插值、拟合与数值微积分建模案例课件

插值、拟合与数值微积分

——建模案例1、估计水塔的水流量2、录像机计数器的用途3、汽车刹车距离插值、拟合与数值微积分

——建模案例1、估计水塔的水流量1问题估计水塔的水流量某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）

和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。

表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。

问估计水塔的水流量某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单2表1水塔中水位原始数据

表1水塔中水位原始数据3分析日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积每个时刻水塔中水的体积？居民的用水速的？日用水量？思考数值微分分析日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积每个时刻水塔中水4模型假设

影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求；水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小；水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度；

水塔的水流量与水泵状态独立；

水流量曲线是一条连续光滑的曲线；

表1数据是准确的；模型假设影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传5表2水塔中水的体积

（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径）模型建立与求解

表2水塔中水的体积（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径6图1水塔中水体积的散点图

图1水塔中水体积的散点图7图2水塔中水流速度的散点图

图2水塔中水流速度的散点图8图3预测水塔中未知的流速

图3预测水塔中未知的流速9图4样条插值得到的水流速度曲线图4样条插值得到的水流速度曲线10结果模型检验返回模型稳定性分析运用数值求积公式可得结果模型检验返回模型稳定性分析运用数值求积公式可得11问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为要求不仅回答问12录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大;问题分析观察计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长变慢;右轮转速(角速度)不是常数;录像带运动速度(线速度)是常数.录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数13

录像带的运动速度是常数

v；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录像带厚度（加两圈间空隙）为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型假设录像带的运动速度是常数v；计数器读数n与右轮转数14模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第

i圈的半径为r+wi,

m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以请解释?模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第i152.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立2.考察右轮盘面积的3.考察t到t+dt录像带在模型建立16思考3种建模方法得到同一结果模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思考思考3种建模方法得到同一结果模型中有待定参数一种确定参数的17参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可!实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计18模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目。揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。返回模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回19汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样?并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问20问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候…最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/21假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd2=mv2/2F

mt1为反应时间且F与车的质量m成正比假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d22反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计利用交通部门提供的一组实际数据拟合k模型最小二乘法k=0.0255（用2、3列数据）计算刹车距离、刹车时间其中s为刹车距离刹车时间计算：反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计利用23车速(英里/小时)(英尺/秒)实际(最大)刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）1014.7---------16.51.52029.342（44）442.253044.073.5（78）82.534058.7116（124）131.93.755073.3173（186）192.44.56088.0248（268）263.85.2570102.7343（372）346.3680117.3464（506）439.76.790132.0--------544.17.5100146.7---------659.68.2计算结果车速实际(最大)刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间24“2秒准则”应修正为“t秒准则”模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）101.5202.25303403.75504.5605.25706806.7车速（英里/小时）0~1010~3030~6060~80t（秒）2357“2秒准则”应修正为“t秒准则”模型车速刹车时间10125思考：（1）在不同量纲下得到的拟合系数k是否相同。（2）可以将反应时间作为拟合系数，并将计算结果和经验结果比较。结论：在英里/秒下得到k=1.0407e-005。结论：t1=0.0883,k=0.0322。作图比较可知，与实测数据拟合效果更好！返回思考：（1）在不同量纲下得到的拟合系数k是否相同。（2）可以26结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。WhenYouDoYourBest,FailureIsGreat,SoDon'TGiveUp,StickToTheEnd结束语27谢谢大家荣幸这一路，与你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay演讲人：XXXXXX时间：XX年XX月XX日

谢谢大家演讲人：XXXXXX28插值、拟合与数值微积分

——建模案例1、估计水塔的水流量2、录像机计数器的用途3、汽车刹车距离插值、拟合与数值微积分

——建模案例1、估计水塔的水流量29问题估计水塔的水流量某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）

和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。

表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。

问估计水塔的水流量某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单30表1水塔中水位原始数据

表1水塔中水位原始数据31分析日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积每个时刻水塔中水的体积？居民的用水速的？日用水量？思考数值微分分析日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积每个时刻水塔中水32模型假设

影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求；水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小；水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度；

水塔的水流量与水泵状态独立；

水流量曲线是一条连续光滑的曲线；

表1数据是准确的；模型假设影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传33表2水塔中水的体积

（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径）模型建立与求解

表2水塔中水的体积（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径34图1水塔中水体积的散点图

图1水塔中水体积的散点图35图2水塔中水流速度的散点图

图2水塔中水流速度的散点图36图3预测水塔中未知的流速

图3预测水塔中未知的流速37图4样条插值得到的水流速度曲线图4样条插值得到的水流速度曲线38结果模型检验返回模型稳定性分析运用数值求积公式可得结果模型检验返回模型稳定性分析运用数值求积公式可得39问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为要求不仅回答问40录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大;问题分析观察计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长变慢;右轮转速(角速度)不是常数;录像带运动速度(线速度)是常数.录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数41

录像带的运动速度是常数

v；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录像带厚度（加两圈间空隙）为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型假设录像带的运动速度是常数v；计数器读数n与右轮转数42模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第

i圈的半径为r+wi,

m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以请解释?模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第i432.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立2.考察右轮盘面积的3.考察t到t+dt录像带在模型建立44思考3种建模方法得到同一结果模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思考思考3种建模方法得到同一结果模型中有待定参数一种确定参数的45参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可!实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计46模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目。揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。返回模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回47汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样?并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问48问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候…最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/49假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd2=mv2/2F

mt1为反应时间且F与车的质量m成正比假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d50反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计利用交通部门提供的一组实际数据拟合k模型最小二乘法k=0.0255（用2、3列数据）计算刹车距离、刹车时间其中s为刹车距离刹车时间计算：反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计利用51车速(英里/小时)(英尺/秒)实际(最大)刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）1014.7---------16.51.52029.342（44）442.253044.073.5（78）82.534058.7116（124