理论力学课件第9章动静法

第九章达兰贝尔原理第九章达兰贝尔原理1§9–1惯性力的概念

§9–2达兰贝尔原理§9–3刚体惯性力系的简化

第九章达兰贝尔原理§9–1惯性力的概念第九章2本章重点：刚体惯性力系的简化，质点系的达兰贝尔原理。本章难点：如何求加速度，如何虚加惯性力系的主矢和主矩。本章重点：3动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一定条件下也是简捷而有效的方法。本章介绍解答动力学问题的另一种方法——达兰贝尔原理或译为达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。4动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一定条§9-1惯性力的概念由于物体的惯性，当其运动状态因受力而发生改变时，产生的作用于施力物体上的力称为惯性力。力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。例如人用力推车，使车产生加速度，同时，车也给人手一个反作用力：5§9-1惯性力的概念由于物体的惯性，当其运③惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。①

大小：FJ=ma②

方向：与相反按不同坐标系，惯性力可分解为：——切向惯性力——法...............

定义：质点惯性力

加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。6③惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。①§9-2达兰贝尔原理非自由质点M：质量m，受主动力，约束反力作用，、的合力为由牛顿第二定律：假象地将作用在M上，则即：一、质点的达兰贝尔原理表明：在质点运动的每一瞬时，假象地加上此质点的惯性力，则惯性力与质点的主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系，这就是质点的达兰贝尔原理。7§9-2达兰贝尔原理非自由质点M：质量这样，质点的动力学问题就可以用静力学的方法来解。但要注意：该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，而实际上惯性力并不作用在质点上，质点并不平衡。采用动静法解决动力学问题的最大优点，就是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。也就是：对于动力学问题，假想地加上惯性力，就可以用平衡方程求解。8这样，质点的动力学问题就可以用静力学的方法来对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上惯性力，则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达兰贝尔原理。可用方程表示为：设有一质点系由n个质点组成，对任一质点，虚加惯性力，则有二、质点系的达兰贝尔原理对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空间问题有六个平衡方程。9对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上

§9-3刚体惯性力系的简化一般质点系，在应用动静法时，可在每一质点上虚加相应的惯性力，但对于刚体这样由无穷多质点组成的质点系，则不可能逐个质点虚加惯性力。怎么办？可以采用静力学中的力系简化的理论，求出各质点惯性力所组成的惯性力系的主矢和主矩，来代替惯性力系。这样，在刚体上虚加了惯性力系的主矢和主矩，就相当于在刚体上的各个质点上虚加了惯性力。10§9-3刚体惯性力系的简化一般质一、刚体作平动惯性力系向质心C简化：故刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。作用在质心11一、刚体作平动惯性力系向质心C简化：故刚体平动时惯性力系合成直线i各点加速度相同，故其惯性力可以合成为过对称点Mi的一个力：这样，空间惯性力系→质量对称面的平面惯性力系。向转轴与对称平面的交点O点简化：主矢：二、定轴转动刚体设刚体具有垂直于转轴的质量对称平面。O主矩：12直线i各点加速度相同，故其惯性力可以合成为过对称点Mi即：向O点简化：作用在O点作用在C点若向质心C简化，同理可得实际应用时可将惯性主矢分解：13即：向O点简化：作用在O点作用在C点若讨论：①若e=0，转轴不通过质点C，向转轴简化，则②若转轴过质点C，且0，则③若e=0且转轴过质心C，则三、刚体作平面运动假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。14讨论：①若e=0，转轴不通过质点C，向转轴简化，则②若转轴刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：作用于质心C无论刚体作平动、定轴转动还是平面运动，惯性力系向质心简化，都得到一个力（惯性力系的主矢）：大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用在质心；及一个力偶（惯性力系的主矩）：大小等于刚体对质心的转动惯量与刚体角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。15刚体平面运动可分解为作用于质心C无论刚体作平动、定轴转动还是根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动力学方程。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。动静法的应用16根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动

①选取研究对象。原则与静力学相同。

②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。

③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出

方向。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。17①选取研究对象。原则与静力学相同。应用动静法求动

⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。

⑦求解未知量。

[注意]

的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 计算即可。18⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

[例1]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度及O处反力。取系统为研究对象解：方法1用动静法求解请看动画19[例1]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，返回20返回20虚加惯性力和惯性力偶：则：运动学关系： 重物1：重物2：轮：21虚加惯性力和惯性力偶：则：运动学关系： 重物1：21xy22xy22方法2用动量矩定理求解根据动量矩定理：取系统为研究对象23方法2用动量矩定理求解根据动量矩定理：取系统为研究取系统为研究对象，任一瞬时系统的动能两边除以dt，得方法3用动能定理求解方法2、3须用质心运动定理求O处反力当轮逆时针转过dj时，所有力的元功：24取系统为研究对象，任一瞬时系统的动能两边除以dt，得方法3[例2]

在图示机构中，均质圆柱体A、O重分别为P和Q，半径均为R，A作纯滚动。绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在O上作用一常力偶矩M，试求：(1)圆柱体O的角加速度？

(2)绳子的拉力？

(3)轴承O处的反力？

(4)圆柱体A与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？25[例2]在图示机构中，均质圆柱体A、O重分别为P和Q，解：（1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列平衡方程：（2）取轮A为研究对象，虚加惯性力。26解：（1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列平衡方程：（2）取列出平衡方程：运动学关系：，将及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：27列出平衡方程：运动学关系：代入(2)、(3)、(5)式，得：28代入(2)、(3)、(5)式，得：28方法2用动力学普遍定理求解(1)求鼓轮角加速度。取系统为研究对象两边对t求导数：T1=C（常数）当轮O顺时针转过j角时：29方法2用动力学普遍定理求解(1)求鼓轮角加速度。两边对由刚体定轴转动微分方程：得(2)求绳子拉力取轮O为研究对象，(3)求轴承O处支反力取轮O为研究对象，根据质心运动定理：30由刚体定轴转动微分方程：(4)求A与斜面间的摩擦力取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程31(4)求A与斜面间的摩擦力31[例3]均质圆柱体重P，半径R，自O点无滑动地沿倾斜板由静止开始滚动。板与水平成角，试求OA=S时板在O点的约束反力。板重略去不计。解：圆柱体作平面运动，设其质心加速度为a，虚加惯性力P（1）取圆柱体为研究对象：32[例3]均质圆柱体重P，半径R，自O点无滑动地沿倾斜板（2）取系统体为研究对象：33（2）取系统体为研究对象：33解：绕线轮作平面运动由将FJ

、MOJ代入上式，可得[例4]

绕线轮重P，半径为R及r，对质心O的回转半径为r，且r2

=Rr，轮在常力

作用下作纯滚动，已知，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析轮纯滚动的条件。34解：绕线轮作平面运动由将FJ、MOJ代入上式，可得纯滚动的条件：F≤fN

35纯滚动的条件：F≤fN35解：BD作平动，A相对于BD不动，所以：[例5]

重W2的板BD由两根等长且平行的细绳悬挂，板上放置重W1且不计大小的物块A。系统从图示位置无初速开始运动，求此瞬时A物不在BD上滑动的接触面的静摩擦系数。（1）以物A及BD为研究对象：x将FAJ、FCJ代入得aC=gsinq36解：BD作平动，A相对于BD不动，所以：[例5]重W2的板（2）以物A为研究对象：A在BD上不滑动，必须F≤fN，（2）以物A为研究对象：A在BD上不滑动，必须F≤fN，37解（1）以AB为研究对象：设其质心加速度为aC、角加速度为eAB，则[例6]

图示系统，均质杆AB：m1=2m，l；均质圆轮：

m2=2m，r；物体G：m3=m

。系统开始静止，AB水平。求A端绳突然断开的瞬时物体G和杆AB质心的加速度及O处反力。38解（1）以AB为研究对象：[例6]图示系统，均质杆AB：m（2）以物体G及轮O为研究对象：设物体G的加速度为aG、轮O的角加速度为eO，虚加惯性力：运动学关系：39（2）以物体G及轮O为研究对象：运动学关系：39将各惯性力及运动学关系代入（1）～（5）式联立解得：将各惯性力及运动学关系代入（1）～（5）式联立解得：40本章结束本章结束41第九章达兰贝尔原理第九章达兰贝尔原理42§9–1惯性力的概念

§9–2达兰贝尔原理§9–3刚体惯性力系的简化

第九章达兰贝尔原理§9–1惯性力的概念第九章43本章重点：刚体惯性力系的简化，质点系的达兰贝尔原理。本章难点：如何求加速度，如何虚加惯性力系的主矢和主矩。本章重点：44动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一定条件下也是简捷而有效的方法。本章介绍解答动力学问题的另一种方法——达兰贝尔原理或译为达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。45动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一定条§9-1惯性力的概念由于物体的惯性，当其运动状态因受力而发生改变时，产生的作用于施力物体上的力称为惯性力。力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。例如人用力推车，使车产生加速度，同时，车也给人手一个反作用力：46§9-1惯性力的概念由于物体的惯性，当其运③惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。①

大小：FJ=ma②

方向：与相反按不同坐标系，惯性力可分解为：——切向惯性力——法...............

定义：质点惯性力

加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。47③惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。①§9-2达兰贝尔原理非自由质点M：质量m，受主动力，约束反力作用，、的合力为由牛顿第二定律：假象地将作用在M上，则即：一、质点的达兰贝尔原理表明：在质点运动的每一瞬时，假象地加上此质点的惯性力，则惯性力与质点的主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系，这就是质点的达兰贝尔原理。48§9-2达兰贝尔原理非自由质点M：质量这样，质点的动力学问题就可以用静力学的方法来解。但要注意：该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，而实际上惯性力并不作用在质点上，质点并不平衡。采用动静法解决动力学问题的最大优点，就是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。也就是：对于动力学问题，假想地加上惯性力，就可以用平衡方程求解。49这样，质点的动力学问题就可以用静力学的方法来对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上惯性力，则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达兰贝尔原理。可用方程表示为：设有一质点系由n个质点组成，对任一质点，虚加惯性力，则有二、质点系的达兰贝尔原理对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空间问题有六个平衡方程。50对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上

§9-3刚体惯性力系的简化一般质点系，在应用动静法时，可在每一质点上虚加相应的惯性力，但对于刚体这样由无穷多质点组成的质点系，则不可能逐个质点虚加惯性力。怎么办？可以采用静力学中的力系简化的理论，求出各质点惯性力所组成的惯性力系的主矢和主矩，来代替惯性力系。这样，在刚体上虚加了惯性力系的主矢和主矩，就相当于在刚体上的各个质点上虚加了惯性力。51§9-3刚体惯性力系的简化一般质一、刚体作平动惯性力系向质心C简化：故刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。作用在质心52一、刚体作平动惯性力系向质心C简化：故刚体平动时惯性力系合成直线i各点加速度相同，故其惯性力可以合成为过对称点Mi的一个力：这样，空间惯性力系→质量对称面的平面惯性力系。向转轴与对称平面的交点O点简化：主矢：二、定轴转动刚体设刚体具有垂直于转轴的质量对称平面。O主矩：53直线i各点加速度相同，故其惯性力可以合成为过对称点Mi即：向O点简化：作用在O点作用在C点若向质心C简化，同理可得实际应用时可将惯性主矢分解：54即：向O点简化：作用在O点作用在C点若讨论：①若e=0，转轴不通过质点C，向转轴简化，则②若转轴过质点C，且0，则③若e=0且转轴过质心C，则三、刚体作平面运动假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。55讨论：①若e=0，转轴不通过质点C，向转轴简化，则②若转轴刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：作用于质心C无论刚体作平动、定轴转动还是平面运动，惯性力系向质心简化，都得到一个力（惯性力系的主矢）：大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用在质心；及一个力偶（惯性力系的主矩）：大小等于刚体对质心的转动惯量与刚体角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。56刚体平面运动可分解为作用于质心C无论刚体作平动、定轴转动还是根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动力学方程。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。动静法的应用57根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动

①选取研究对象。原则与静力学相同。

②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。

③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出

方向。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。58①选取研究对象。原则与静力学相同。应用动静法求动

⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。

⑦求解未知量。

[注意]

的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 计算即可。59⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

[例1]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度及O处反力。取系统为研究对象解：方法1用动静法求解请看动画60[例1]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，返回61返回20虚加惯性力和惯性力偶：则：运动学关系： 重物1：重物2：轮：62虚加惯性力和惯性力偶：则：运动学关系： 重物1：21xy63xy22方法2用动量矩定理求解根据动量矩定理：取系统为研究对象64方法2用动量矩定理求解根据动量矩定理：取系统为研究取系统为研究对象，任一瞬时系统的动能两边除以dt，得方法3用动能定理求解方法2、3须用质心运动定理求O处反力当轮逆时针转过dj时，所有力的元功：65取系统为研究对象，任一瞬时系统的动能两边除以dt，得方法3[例2]

在图示机构中，均质圆柱体A、O重分别为P和Q，半径均为R，A作纯滚动。绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在O上作用一常力偶矩M，试求：(1)圆柱体O的角加速度？

(2)绳子的拉力？

(3)轴承O处的反力？

(4)圆柱体A与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？66[例2]在图示机构中，均质圆柱体A、O重分别为P和Q，解：（1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列平衡方程：（2）取轮A为研究对象，虚加惯性力。67解：（1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列平衡方程：（2）取列出平衡方程：运动学关系：，将及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：68列出平衡方程：运动学关系：代入(2)、(3)、(5)式，得：69代入(2)、(3)、(5)式，得：28方法2用动力学普遍定理求解(1)求鼓轮角加速度。取系统为研究对象两边对t求导数：T1=C（常数）当轮O顺时针转过j角时：70方法2用动力学普遍定理求解(1)求鼓轮角加速度。两边对由刚体定轴转动微分方程：得(2)求绳子拉力取轮O为研究对象，(3)求轴承O处支反力取轮O为研究对象，根据质心运动定理：71由刚体定轴转动微分方程：(4)求A与斜面间的摩擦力取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程72(4)求A与斜面间的摩擦力31[例3]