电力系统分析：CHAPTER 2 Basic Principles

CHAPTER2

BasicPrinciplesOUTLINE2.1概述2.2单相交流电路的功率

2.3复功率2.4复功率平衡

2.5功率因数校正

2.6复功率潮流

2.7平衡三相电路

2.8Y－连接负载

2.9△－连接负载

2.10△-Y变换

2.11单相分析

2.12对称三相功率

2.1INTRODUCTIONCONTENTSOFTHISCHAPTER:1.平均功率和无功功率的定义2.复功率在两个电压源之间的传输3.平衡三相电路及其单相等效电路2.2POWERINSINGLE-PHASEACCIRCUITS

单相交流电路的功率

正弦电压源给负载供电设瞬时电压则瞬时电流为(2.1)(2.2)传送给负载的瞬时功率p(t)为电压v(t)与电流i(t)之积，即(2.2)利用三角恒等式，把式（2.3）表示成另一种形式

由上式得出(2.4)令上述公式简化为Energyflowintothecircuit流进电路的能量Energyborrowed&returnedbythecircuit电路借还能量式中，是电压和电流间的相角差，或称阻抗角。如果负载是感性的，则为正值，（即电流滞后于电压），如果负载是容性的，则为负值（即电流超前于电压）。瞬时功率被分解为两部分。式（2.5）的第一部分为(2.6)式（2.6）中第二部分的频率是电源频率的二倍，说明了负载电阻功率吸收过程中的正弦变化。因为这个正弦函数的平均值为零，所以传送给负载的平均功率为负载中电阻性元件吸收的功率，也称为有功功率activepowerorrealpower。电压有效值和电流有效值的乘积被称为视在功率，单位是伏安。

(2.7)视在功率和电压电流相角差余弦的乘积构成了有功功率。因为在决定平均功率时扮演着重要角色，所以被称为功率因数。当电流滞后于电压时功率因数是滞后的。当电流超前于电压时，功率因数是超前的。式（2.5）的第二部分(2.8)以二倍的频率波动，其平均值为零。说明这部分是由电抗性负载（感性或容性）引起的功率振荡。这种波动功率的幅值称为无功功率，以Q表示(2.9)Characteristicsoftheinstantaneouspower:1.对于纯电阻，阻抗角为零，功率因数是1，因此视在功率和有功功率相等。电能全部转化为热能。

2.如果电路是纯电感性的，电流滞后于电压，平均功率为零，因此，在纯电感电路中没有从电能到非电能形式的能量转换。在纯电感电路中，瞬时功率在电路和电源间振荡。当p(t)为正时，能量被储存在电感元件的磁场中，当p(t)为负时，能量从电感元件的磁场中释放出来。3.如果负载是纯电容性的，电流超前于电压90°,平均功率为零，所以没有从电能到非电能形式的能量转换。在纯电容电路中，功率在电源和电容元件的电场间振荡。例2.1（chp2ex1，chp2ex1gui）图2.1中的电源电压为，感性负载，阻抗。求瞬时电流i(t)和瞬时功率p(t)的表达式。用MATLAB绘制i(t)

、v(t)、p(t)

、和从0到区间的图形。图2.2瞬时电流，电压，功率，公式2.6和2.8因此下面的表述用来绘制上述瞬时量和式(2.6)、式（2.8）给出的瞬时值。Vm=100;thetav=0;%电压幅值和相角Z=1.25;gama=60;%阻抗幅值和相角thetai=thetav-gama;%电流相角（角度）theta=(thetav-thetai)*pi/180;%角度转弧度Im=Vm/Z;%电流幅值wt=0:.05:2*pi;%wt从0到2*piv=Vm*cos(wt);%瞬时电压i=Im*cos(wt+thetai*pi/180);%瞬时电流p=v.*i;%瞬时功率V=Vm/sqrt(2);I=Im/sqrt(2);%电压电流有效值P=V*I*cos(theta);%平均功率Q=V*I*sin(theta);%无功功率S=P+j*Q%复功率pr=P*(1+cos(2*(wt+thetav)));%方程(2.6)px=Q*sin(2*(wt+thetav));%方程(2.8)PP=P*ones(1,length(wt));%画长度wt的平均功率xline=zeros(1,length(wt));%画零的横线wt=180/pi*wt;%弧度转角度subplot(2,2,1),plot(wt,v,wt,i,wt,xline),gridtitle(['v(t)=V_m

cos\omegat,i(t)=I_m

cos(\omegat+',num2str(thetai),')'])xlabel('\omegat,degree')subplot(2,2,2),plot(wt,p,wt,xline),gridtitle('p(t)=v(t)i(t)'),xlabel('\omegat,degree')subplot(2,2,3),plot(wt,pr,wt,PP,wt,xline),gridtitle('pr(t)Eq.2.6'),xlabel('\omegat,degree')subplot(2,2,4),plot(wt,px,wt,xline),gridtitle('px(t)Eq.2.8'),xlabel('\omegat,degree')subplot(111)运行新的GUI程序（chp2ex1gui）。能看到负载从感性变为阻性和容性时，瞬时功率的结果2.3COMPLEXPOWER

复功率图2.3感性负载的相量图和功率三角形（PF滞后）如图2.3所示，式（2.1）的电压有效值相量和式（2.2）的电流有效值相量分别为and则的结果为用表示复功率(2.10)S的幅值为视在功率当电压电流的相角差(阻抗角)是正值时（即负载阻抗为感性，I滞后于V

），无功功率Q是正的。当电压电流的相角差(阻抗角)是负值时（即负载阻抗为容性，I超前于V)，无功功率是负的，如图2.4所示。图2.4容性负载的相量图和功率三角形（超前PF）如果负载阻抗为Z，那么(2.11)将V代入式（2.10）中得(2.12)功率三角形和阻抗三角形是相似三角形，所以阻抗角有时被称为功率角powerangle

。类似地，把式（2.11）中的I代入式（2.10）得(2.13)由式（2.13）得，用复功率S表示的阻抗为(2.14)2.4THECOMPLEXPOWERBALANCE

复功率平衡

从功率守恒的角度看，显然电源提供的有功功率等于各负载吸收的有功功率之和。同时，无功功率也必须保持平衡。这样，传递给并联负载的总复功率就是传递给每个负载的复功率之和。证明如下图2.5

并联的三个负载图2.5中所示三个负载的总复功率如下例2.2（chp2ex2）上图电路中。求每个负载吸收的功率及总的复功率。总复功率为另外，可以先求出总电流进而求得传递给负载的复功率之和。(2.15)最后看图2.6，它是电流相量图和复功率的矢量表示。图2.6电流相量图和功率平面图复功率也可直接由式（2.14）得到2.5POWERFACTORCORRECTION

功率因数校正

由式（2.7）可以看出，如果功率因数小于1，视在功率会比大。当时供电电流会比时大，尽管两种情况下提供的平均功率是相同的，但是供电公司要付出额外的成本。供电公司和用户都非常希望系统中主要负载的功率因数尽可能的接近于1。为了保持功率因数接近于1，供电公司会在全网中安装电容器组，并且会向低功率因数运行的工业用户征收额外费用。因为工业负载大多是感性的，具有滞后的低功率因数，所以安装电容器来改善功率因数是有利的。这种考虑对于居民和小商业用户并不重要，因为它们的功率因数接近于1。例2.3（chp2ex3）两个负载接在一个200V、60Hz的电源上，如图2.7所示。图2.7例2.3的电路图和功率三角形(a)求总的有功和无功功率，电源的功率因数和总电流。总视在功率和电流为电源的功率因数为（滞后）（b）把功率因数改善至0.8（滞后）时，求与负载相联的电容器的电容。新功率因数为0.8（滞后）时，总有功功率P=1200W。因此总功率和新的电流为注意供电电流由10A缩小到了7.5A。例2.4（chp2ex4）三个负载并联在一个1400V、60Hz的单相电源上，如图2.8所示。负载1：感性负载，功率因数为0.28时，视在功率为125kVA。负载2：容性负载，10kW，40kvar负载3：电阻负载，15kW。（a）求总的有功、无功、视在功率和电源功率因数。图2.8例2.4的电路图感性负载具有滞后的功率因数，容性负载具有超前的功率因数，电阻负载具有整功率因数。对于负载1：（滞后）复功率为总视在功率为总电流为电源功率因数为（滞后）（b）纯电容与上述负载并联，将功率因数提高至0.8（滞后）。试确定这个电容器的额定无功功率（kvar）和电容值()。功率因数为0.8(滞后)时，总有功功率P=60kW，得出新的无功功率Q’。因此，要求的电容无功功率为并且新的电流为注意电源电流从71.43A减小到了53.57A。2.6COMPLEXPOWERFLOW

复功率潮流

如图2.9所示，两个理想电源由阻抗为的导线连接图2.9

两个互连的电压源设电压相量。按照电流的假定方向复功率于是，始端的有功和无功功率为(2.16)(2.17)电力系统输电线的电阻与电抗相比较小。假设(即)，上述公式变为(2.18)(2.19)因为R=0，所以输电线没有损耗，发出的有功功率等于吸收的有功功率。从以上结果可以看出，对于具有小比值的典型电力系统，需要注意以下几点：1．式（2.18）显示出或的微小变化会对有功功率潮流产生重要的影响，而电压幅值的微小变化则不会对有功功率潮流产生明显的影响。因此，输电线上的有功潮流主要是由两端电压的相角差决定的（即），此处如果超前于，则是正的，有功功率从节点1流向节点2。如果滞后于，则是负的，有功功率从节点2流向节点1。2．假设R=0，则当时功率达到理论最大值（静态传输容量），最大传输功率如下式（2.20）3.为了保持暂态稳定，电力系统通常运行在小负载角下。而且，由式（2.19）可知无功功率潮流是由端电压的幅值差决定的（即）。例2.5（chp2ex5）两个电压源的短线路相连，如图2.9所示。确定始端发出的和末端吸收的有功功率和无功功率，以及线路的功率损耗。线路损耗为由上述结果可知，是负的，是正的，电源1吸收功率97.5W，电源2发出功率107.3W，线路的有功功率损耗为9.8W。线路的有功功率损耗可由下式检验并且，是正的，是负的，电源1发出363.3var的无功，电源2吸收194.5var的无功，线路的无功功率损耗为68.8var。线路的无功功率损耗可由下式检验例2.6（chp2ex6），（chp2ex6gui）本例题涉及两个电压源间的功率潮流方向。为例2.5系统写出一个MATLAB程序，让电源1的相角从初值开始以5°为步长变化±30°。两个电源的电压幅值和电源2的电压相角保持不变。计算每个电源的复功率和线路损耗。列表显示有功功率，画出相对于电压相角的图形。命令如下E1=input('Source#1VoltageMag.=');a1=input('Source#1PhaseAngle=');E2=input('Source#2VoltageMag.=');a2=input('Source#2PhaseAngle=');R=input('LineResistance=');X=input('LineReactance=');Z=R+j*X;%线路阻抗a1=(-30+a1:5:30+a1)';%a1变化+/-30度a1r=a1*pi/180;%角度转弧度k=length(a1);a2=ones(k,1)*a2;%创建列a2a2r=a2*pi/180;%角度转弧度V1=E1.*cos(a1r)+j*E1.*sin(a1r);V2=E2.*cos(a2r)+j*E2.*sin(a2r);I12=(V1-V2)./Z;I21=-I12;S1=V1.*conj(I12);P1=real(S1);Q1=imag(S1);S2=V2.*conj(I21);P2=real(S2);Q2=imag(S2);SL=S1+S2;PL=real(SL);QL=imag(SL);Result1=[a1,P1,P2,PL];disp('')disp('Delta1P－1P－2P－L')disp(Result1)plot(a1,P1,a1,P2,a1,PL)xlabel('Source#1VoltagePhaseAngle')ylabel('P,Watts')text(-26,-550,'P1'),text(-26,600,'P2'),text(-26,100,'PL')得出Source#1VoltageMag.=120Source#2VoltageMag.=100Source#2PhaseAngle=0LineResistance=1LineReactance=7Delta1P-1P-2P-L-35.0000-872.2049967.011994.8070-30.0000-759.8461832.15372.3078-25.0000-639.5125692.484852.9723-20.0000-512.1201549.067636.9475-15.0000-378.6382402.993824.3556-100000-240.0828255.375115.2923-5.0000-97.5084107.33499.8265048.0000-40.00008.00005.0000195.3349-185.50849.826510.0000343.3751-328.082815.292315.0000490.9938-466.638224.355620.0000637.0676-600.120136.947525.0000780.4848-727.512552.9723观察图2.10可以看出，互联时的有功功率潮流取决于端电压的相角差。2.7BALANCEDTHREE-PHASECIRCUITS

平衡三相电路

电力系统的发电、输电、配电是通过三相电路完成的。发电厂发出幅值相等但相角彼此相差120°的三相正弦电压，这就是对称电源（balancedsource)。如果发出的电压以相序ABC相继达到峰值，则发电机具有正相序，如图2.11（a）所示。如果相序为ACB，则发电机具有负相序，如图2.11（b）。图2.11（a）正相序或ABC相序（b）负相序或ACB相序三相系统传递给外部负载的瞬时功率是恒定的，而单相电路的瞬时功率却是脉动的。并且，三相电机具有恒定的转距，能更好的启动和运行。三相功率的这种特点，加之较高的传输效率，即传递相同的功率需要更少的导线，使它得到了广泛的使用。电力系统中的发电机采用Y－连接，负载采用Y－连接或△－连接。发电机很少采用△－连接，因为如果电压不是十分对称，会有净余电压，必然会在中产生环流。并且，Y－连接的相电压较低，绝缘水平也要求较低。图2.12说明了一个Y－连接的发电机通过一个三相线路与对称Y－连接的负载相连。假设相序为正序（ABC），发出的电压为：(2.21)在电力系统中，需要确保传输线的负载对称。对于对称负载，发电机的端电压和负载端相电压是对称的。对A相，它们由下式给出(2.22)(2.23)2.8Y-CONNECTEDLOADS

Y－连接负载

为了找出线电压和相电压间的关系，我们假设相序为正（ABC）时，任意选择一相的相电压作为参考，这样(2.24)式中，表示相电压的大小（相对于中性点）。由基尔霍夫定律求得负载端的线电压(2.25)图2.12Y－连接发电机给Y－连接的负载供电图2.13相电压和线电压相量图如果任一个线电压的有效值用表示，那么Y－连接三相负载的一个重要特性可由下式表示(2.26)即对于Y－连接的负载而言，线电压的大小是相电压大小的倍，并且在正相序中，线电压超前相电压。图2.12的三相电流也保持三相对称，如下式(2.27)式中，是阻抗角。导线中的线电流也是相电流(经过相阻抗的电流)。即(2.28)2.9△-CONNECTEDLOADS

△－连接负载

图2.14－连接的负载显然，线电压等于相电压。(2.29)虑相量图2.15，任意选择相电流作为参考。我们得出(2.30)图2.15相电流和线电流相量图说明了线电流和相电流之间的关系。利用基尔霍夫电流定律，得出相电流和线电流之间的关系(2.31)如果以表示任一线电流，那么△－连接三相负载的一个重要特点可以表示为(2.32)对于△－连接的负载而言，线电流的大小是相电流的倍，并且在正相序中，线电流滞后相电流30°2.10△-YTRANSFORMATION

△-Y变换

(图2.16(a)to(b)Y－connection)为了简化网络，有时需要把△－连接电路变换成等效的Y－连接电路。假设虚构的Y－连接电路，每相阻抗为，它等效于每相阻抗为的△－连接电路，如图2.16所示。对于△－连接的电路，相电流为(2.33)图2.17相电压和线电压的相量图说明了对称相和线电压之间的关系。由这个相量图，我们发现(2.34)(2.35)代入式（2.33），得或者（2.36）（2.37）（2.38）对于Y－连接电路，我们可以得出这样，由式(2.36)和(2.37)，我们得出2.11PER-PHASEANALYSIS

单相分析

图2.12中对称Y－连接负载的中性线电流为（2.39）因为中性线上没有电流，所以中性线的阻抗可以是任意阻抗值，可以是短路阻抗，也可以是开路阻抗。中性线可能不实际存在，但不管怎样，两个中性点之间可以是零阻抗，对称三相问题能在每相的基础上解决，其余两相电流大小和这一相相等，相位互差120°。考虑一相，如A相图2.18用于每相分析的单相电路如果三相电路中的负载采用△－连接，它能通过变换转换为Y－连接。当负载对称时，Y－连接的每一条边的阻抗是△－连接每一条边阻抗的1/3，如式（2.38）所示，电路可由单相等效电路来模拟。2.12BLANCEDTHREE-PHASEPOWER

对称三相功率

考虑一个对称三相电源，连接一个对称Y－连接或△－连接负载，瞬时功率如下（2.40）（2.41）对于对称负载，相电流为式中和分别为相电压、相电流有效值的大小。总瞬时功率是每一相瞬时功率的和，即（2.42）（2.43)将式(2.14)和式(2.41)中的瞬时电压、电流代入式(2.42)利用三角恒等式(2.4)得式（2.43）中三个倍频的余弦项彼此相差，加起来等于0，所以三相瞬时功率为是相电压和相电流间的相角差或阻抗角。注意虽然每相功率是变化的，但总瞬时功率是恒定的，等于单相有功功率的三倍。事实上，恒定的功率是三相系统的主要优点。因为每一相功率是变化的，所以功率由有功功率和无功功率组成。为了保持有功和无功功率公式上对应，通过定义三相无功功率延伸了复功率和视在功率的概念。这样，三相复功率为或（2.45）（2.46）（2.47）（24.8)(2.49)式（2.44）和（2.45）有时用线电压和线电流的有效值表示。Y－连接负载的相电压，相电流。△－连接时，，。把相电压、相电流代入式（2.44）和式（2.45）中，两种连接的有功功率和无功功率都为和对比最后两个表达式与式（2.44）、式（2.45），可知当功率以线电压线电流表示时