结构力学6位移法和力矩分配法课件

1§6—1位移法的基本概念

力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。力法—位移法—

以某些结点位移(角位移和线位移）为基本未知量，由结点或截面的平衡条件建立位移法方程，求出未知位移后再计算内力。

以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。一、位移法的提出(DisplacementMethod)

位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。ACDlll/2lEI=常数BF

结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。

力法：六个未知约束力。位移法：一个未知位移（θB）。1§6—1位移法的基本概念力法和位移法是分析超静定2三次超静定图示刚架

力法：三个未知约束力。位移法：一个未知位移（θB）。位移法的基本假定：（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。（2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持不变。注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。

力法与位移法必须满足的条件：力的平衡;2.位移的协调;3.力与位移的物理关系。2三次超静定图示刚架力法：三个未知约束力。位移法：一个3二、位移法的基本思路将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：（6-1）θB为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。由变形协调条件知，各杆在结点B端有共同的角位移θB。考虑结点B的平衡条件,由∑MB=0，将（6-1）代入式（6-2）得于是

（6-2）有

将θB

回代入公式(6-1)

则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。

3二、位移法的基本思路将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各4以图示刚架为例予以说明123EI=常数FP刚架在荷载FP作用下将发生如虚线所示的变形。Z1Z1

在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移。则12杆可以视为一根两端固定的梁（见图）。1FPZ12其受荷载FP作用和支座1发生转角Z1这两种情况下的内力均可以由力法求。同理，13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见图）。13Z1而在固定端1处发生了转角Z1，其内力同样由力法求出。

可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。⌒⌒⌒⌒⌒Z1返回4以图示刚架为例予以说明123EI=常数FP刚架在荷载FP作5由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。见第五章。（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。（3）如何求出这些位移。下面依次讨论这些问题。返回5由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：（1）用力法算出6§6—2位移法基本未知量的确定

在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。(1)独立角位移数目的确定

由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。1.位移法的基本未知量这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。例如图示刚架123456独立的结点角位移数目为2。返回6§6—2位移法基本未知量的确定在位移法中，基本未7(2)独立线位移数目的确定（观察法、换铰法。）

在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个刚性链杆，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移(侧移)。例如(见图a）1234564、5、6三个固定端都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移△。FP△△△(a)事实上，图(a)所示结构的独立线位移数目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b)

将结构的刚结点(包括固定支座)都变成铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目(见图b)。返回7(2)独立线位移数目的确定（观察法、换铰法。）在一般8位移法的基本未知量的数目为6个。

需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。

需增加两根链杆，

2个独立的线位移。结构有四个刚结点——四个结点角位移。8位移法的基本未知量的数目为6个。需注意：92.位移法的基本结构

用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁(或可定杆件)。通常的做法是，在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同时在有线位移的结点上加上附加支座链杆(阻止结点移动)。123456例如(见图a)(a)又例如(见图b)(b)234567共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。基本结构如图所示。1

基本未知量三个。返回92.位移法的基本结构用位移法计算超静定结构时，每一10

例：确定图a所示连续梁的基本结构。（图a）（图b）

在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。

10例：确定图a所示连续梁的基本结构。（图a）（图b11§6-3位移法的典型方程及计算步骤一、位移法的基本方程1.无侧移刚架基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系。

基本未知量——结点B转角θB，设其为Z1。在结点B

附加刚臂得基本结构。

原结构基本结构基本体系

原结构基本结构基本体系

11§6-3位移法的典型方程及计算步骤一、位移法的基本方程12

2)人为给予结点B以转角Z1

,由于转角而引起附加约束的附加反力R11。

在基本结构上分别考虑：基本体系

+=1)荷载引起的附加约束中的反力R1P。由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系.122)人为给予结点B以转角Z1,由于转角而引起附13

设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则

R11=r11Z1，将其代入公式（6-3）得思考：基本体系与原结构有何不同？

原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附加约束反力矩。

思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原结构完全等价？要使基本体系与原结构完全相等，必须要有

R11+R1P=R1=0

即：

R11+R1P=0

(6-3）

R的下标:

第一个下标表示产生附加反力矩的位置，第二个下标表示产生附加反力矩的原因。13设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力14r11Z1+R1P=0

（6-4）

------求解基本未知量Z1的位移法方程。求系数r11作基本结构当位移

Z1=1

时的弯矩图（图）。

i=EI/l称为该杆的线刚度。取结点B为隔离体，由力矩平衡条件得

14r11Z1+R1P=0（6-415

求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩图(MP图)。利用力矩平衡条件∑MB=0，

得

注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定它们都与转角

Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。

取结点B为隔离体15求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时16将系数r11和自由项

R1P代入位移法方程式（6-4）有得叠加法绘制结构的弯矩图。16将系数r11和自由项R1P代入位移法方程式（6-4）有172.有侧移刚架

图示刚架，在荷载作用下该刚架将发生虚线所示的变形。

结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2。

(1)基本未知量：172.有侧移刚架图示刚架，在荷载作用下该18基本结构(2)基本方程基本体系转化为原体系的条件为：附加约束上的反力——R1=0、R2=0

。基本体系在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得

（6-5）

18基本结构(2)基本方程基本体系在小变形线弹性条件下，根19第一式：反应了结点1的矩平衡条件。设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆的约束力r21；Z2=1时附加刚臂的约束反力矩r12

，附加链杆的约束力r22，则第二式：反应了原结构横梁12上柱的剪力平衡条件。

R122FQ13Q24F

将R11、R12、R21、R22

代入位移法方程式（6-5）的得位移法典型方程(基本方程)（6-5）

位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零,反映了原结构的静力平衡条件。

19第一式：设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆20rij——表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移Zj=1时，在附加约束i上产生的约束力（或约束反力矩）。

二、位移法典型方程（6-6）

对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程rij

反映结构的刚度，称为刚度系数。rij=

rji

（由反力互等定理）。RiP称为自由项，它表示在基本结构上仅有荷载作用时，在附加约束i上产生的约束反力或反力矩。20rij——表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移Zj=121(3)求典型方程中的系数和自由项。

1）作基本结构单独在Z1=1作用时的弯矩图取刚结点1为隔离体，由平衡条件得

继续求解

在绘出图、图后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。

21(3)求典型方程中的系数和自由项。1）作基本结构单独22截取横梁12为隔离体由平衡条件得

FFMM1331Q13Q31312442Q42Q24FFM22截取横梁12为隔离体由平衡条件得FFMM1331Q1323

取刚结点1为隔离体，由平衡条件得

3)作基本结构单独在荷载单独作用时的弯矩图MP图。截取横梁12为隔离体,由平衡条件得23取刚结点1为隔离体，由平衡条件得3)作基本结24进行系数和自由项计算时，应注意以下两点：

(1)杆端剪力可根据杆端弯矩求出。在绘出图、图、后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。

(2）由反力互等定理可知，必有r12=r21，计算时可以互相校核，熟练后只需计算其中之一。将系数和自由项代入典型方程（6-6），则结果为正值，表明所设Z1、Z2的方向与实际方向一致。

(4)解方程

联立求解得

，24进行系数和自由项计算时，应注意以下两点：25(5)弯矩图25(5)弯矩图26(6)

根据弯矩图可作出简力图和轴力图。

(7)校核。

结点满足力矩平衡条件。

取横梁12为隔离体，它满足剪力平衡条件，可以判断所得结果正确。26(6)根据弯矩图可作出简力图和轴力图。(7)校核27三、位移法典型方程计算结构的步骤(1)

确定基本未知量——即原结构的独立结点角位移和线位移;(2)

建立基本结构——在原结构上增设与基本未知量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得到位移法基本结构;(3)

建立位移法典型方程;(4)

计算典型方程中系数和自由项;

绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的基本结构的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。(5)

解算典型方程；求出作为基本未知量的各结点位移Z1、Z2

、…、Zn。(6)

作内力图；根据，按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。(7)

校核。按平衡条件进行校核。思考：位移法能用于计算静定结构吗？

能！凡是具有未知结点位移的结构,不管是静定或是超静定,都可以用位移法求解。位移法比较适宜于编制通用计算程序,进行大规模的工程计算。27三、位移法典型方程计算结构的步骤(1)确定基本未知量—28

解：(1)

确定基本未知量，结点B的角位移Z1。例6-2

用位移法计算图示的连续梁的内力。EI=常数。

(2)

建立基本结构，得到基本体系。(3)建立位移法典型方程。（4）计算系数和自由项。

令，做出图

28解：(1)确定基本未知量，结点B的角位移Z1。29

由隔离体——结点B的力矩平衡条件∑MB=0

，得

作出MP图（查表）

由∑MB=0

取结点B为隔离体，将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，解得(5)解算位移法方程，CABiZ=M112i3i41图11r34iiB29由隔离体——结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得30(6)作内力图。注意:杆端弯矩顺时针为正。但弯矩图仍画在杆件纤维受拉一侧。

按叠加法根据计算杆端弯矩.30(6)作内力图。注意:杆端弯矩顺时针为正。但弯矩图仍画31

根据M图利用平衡条件求出各杆杆端剪力,绘出剪力图。取AB杆为隔离体由

得由

得9kN/m963ABFQFQABBA31根据M图利用平衡条件求出各杆杆端剪力,32取BC杆为隔离体，由得由得绘出剪力图(7)按平衡条校核80kN63FFBCBCQCBQ32取BC杆为隔离体，由得由得绘出剪力图(7)按平衡条校核833(2)

建立基本结构。

(3)

建立位移法典型方程。刚结点B角位移Z1，水平线位移Z2解：(1)基本未知量

例6-3试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各杆的E为常数。33(2)建立基本结构。(3)建立位移法典型方程。刚结34(4)

计算系数和自由项。令

,作出图取横梁ABC为隔离体，由剪力平衡条件得由力矩平衡条件有取结点B为隔离体rA21FQCBDr11B34(4)计算系数和自由项。令,作出图35取结点B为隔离体，有（反力互等定理）作

图取横梁ABC为隔离体，有rCBA22FQBDr121222=123/2irrABCDM2ͼ3/2iZ35取结点B为隔离体，有（反力互等定理）作图取36作MP图取结点B为隔离体取横梁ABC为隔离体，有(5)解算位移法方程解之得将系数和自由项代入位移法方程，得有CBAFBDQRRP2P1P36作MP图取结点B为隔离体取横梁ABC为隔离体，有(5)37

(6)

作弯矩图。

(7)校核。满足结点的力矩平衡条件，由此判定计算无误。37(6)作弯矩图。(7)校38解：

(1)确定基本未知量。基本未知量为独立的结点线位移Z1

。(2)建立基本结构。(3)建立位移法典型方程。例6-5试用位移法计算图所示排架。基本结构(b)CDBA38解：(1)确定基本未知量。(2)建立基本结构。(339(4)

计算系数和自由项。作图，取横梁CD为隔离体由∑X=0,得39(4)计算系数和自由项。作图，取横梁CD为隔40将系数r11和自由项

R1P代入位移法方程，解得(5)解算位移法方程。由MP图，有自由项

40将系数r11和自由项R1P代入位(5)解算位移法方程41(6)作内力图。根据

按叠加法绘制最后弯矩图41(6)作内力图。按叠加法绘制最后弯矩图42

横梁弯曲刚度无穷大，结点处不产生转动，本题只有一个线位移未知量。

例6-6试用位移法计算图示横梁刚度无穷大的刚架，绘弯矩图。E=常数。(2)

建立基本体系。解:(1)

确定基本未知量思考：刚结点处为什么不产生转动？42横梁弯曲刚度无穷大，结点处不产生转动，本题只有一43(3)建立位移法方程(4)计算系数和自由项由图得系数荷载作用在横梁上不引起立柱

MP弯矩。自由项FR1P将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，解得(5)解算位移法方程。i/l122i/l182i/l122i/l6i/l6i/l6i/l6i/l9i/l911r11Z=43(3)建立位移法方程(4)计算系数和自由项由44(6)用叠加法作内力图。

注意:

1.横梁上的弯矩按平衡条件确定。

2.由弯矩图，利用平衡条件，可进一步绘出剪力图。44(6)用叠加法作内力图。注意:45

利用转角位移方程,考虑结点和截面的平衡直接建立位移法典型方程步骤：

1.写出各杆的转角位移方程,用杆端位移表示各杆件的杆端内力；

2.考虑各刚结点的力矩平衡条件及结构某一截面的投影平衡条件建立位移法方程。求出各结点位移；

3.将结点位移回代入转角位移方程而求出各杆的杆端弯矩。直接由平衡条件建立位移法基本方程例6-8试用直接平衡条件计算图示刚架，并绘出M图。解:(1)确定基本未知量。

基本未知量是结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2。

(2)

利用转角位移方程，写出各杆端弯矩表达式。由于杆端位移应等于结点位移,有45利用转角位移方程,考虑结点和截面的平衡直接建立位移46

杆12对应一端固定、一端铰支的等截面直杆，且杆端12的相对线位移为零，则由式（6-5）得

杆24也对应一端固定、一端铰支等截面直杆，且杆端4的转角为零，则由式（6-５）得同理得，，(3)建立位移法方程。1MM1213相应于结点1的角位移Z1，取结点1为隔离体,建立力矩平衡方程(a)代入M13、M12的

表达式有46杆12对应一端固定、一端铰支的等截面直杆47

相应于结点1、2的水平线位移Z2，截取横梁为隔离体，建立水平投影方程(b)由，

式(b)可写成12FQ13FQ24将有关杆端弯矩代入得综合得位移法方程为这与用基本结构方法得到的典型方程完全一致。47相应于结点1、2的水平线位移Z2，截取横梁48

(5)求杆端弯矩。将求出的位移代回杆端弯矩表达式，可得各杆杆端弯矩分别为，，(4)

解联立方程，得48(5)求杆端弯矩。将求出的位移代回杆端弯矩表达式，可49§6—5力矩分配法的基本概念

计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自上世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。

这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。返回49§6—5力矩分配法的基本概念计算超静定结构，50基于位移法的渐近解法（successiveapproximationmethod）有：⑴力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。⑵无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。⑶迭代法：适于梁刚度大于柱刚度的各种刚架。力矩分配法（methodofmomentdistribution）理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。50基于位移法的渐近解法（successiveapprox51力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.转动刚度、传递系数⑴转动刚度Sij

定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的转动刚度，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故称为转动刚度。则转动刚度与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知远端固定时：ABEIL⌒1⃕MAB=4i⃕MBAABEI⌒1⃕MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB⌒1远端滑动支撑时：EI⃕MAB=i⃕MBASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB⌒1⃕MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i返回51力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.52(2)传递系数CijABEIL⌒1↷MAB=4i↷ABEI1↷MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB⌒1EI↷MAB=i↷MBA=-iSAB=MAB=iAB⌒1↷MABEISAB=MAB=0

当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数，用CAB表示。即或

MBA=CABMAB远端固定时：CAB=0.5远端铰支时：CAB=0远端滑动支撑：CAB=－1由右图或表(6—1)可得MBA=2i返回52(2)传递系数CijABEIL⌒1↷MAB↷ABE532.力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。1234qFP(a)1234(b)MP图图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角Z1，其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出MP图（图b),可求得自由项为R1P=R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的不平衡力矩。↷R1P1↶↶↷↷R1P返回532.力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分54r11=式中∑S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和。1234(c)图⃕‖2i124i123i13i14绘出结构的图（见图c)，计算系数为：解典型方程得Z1=

然后可按叠加法M=计算各杆端的最后弯矩4i12+3i13+i14=S12+S13+S14=∑S1j返回54r11=式中∑S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总55M12=M13=M14=以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为分配弯矩，12、13、14等称为分配系数，其计算公式为1j=结点1的各近端弯矩为：返回55M12=M13=M14=以上各式右边第一项为荷载产生的弯561j=显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即∑1j=1。各远端弯矩如下M21=M31=M41=各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。返回561j=显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于157得出上述规律后，便可不必绘MP

、

图，也不必列出典型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。其过程分为两步：

(1)固定结点

即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。(2)放松结点

即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。返回57得出上述规律后，便可不必绘MP、58例6—8试用力矩分配法作刚架的弯矩图。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)计算各杆端分配系数AB=AC=AD=AB=0.445AC=0.333AD=0.222(2)计算固端弯矩据表(5—1）EI2EIEI4m2m2m4m12qL2=+12qL2=+83FPL=8FPL=(3)进行力矩的分配和传递结点A的不平衡力矩为ACD杆端ABACADBACADA0.4450.3330.222分配系数固端弯矩-40+400－75-250-35分配弯矩+15.5+11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5最后弯矩+11.7-67.2-32.80B55.56011.767.232.8M图(kN.m)(b)32.2(4)计算杆端最后弯矩并作弯矩图+35返回58例6—8试用力矩分配法作刚架的弯矩图。ABCD30kN59§6—6用力矩分配法计算连续梁

对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。返回59§6—6用力矩分配法计算连续梁对于具有多个结点6016.7215.8611.57例6-9用力矩分配法求解图示连续梁，

EI为常数。ABC3m3m6mP=20kNq=2kN/m解：①不平衡力矩②分配系数③传递系数结点ABC杆端ABBABCCB分配系数固端弯矩分配传递4/73/7-1515-9000-1.72-3.43-2.57-16.7211.57-11.57单结点力矩分配得到精确解(kNm)平衡6016.7215.8611.57例6-9用力矩分配法61连续梁多结点的力矩分配法例6-10用力矩分配法求解图示刚架。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=220kN/m100kN解：①不平衡力矩②分配系数③传递系数61连续梁多结点的力矩分配法例6-10用力矩分配法求解图62结点ABCD杆端ABBABCCBCDDC分配系数固端弯矩C分配传递B分配传递C分配传递B分配传递ABCDEI=1EI=2EI=220kN/m100kN0.40.60.50.5-6060-100100-50-50首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始平衡0-252639平衡19.513-9.8-9.70-4.21.72.50.859.7-46.287.7-87.7-59.70一轮循环一轮循环62结点ABCD杆端ABBABCCBCDDC分配系数固端弯矩63ABCD杆端ABBABCCBCDDC59.7-46.287.7-87.7-59.70精确值60.546.088.1-88.1-60.50(kNm)59.746.287.7ABCD(kN)53.553.166.946.57.46求支座反力：23.1126.3B53.566.9RBRB=66.9+53.5=120.420kN/m100kN63ABCD杆端ABBABCCBCDDC59.7-46.264力矩分配法例6-11用力矩分配法求解图示连续梁。ABC1m5m1mEI=常数D50kNABC50kN50kNm法一：单结点力矩分配ABMabl结点ABC杆端ABBABCCB分配系数固端弯矩分配传递5/61/625500500-20.8-4.20-20.820.8①不平衡力矩②分配系数③传递系数5020.864力矩分配法例6-11用力矩分配法求解图示连续梁。AB65力矩分配法ABC1m5m1mD50kN法二：多结点力矩分配①不平衡力矩②分配系数③传递系数结点BC杆端BABCCBCD分配系数固端弯矩C分配传递B分配传递5/61/6-505025-20.8-4.2-20.820.85010-5065力矩分配法ABC1m5m1mD50kN法二：多结点力矩分66例6—10用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN/m400kN25kN/m解：

固定1`2结点。列表计算如下:12m6m6m12m分配系数10=12=21=23=固端弯矩MF-300+300-600+600-300-4500+150结点1分配传递+150+150+75+75结点2分配传递-129-96-640结点1分配传递+32+32+16+16结点2分配传递-9-7-500.50.50.5710.429结点1分配传递+2+3+1+1结点2分配传递-10最后弯矩M-208+484-484+553-5530EIEIEI+225-225返回66例6—10用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN67例6—11用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m8kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m8kN4kN↷4kN·m0.3750.6250.50.50.3750.625MF0+4.69-8+8-9.38+5.62+2+4分配及传递-4.76-2.86-2.380ABCDEFI2I2II0.8iii0.8i1mABCDE+1.24+2.070+1.03+1.37+1.36+0.68+0.68-0.43-0.25-0.21-0.25-0.43-0.21-7.62+3.31+2.73+0.42+0.21+0.21+0.11+0.11-0.04-0.07-0.03-0.07-0.04-0.03+0.03+0.03+0.02+0.02-0.01-0.01-0.01-0.01M0+5.63-5.63+10.40-10.40+1.16-1.16+4返回67例6—11用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m8681.5kN/m8kN4kNABCDEFI2I2IIM0+5.63-5.63+10.40-10.40+1.16-1.16+45.634.691.88121.1615048.06M图010.403.98返回681.5kN/m8kN4kNABCDEFI2I2IIM0+69力矩分配法⑴单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。⑵首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。⑶结点不平衡力矩要变号分配。⑷杆端总弯矩：⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。力矩分配法小结：单结点：近端弯矩=分配力矩+固端弯矩远端弯矩=传递力矩+固端弯矩多结点：近端弯矩=分配力矩+传递力矩+固端弯矩远端弯矩=分配力矩+传递力矩+固端弯矩69力矩分配法⑴单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法70力矩分配法ABCDE⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循环。ABCDEB、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、D传递，如此循环。F70力矩分配法ABCDE⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转71§6—1位移法的基本概念

力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。力法—位移法—

以某些结点位移(角位移和线位移）为基本未知量，由结点或截面的平衡条件建立位移法方程，求出未知位移后再计算内力。

以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。一、位移法的提出(DisplacementMethod)

位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。ACDlll/2lEI=常数BF

结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。

力法：六个未知约束力。位移法：一个未知位移（θB）。1§6—1位移法的基本概念力法和位移法是分析超静定72三次超静定图示刚架

力法：三个未知约束力。位移法：一个未知位移（θB）。位移法的基本假定：（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。（2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持不变。注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。

力法与位移法必须满足的条件：力的平衡;2.位移的协调;3.力与位移的物理关系。2三次超静定图示刚架力法：三个未知约束力。位移法：一个73二、位移法的基本思路将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：（6-1）θB为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。由变形协调条件知，各杆在结点B端有共同的角位移θB。考虑结点B的平衡条件,由∑MB=0，将（6-1）代入式（6-2）得于是

（6-2）有

将θB

回代入公式(6-1)

则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。

3二、位移法的基本思路将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各74以图示刚架为例予以说明123EI=常数FP刚架在荷载FP作用下将发生如虚线所示的变形。Z1Z1

在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移。则12杆可以视为一根两端固定的梁（见图）。1FPZ12其受荷载FP作用和支座1发生转角Z1这两种情况下的内力均可以由力法求。同理，13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见图）。13Z1而在固定端1处发生了转角Z1，其内力同样由力法求出。

可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。⌒⌒⌒⌒⌒Z1返回4以图示刚架为例予以说明123EI=常数FP刚架在荷载FP作75由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。见第五章。（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。（3）如何求出这些位移。下面依次讨论这些问题。返回5由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：（1）用力法算出76§6—2位移法基本未知量的确定

在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。(1)独立角位移数目的确定

由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。1.位移法的基本未知量这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。例如图示刚架123456独立的结点角位移数目为2。返回6§6—2位移法基本未知量的确定在位移法中，基本未77(2)独立线位移数目的确定（观察法、换铰法。）

在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个刚性链杆，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移(侧移)。例如(见图a）1234564、5、6三个固定端都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移△。FP△△△(a)事实上，图(a)所示结构的独立线位移数目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b)

将结构的刚结点(包括固定支座)都变成铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目(见图b)。返回7(2)独立线位移数目的确定（观察法、换铰法。）在一般78位移法的基本未知量的数目为6个。

需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。

需增加两根链杆，

2个独立的线位移。结构有四个刚结点——四个结点角位移。8位移法的基本未知量的数目为6个。需注意：792.位移法的基本结构

用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁(或可定杆件)。通常的做法是，在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同时在有线位移的结点上加上附加支座链杆(阻止结点移动)。123456例如(见图a)(a)又例如(见图b)(b)234567共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。基本结构如图所示。1

基本未知量三个。返回92.位移法的基本结构用位移法计算超静定结构时，每一80

例：确定图a所示连续梁的基本结构。（图a）（图b）

在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。

10例：确定图a所示连续梁的基本结构。（图a）（图b81§6-3位移法的典型方程及计算步骤一、位移法的基本方程1.无侧移刚架基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系。

基本未知量——结点B转角θB，设其为Z1。在结点B

附加刚臂得基本结构。

原结构基本结构基本体系

原结构基本结构基本体系

11§6-3位移法的典型方程及计算步骤一、位移法的基本方程82

2)人为给予结点B以转角Z1

,由于转角而引起附加约束的附加反力R11。

在基本结构上分别考虑：基本体系

+=1)荷载引起的附加约束中的反力R1P。由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系.122)人为给予结点B以转角Z1,由于转角而引起附83

设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则

R11=r11Z1，将其代入公式（6-3）得思考：基本体系与原结构有何不同？

原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附加约束反力矩。

思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原结构完全等价？要使基本体系与原结构完全相等，必须要有

R11+R1P=R1=0

即：

R11+R1P=0

(6-3）

R的下标:

第一个下标表示产生附加反力矩的位置，第二个下标表示产生附加反力矩的原因。13设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力84r11Z1+R1P=0

（6-4）

------求解基本未知量Z1的位移法方程。求系数r11作基本结构当位移

Z1=1

时的弯矩图（图）。

i=EI/l称为该杆的线刚度。取结点B为隔离体，由力矩平衡条件得

14r11Z1+R1P=0（6-485

求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩图(MP图)。利用力矩平衡条件∑MB=0，

得

注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定它们都与转角

Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。

取结点B为隔离体15求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时86将系数r11和自由项

R1P代入位移法方程式（6-4）有得叠加法绘制结构的弯矩图。16将系数r11和自由项R1P代入位移法方程式（6-4）有872.有侧移刚架

图示刚架，在荷载作用下该刚架将发生虚线所示的变形。

结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2。

(1)基本未知量：172.有侧移刚架图示刚架，在荷载作用下该88基本结构(2)基本方程基本体系转化为原体系的条件为：附加约束上的反力——R1=0、R2=0

。基本体系在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得

（6-5）

18基本结构(2)基本方程基本体系在小变形线弹性条件下，根89第一式：反应了结点1的矩平衡条件。设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆的约束力r21；Z2=1时附加刚臂的约束反力矩r12

，附加链杆的约束力r22，则第二式：反应了原结构横梁12上柱的剪力平衡条件。

R122FQ13Q24F

将R11、R12、R21、R22

代入位移法方程式（6-5）的得位移法典型方程(基本方程)（6-5）

位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零,反映了原结构的静力平衡条件。

19第一式：设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆90rij——表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移Zj=1时，在附加约束i上产生的约束力（或约束反力矩）。

二、位移法典型方程（6-6）

对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程rij

反映结构的刚度，称为刚度系数。rij=

rji

（由反力互等定理）。RiP称为自由项，它表示在基本结构上仅有荷载作用时，在附加约束i上产生的约束反力或反力矩。20rij——表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移Zj=191(3)求典型方程中的系数和自由项。

1）作基本结构单独在Z1=1作用时的弯矩图取刚结点1为隔离体，由平衡条件得

继续求解

在绘出图、图后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。

21(3)求典型方程中的系数和自由项。1）作基本结构单独92截取横梁12为隔离体由平衡条件得

FFMM1331Q13Q31312442Q42Q24FFM22截取横梁12为隔离体由平衡条件得FFMM1331Q1393

取刚结点1为隔离体，由平衡条件得

3)作基本结构单独在荷载单独作用时的弯矩图MP图。截取横梁12为隔离体,由平衡条件得23取刚结点1为隔离体，由平衡条件得3)作基本结94进行系数和自由项计算时，应注意以下两点：

(1)杆端剪力可根据杆端弯矩求出。在绘出图、图、后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。

(2）由反力互等定理可知，必有r12=r21，计算时可以互相校核，熟练后只需计算其中之一。将系数和自由项代入典型方程（6-6），则结果为正值，表明所设Z1、Z2的方向与实际方向一致。

(4)解方程

联立求解得

，24进行系数和自由项计算时，应注意以下两点：95(5)弯矩图25(5)弯矩图96(6)

根据弯矩图可作出简力图和轴力图。

(7)校核。

结点满足力矩平衡条件。

取横梁12为隔离体，它满足剪力平衡条件，可以判断所得结果正确。26(6)根据弯矩图可作出简力图和轴力图。(7)校核97三、位移法典型方程计算结构的步骤(1)

确定基本未知量——即原结构的独立结点角位移和线位移;(2)

建立基本结构——在原结构上增设与基本未知量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得到位移法基本结构;(3)

建立位移法典型方程;(4)

计算典型方程中系数和自由项;

绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的基本结构的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。(5)

解算典型方程；求出作为基本未知量的各结点位移Z1、Z2

、…、Zn。(6)

作内力图；根据，按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。(7)

校核。按平衡条件进行校核。思考：位移法能用于计算静定结构吗？

能！凡是具有未知结点位移的结构,不管是静定或是超静定,都可以用位移法求解。位移法比较适宜于编制通用计算程序,进行大规模的工程计算。27三、位移法典型方程计算结构的步骤(1)确定基本未知量—98

解：(1)

确定基本未知量，结点B的角位移Z1。例6-2

用位移法计算图示的连续梁的内力。EI=常数。

(2)

建立基本结构，得到基本体系。(3)建立位移法典型方程。（4）计算系数和自由项。

令，做出图

28解：(1)确定基本未知量，结点B的角位移Z1。99

由隔离体——结点B的力矩平衡条件∑MB=0

，得

作出MP图（查表）

由∑MB=0

取结点B为隔离体，将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，解得(5)解算位移法方程，CABiZ=M112i3i41图11r34iiB29由隔离体——结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得100(6)作内力图。注意:杆端弯矩顺时针为正。但弯矩图仍画在杆件纤维受拉一侧。

按叠加法根据计算杆端弯矩.30(6)作内力图。注意:杆端弯矩顺时针为正。但弯矩图仍画101

根据M图利用平衡条件求出各杆杆端剪力,绘出剪力图。取AB杆为隔离体由

得由

得9kN/m963ABFQFQABBA31根据M图利用平衡条件求出各杆杆端剪力,102取BC杆为隔离体，由得由得绘出剪力图(7)按平衡条校核80kN63FFBCBCQCBQ32取BC杆为隔离体，由得由得绘出剪力图(7)按平衡条校核8103(2)

建立基本结构。

(3)

建立位移法典型方程。刚结点B角位移Z1，水平线位移Z2解：(1)基本未知量

例6-3试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各杆的E为常数。33(2)建立基本结构。(3)建立位移法典型方程。刚结104(4)

计算系数和自由项。令

,作出图取横梁ABC为隔离体，由剪力平衡条件得由力矩平衡条件有取结点B为隔离体rA21FQCBDr11B34(4)计算系数和自由项。令,作出图105取结点B为隔离体，有（反力互等定理）作

图取横梁ABC为隔离体，有rCBA22FQBDr121222=123/2irrABCDM2ͼ3/2iZ35取结点B为隔离体，有（反力互等定理）作图取106作MP图取结点B为隔离体取横梁ABC为隔离体，有(5)解算位移法方程解之得将系数和自由项代入位移法方程，得有CBAFBDQRRP2P1P36作MP图取结点B为隔离体取横梁ABC为隔离体，有(5)107

(6)

作弯矩图。

(7)校核。满足结点的力矩平衡条件，由此判定计算无误。37(6)作弯矩图。(7)校108解：

(1)确定基本未知量。基本未知量为独立的结点线位移Z1

。(2)建立基本结构。(3)建立位移法典型方程。例6-5试用位移法计算图所示排架。基本结构(b)CDBA38解：(1)确定基本未知量。(2)建立基本结构。(3109(4)

计算系数和自由项。作图，取横梁CD为隔离体由∑X=0,得39(4)计算系数和自由项。作图，取横梁CD为隔110将系数r11和自由项

R1P代入位移法方程，解得(5)解算位移法方程。由MP图，有自由项

40将系数r11和自由项R1P代入位(5)解算位移法方程111(6)作内力图。根据

按叠加法绘制最后弯矩图41(6)作内力图。按叠加法绘制最后弯矩图112

横梁弯曲刚度无穷大，结点处不产生转动，本题只有一个线位移未知量。

例6-6试用位移法计算图示横梁刚度无穷大的刚架，绘弯矩图。E=常数。(2)

建立基本体系。解:(1)

确定基本未知量思考：刚结点处为什么不产生转动？42横梁弯曲刚度无穷大，结点处不产生转动，本题只有一113(3)建立位移法方程(4)计算系数和自由项由图得系数荷载作用在横梁上不引起立柱

MP弯矩。自由项FR1P将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，解得(5)解算位移法方程。i/l122i/l182i/l122i/l6i/l6i/l6i/l6i/l9i/l911r11Z=43(3)建立位移法方程(4)计算系数和自由项由114(6)用叠加法作内力图。

注意:

1.横梁上的弯矩按平衡条件确定。

2.由弯矩图，利用平衡条件，可进一步绘出剪力图。44(6)用叠加法作内力图。注意:115

利用转角位移方程,考虑结点和截面的平衡直接建立位移法典型方程步骤：

1.写出各杆的转角位移方程,用杆端位移表示各杆件的杆端内力；

2.考虑各刚结点的力矩平衡条件及结构某一截面的投影平衡条件建立位移法方程。求出各结点位移；

3.将结点位移回代入转角位移方程而求出各杆的杆端弯矩。直接由平衡条件建立位移法基本方程例6-8试用直接平衡条件计算图示刚架，并绘出M图。解:(1)确定基本未知量。

基本未知量是结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2。

(2)

利用转角位移方程，写出各杆端弯矩表达式。由于杆端位移应等于结点位移,有45利用转角位移方程,考虑结点和截面的平衡直接建立位移116

杆12对应一端固定、一端铰支的等截面直杆，且杆端12的相对线位移为零，则由式（6-5）得

杆24也对应一端固定、一端铰支等截面直杆，且杆端4的转角为零，则由式（6-５）得同理得，，(3)建立位移法方程。1MM1213相应于结点1的角位移Z1，取结点1为隔离体,建立力矩平衡方程(a)代入M13、M12的

表达式有46杆12对应一端固定、一端铰支的等截面直杆117

相应于结点1、2的水平线位移Z2，截取横梁为隔离体，建立水平投影方程(b)由，

式(b)可写成12FQ13FQ24将有关杆端弯矩代入得综合得位移法方程为这与用基本结构方法得到的典型方程完全一致。47相应于结点1、2的水平线位移Z2，截取横梁118

(5)求杆端弯矩。将求出的位移代回杆端弯矩表达式，可得各杆杆端弯矩分别为，，(4)

解联立方程，得48(5)求杆端弯矩。将求出的位移代回杆端弯矩表达式，可119§6—5力矩分配法的基本概念

计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自上世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。

这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。返回49§6—5力矩分配法的基本概念计算超静定结构，120基于位移法的渐近解法（successiveapproximationmethod）有：⑴力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。⑵无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。⑶迭代法：适于梁刚度大于柱刚度的各种刚架。力矩分配法（methodofmomentdistribution）理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。50基于位移法的渐近解法（successiveapprox121力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.转动刚度、传递系数⑴转动刚度Sij

定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的转动刚度，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故称为转动刚度。则转动刚度与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知远端固定时：ABEIL⌒1⃕MAB=4i⃕MBAABEI⌒1⃕MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB⌒1远端滑动支撑时：EI⃕MAB=i⃕MBASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB⌒1⃕MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i返回51力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.122(2)传递系数CijABEIL⌒1↷MAB=4i↷ABEI1↷MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB⌒1EI↷MAB=i↷MBA=-iSAB=MAB=iAB⌒1↷MABEISAB=MAB=0

当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B