双曲线、椭圆、圆专题训练及答案

圆锥曲线习题——双曲线如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（）(A) (B) (C) (D)已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a (B)b (C) (D)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A． B．C． D．以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（）（A）3（B）5（C）（D）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是()A．B．C．D．已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝（）A.-12B.-2C.0D.4二、填空题过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______已知点在双曲线上，并且到这条双曲线的右准线的距离恰是到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么点的横坐标是_________已知是双曲线的两个焦点，是过点的弦，且的倾斜角为，那么的值是__________已知是的两个顶点，内角满足，则顶点的轨迹方程是________________过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.已知是双曲线上除顶点外任意一点，为左右焦点，为半焦距，内切圆与切于点，则的值为__________三、解答题如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围双曲线习题解答题详细答案选择题：1.A2.B3.A4.B5.B6.D7.C8.C填空题：9.10.11.212.13.1614.15.16.17.如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.解：（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为＞0，b＞0）.则由解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝＝而原点O到直线l的距离d＝，∴S△DEF=若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1)∪(1,).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得｜x1-x2｜=③当E、F在同一去上时（如图1所示），S△OEF＝当E、F在不同支上时（如图2所示）.S△ODE=综上得S△OEF＝于是由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=若△OEF面积不小于2④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.18.（Ⅰ）设，，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得,则离心率．（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为。19.解：由条件知，，设，．（I）解法一：（I）设，则则，，，由得即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．解法二：同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以．．由①②③得．…………………④．……………………⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．（II）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．20.（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，所以所以由所以曲线的方程是（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知由由将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）=第三部分:椭圆、双曲线、抛物线(一)一.选择题若抛物线y2=2px(p<0)上横坐标为-6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是()A4B8C16D32(2)中心在原点,准线方程为x=±4,离心率为的椭圆方程为()ABC+y2=1Dx2+=1(3)若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A(0,+∞)B(0,2)C(1,+∞)D(0,1)(4)如果双曲线-=1上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是（）AB13C5D(5)若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为()ABC4D(6)若椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为()ABCD(7)以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心,交椭圆于点M、N,若直线MF1(F1为椭圆左焦点)是圆F2的切线,则椭圆的离心率()A-1B2-CD(8)设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA⊥OB.则y1·y2等于()A–4p2B4p2C–2p2D2p2(9)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是()A直线B圆C椭圆D双曲线(10)椭圆上有n个不同的点:P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为F.数列｛|PnF|｝是公差大于的等差数列,则n的最大值是()A198B199C200D201二.填空题(11)设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程是.(13)F1、F2是椭圆C:=1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为.(14)椭圆x2+=1(0<a<1)上离顶点A(0,a)距离最远的点恰好是另一个顶点A′(0,-a),则a的取值范围是.三.解答题(15)双曲线(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.(16)已知抛物线C:y=-x2+6,点P（2,4）、A、B在抛物线上,且直线PA、PB的倾斜角互补.(Ⅰ)证明:直线AB的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB在y轴上的截距为正数时,求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.xyDEOBxyDEOBAFC左顶点为B,F为右焦点,过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点.作平行四边形OCED,E恰在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)若平行四边形OCED的面积为,求椭圆方程.(18)设椭圆+y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0),且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直.(Ⅰ)求实数m的取值范围;(Ⅱ)设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q.若,求直线PF2的方程.第三部分:椭圆、双曲线、抛物线参考答案一选择题:1.B2.A3.D4.A5.A6.D7.A8.A9.B10.D二填空题:11.,12.,13.2,14..三解答题(15)解:直线l的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1=.同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2=.s=d1+d2==.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2.即4e2-25e+25≤0.解不等式,得≤e2≤5.由于e>1>0,所以e的取值范围是.(16)(Ⅰ)证:易知点P在抛物线C上,设PA的斜率为k,则直线PA的方程是y-4=k(x-2).代入y=-x2+6并整理得x2+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根xA及2,由韦达定理得:2xA=-4(k+1),∴xA=-2(k+1).∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4.∴A(-2(k+1),-k2-4k+4).由于PA与PB的倾斜角互补,故PB的斜率为-k.同理可得B(-2(-k+1),