∠

I2

DB＝45°，故∠

I1

D

I2

＝90°，3I1E

所以I1

D⊥

I2

D，

DI1

5

3sin

ADI sin

45

52

．2 25 51

2

1

2同理，可求得I

F

4

，

DI

4

2

．

所以I

I

＝

DI2

DI2

2

．三、证法

1

将①②两式相乘，得(b

c

a

c

a

b

a

b

c

)(a

b

c)

8

，bc ca ab即(b

c)2

a2

(c

a)2

b2

(a

b)2

c2

bc ca ab8

，FEI1I2DBAC学海无涯1 12 2△ABC所以41学海无

涯即bc ca ab(c

a)2

b2 (a

b)2

c2(b

c)2

a2

4

4

0

，即(b

c)2

a2

(c

a)2

b2

(a

b)2

c2

bc ca ab0

，即(b

c

a)(b

c

a)

(c

a

b)(c

a

b)

(a

b

c)(a

b

c)

0

，bc ca ab即(b

c

a)[a(b

c

a)

b(c

a

b)

c(a

b

c)]

0

，abc即(b

c

a)[2ab

a2

b2

c2

]

0

，即(b

c

a)[c2

(a

b)2

]

0

，abc abc即(b

c

a)

(c

a

b)(c

a

b)

0

，abc所以b

c

a

0

或c

a

b

0

或c

a

b

0

，即b

a

c

或c

a

b

或c

b

a

．因此，以

a

,

b,

c为三边长可构成一个直角三角形．证法

2bc

ca结合①式，由②式可得

32

2a

32

2b

32

2c

1

，4变形，得1024

2(a2

b2

c2

)

1

abcab

4③又由①式得(a

b

c)2

1024

，即a2

b2

c2

1024

2(ab

bc

ca)

，代入③式，得1024

2[1024

2(ab

bc

ca)]

1

abc

，即abc

16(ab

bc

ca)

4096

．4(a

16)(b

16)(c

16)

abc

16(ab

bc

ca)

256(a

b

c)

163

4096

25632

163

0，所以a

16

或b

16

或c

16

．结合①式可得b

a

c

或c

a

b

或c

b

a

．因此，以

a

,

b,

c

为三边长可构成一个直角三角形．

第二试

（B）一、解答与（A）卷第一题相同．二、解：因为

BN

是∠ABC

的平分线，所以ABN

CBN

．又因为

CH⊥AB，所以CQN

BQH

90ABN

90CBN

CNB，学海无涯即bc ca ab(ca)2b242学海无

涯因此CQ

NC．又

F

是

QN

的中点，所以

CF⊥QN，所以CFB

90

CHB

，因此

C、F、H、B四点共圆．又FBH

=

FBC

，所以

FC＝FH，故点

F

在

CH

的中垂线上．同理可证，点

E

在

CH的中垂线上．因此

EF⊥CH．又

AB⊥CH，所以

EF∥AB．三、解答与（A）卷第三题相同．

学海无涯因此CQNC．43学海无

涯

学海无涯44学海无

涯

学海无涯45学海无

涯

学海无涯46学海无

涯

学海无涯47学海无

涯

学海无涯48学海无

涯学海无涯49学海无

涯

学海无涯50学海无

涯

学海无涯51学海无

涯

学海无涯52学海无

涯

学海无涯53学海无

涯

学海无涯54学海无

涯

学海无涯55学海无

涯

学海无涯56学海无

涯

学海无涯57学海无

涯

学海无涯58学海无

涯

学海无涯59学海无

涯

学海无涯60学海无

涯

学海无涯61学海无

涯

学海无涯62学海无

涯

学海无涯63学海无

涯

学海无涯64学海无

涯

学海无涯65学海无

涯

学海无涯66学海无

涯

学海无涯67学海无

涯

学海无涯68学海无

涯２００６年全国初中数学联赛决赛试卷

学海无涯２００６年全国初中数学联赛决赛试卷69学海无

涯

２００６年全国初中数学联赛决赛试卷答案学海无涯２００６年全国初中数学联赛决赛试卷答案70学海无

涯

学海无涯71学海无

涯

学海无涯72学海无

涯

学海无涯73学海无

涯

学海无涯74学海无

涯２００７年全国初中数学联赛决赛试卷

学海无涯２００７年全国初中数学联赛决赛试卷75学海无

涯

学海无涯76学海无

涯

学海无涯77学海无

涯

学海无涯78学海无

涯

XXXX

年全国初中数学联合竞赛第一试答案学海无涯XXXX年全国初中数学联合竞赛第一试答案79

学海无

涯XXXX

年全国初中数学联合竞赛第二试学海无涯80学海无

涯XXXX

年全国初中数学联合竞赛第二试答案

学海无涯XXXX年全国初中数学联合竞赛第二试答案81学海无

涯

XXXX

年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分

42

分，每小题

7

分）1．设a

7

1，则3a3

12a2

6a

12

（））A．24 B．

25 C．4

7

10 D．47

12在△ABC

中，最大角∠A

是最小角∠C

的两倍，且

AB＝7，AC＝8，则

BC＝（A．

7

2 B．

10 C． 105 D．7

3用[x]

表示不大于

x

的最大整数，则方程

x2

2[x]

3

0

的解的个数为（

）A．1 B．

2 C．

3 D．

44．设正方形

ABCD的中心为点

O，在以五个点

A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）A．

3 B．1437C．12D．475．如图，在矩形

ABCD

中，AB＝3，BC＝2，以

BC

为直径在矩形内作半圆，自点

A

作半圆的切线

AE，则sin

CBE＝（ ）A．63B．23C．D．1 103 106．设n

是大于

1909的正整数，使得

n

1909

为完全平方数的n

的个数是（ ）A．3 B．

42009

nC．

5 D．

6二、填空题（本题满分

28分，每小题

7

分）已知t

是实数，若a,b

是关于

x

的一元二次方程

x2

2x

t

1

0的两个非负实根，则(a2

1)(b2

1)

的最小值是

．设

D

是△ABC

的边

AB

上的一点，作

DE//BC

交

AC

于点

E，作

DF//AC

交

BC

于点

F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m

和n

，则四边形

DECF

的面积为

．3．如果实数

a、b

满足条件a2

b2

1，|1

2a

b

|

2a

1

b2

a2

，则

a

+b=

．4．已知

a、b

是正整数，且满足2(b15

a15

)

是整数，则这样的有序数对（a，b）共有__对．DABCE学海无涯XXXX年全国初中数学联合竞赛试题第一82EFQ

PHNMACBFEI1I2DAC学海无

涯第二试

（A）一、（本题满分

20

分）已知二次函数

y

x2

bx

c

(c

0)

的图象与

x

轴的交点分别为

A、B，与

y

轴的交点为

C．设△ABC

的外接圆的圆心为点

P．证明：⊙P

与

y

轴的另一个交点为定点．如果

AB

恰好为⊙P

的直径且S△ABC＝2

，求b

和c

的值．二、（本题满分

25

分）设

CD是直角三角形

ABC的斜边

AD上的高，

I

、IB分别是△ADC、△BDC

的内心，AC＝3，BC＝4，求I

I

．1 2 1

2三、（本题满分

25

分）已知a,b,c

为正数，满足如下两个条件：a

b

c

32 ①ca

abb

c

a c

a

ba

b

c

1

②4bc证明：以

a

,

b,

c

为三边长可构成一个直角三角形．

第二试

（B）一、（本题满分

20

分）题目和解答与（A）卷第一题相同．二、（本题满分

25

分）已知△ABC

中，∠ACB＝90°，AB

边上的高线

CH

与△ABC的两条内角平分线

AM、BN分别交于

P、Q

两点．PM、QN的中点分别为

E、F．求证：EF∥AB．三、（本题满分

25

分）题目和解答与（A）卷第三题相同．XXXX

年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试：

ACCBDB； -3，2

mn，-1，-7EFHNMACBFEI1I2DAC学海无涯三、（83FEI1I2DBAC学海无

涯第二试

（A）一、解：（1）易求得点C

的坐标为(0,

c)

，设A(x1,

0)

，

B(x2

,

0)

，则

x1

x2

b

，

x1x2

c

．设⊙P

与

y

轴的另一个交点为

D，由于

AB、CD

是⊙P

的两条相交弦，它们的交点为点

O，所以

OA×OB＝OC×OD，则OD

OA

OB

x1x2

c

1．OC

c

c因为c

0

，所以点C

在

y

轴的负半轴上，从而点

D在

y

轴的正半轴上，所以点

D为定点，它的坐标为（0，1）．（2）因为

AB⊥CD，如果

AB恰好为⊙P

的直径，则

C、D

关于点

O对称，所以点C

的坐标为(0,

1)

，即c

1

．又AB

x

x

(x

x)2

4x

x

(b)2

4c

b2

4

，1 2 1 2 1

21 12 2△ABC所以

S

AB

OC

b2

4

1

2

，解得b

23

．二、解：作I1

E⊥AB于

E，

I2

F⊥AB于

F．在直角三角形

ABC

中，AC＝3，BC＝4，

AB

=AC2

+

BC2

5

．AC2 9又

CD⊥AB，由射影定理可得A

D

=AB

5165

，故BD

=

AB

AD

，5CD

= AC2

AD2

12

．1 12 5因为I

E

为直角三角形

ACD的内切圆的半径，所以I

E

＝

1

(AD

CD

AC)

3

．1连接

D

I1

、D

I2

，则

D

I1

、D

I2

分别是∠ADC

和∠BDC

的平分线，所以∠

I1

DC＝∠

I1

DA＝∠

I2

DC＝∠

I2

DB＝45°，故∠

I1

D

I2

＝90°，3I1E

所以I1

D⊥

I2

D，

DI1

5

3sin

ADI sin

45

52

．2 25 51

2

1

2同理，可求得I

F

4

，

DI

4

2

．

所以I

I

＝

DI2

DI2

2

．三、证法

1

将①②两式相乘，得(b

c

a

c

a

b

a

b

c

)(a

b

c)

8

，bc ca ab即(b

c)2

a2

(c

a)2

b2

(a

b)2

c2

bc ca ab8

，FEI1I2DBAC学海无涯1 12 2△ABC所以84学海无

涯即bc ca ab(c

a)2

b2 (a

b)2

c2(b

c)2

a2

4

4

0

，即(b

c)2

a2

(c

a)2

b2

(a

b)2

c2

bc ca ab0

，即(b

c

a)(b

c

a)

(c

a

b)(c

a

b)

(a

b

c)(a

b

c)

0

，bc ca ab即(b

c

a)[a(b

c

a)

b(c

a

b)

c(a

b

c)]

0

，abc即(b

c

a)[2ab

a2

b2

c2

]

0

，即(b

c

a)[c2

(a

b)2

]

0